У геометрії тороїдальний многогранник це многогранник який є також тороїдом тор з g дірками має топологічний рід g рівни

У геометрії тороїдальний многогранник — це многогранник, який є також тороїдом (тор з g дірками), має топологічний рід g, рівний 1 або вище.

^[en] з видаленими ромбоподібними гранями як тороїдальний многогранник роду 11. Усі грані цього многогранника є правильними многокутниками.

Можна побудувати многокутний тор для наближення до поверхні тора розгорткою з чотирикутними гранями, як показано на цьому прикладі.

Варіанти визначення

Тороїдальні многогранники визначаються як набір многокутників, які мають спільні вершини і ребра, утворюючи многовид. Тобто, кожне ребро має бути спільним рівно для двох многокутників, вершинна фігура кожної з вершин має бути одним циклом із многокутників, яким дана вершина належить. Для тороїдальних многогранників цей многовид буде орієнтованою поверхнею. Деякі автори обмежують поняття «тороїдальний многогранник» до многогранників, топологічно еквівалентних (роду 1) тору.

Тут слід розрізняти вкладені тороїдальні многогранники, межі яких є плоскими многокутниками в тривимірному евклідовому просторі, які не перетинають один одного, від абстрактних многогранників, топологічних поверхонь без певної геометричної реалізації. Серединою між цими двома крайнощами можна вважати занурені тороїдальні многогранники, тобто многогранники, утворені многокутниками або зіркоподібними многокутниками в евклідовому просторі, яким дозволено перетинати один одного.

У всіх цих випадках тороїдальна природа многогранників може бути перевірена орієнтованістю і ейлеровою характеристикою, яка для цих многогранників не позитивна.

Многогранники Часара і Силаші

Два найпростіші можливі вкладені тороїдальні многогранники — це многогранники Часара і Силаші.

^[ru] — це тороїдальний многогранник з сімома вершинами, 21 ребром і 14 трикутними гранями. Тільки цей многогранник і тетраедр (з відомих) володіють властивістю, що будь-який відрізок, що з'єднує вершини многогранника є ребром многогранника. Двоїстим многогранником є ^[ru], який має 7 шестикутних граней, кожна пара яких суміжні одна з одною, забезпечуючи половину теореми про те, що максимальне значення кольорів для малювання карти на торі (роду 1) дорівнює семи.

Многогранник Часара має найменше можливе число вершин, яке може мати вкладений тороїдальний многогранник, а многогранник Силаші має найменше можливе число граней.

Тороїди Стюарта

Тороїди Стюарта

Шість шестикутних призм	Чотири квадратні куполи 8 тетраедрів	Вісім октаедрів

Спеціальна категорія тороїдальних многогранників будується виключно за допомогою правильних многокутних граней без їх перетину з додатковим обмеженням, що суміжні грані не лежать в одній площині. Ці многогранники називаються тороїдами Стюарта за іменем професора ^[en], який досліджував їх існування. Вони аналогічні тілам Джонсона у випадку опуклих многогранників, але, на відміну від них, існує нескінченно багато тороїдів Стюарта. Ці многогранники включають також тороїдальні дельтаедри, многогранники, грані яких є рівносторонніми трикутниками.

Обмежений клас тороїдів Стюарта, також визначених Стюартом, — це квазіопуклі тороїдальні многогранники. Це тороїди Стюарта, які включають всі ребра їхніх опуклих оболонок. У цих многогранників кожна грань опуклої оболонки або лежить на поверхні тороїда, або є многокутником, ребра якого лежать на поверхні тороїда.

Занурені многогранники

^[en]	^[en]	Великий додекаедр

Многогранник, утворений системою многокутників, що перетинаються, у просторі — це многогранне занурення абстрактного топологічного многовиду, утвореного його многокутниками і його системою ребер і вершин. Прикладами є ^[en] (рід 1), ^[en] (рід 3) і великий додекаедр (рід 4).

П'ятикутний стефаноїд. Цей стефаноїд має п'ятикутну діедральну симетрію і має ті ж самі вершини, що й однорідна п'ятикутна призма.

Корончастий многогранник (або стефаноїд) — це тороїдальний многогранник, який є ^[en] многогранником, оскільки є як ізогональним (однакові типи вершин), так і ізоедральним (однакові грані). Корончастий многогранник самоперетинається і є топологічно самодвоїстим.

Див. також

Примітки

Whiteley, (1979); Stewart, (1980), стр. 15.
Webber, 1997, с. 31—44.
Whiteley, 1979, с. 46—58, 73.
Császár, 1949, с. 140—142.
Ziegler, 2008, с. 191—213.
Szilassi, 1986, с. 69—80.
Heawood, 1890, с. 322—339.
Webb, 2000, с. 231—268.
Stewart, 1980.
Stewart, 1980, с. 15.
Stewart, (1980), «Quasi-convexity and weak quasi-convexity», стр. 76—79.
Grünbaum, 1994, с. 43—70.

Література

Branko Grünbaum. Polytopes: Abstract, Convex and Computational. — Kluwer Academic Publishers, 1994. — Т. 440. — DOI:10.1007/978-94-011-0924-6_3.. См., в частности, стр. 60.
Robert Webb. Stella: polyhedron navigator // Symmetry: Culture and Science. — 2000. — Т. 11, вип. 1—4.
B. M. Stewart. Adventures Among the Toroids: A Study of Orientable Polyhedra with Regular Faces. — 2nd. — B. M. Stewart, 1980. — .
Lajos Szilassi. Regular toroids // Structural Topology. — 1986. — Т. 13.^{[недоступне посилання з Грудень 2017]}
P. J. Heawood. Map colouring theorems // Quarterly J. Math. Oxford Ser.. — 1890. — Т. 24.
A. Császár. A polyhedron without diagonals // Acta Sci. Math. Szeged. — 1949. — Т. 13.
Günter M. Ziegler. Discrete Differential Geometry / A. I. Bobenko, P. Schröder, J. M. Sullivan, G. M. Ziegler. — Springer-Verlag, 2008. — Т. 38. — . — arXiv:math.MG/0412093. — DOI:10.1007/978-3-7643-8621-4_10.
Walter Whiteley. Realizability of polyhedra // Structural Topology. — 1979. — Вип. 1.
William T. Webber. Monohedral idemvalent polyhedra that are toroids // ^[en]. — 1997. — Т. 67, вип. 1. — DOI:10.1023/A:1004997029852.

Посилання

Weisstein, Eric W. Toroidal polyhedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Toroidal Багатогранників
Stewart toroids

[1] Whiteley, (1979); Stewart, (1980), стр. 15.

[FOOTNOTEWebber199731—44-2] Webber, 1997, с. 31—44.

[FOOTNOTEWhiteley197946—58,_73-3] Whiteley, 1979, с. 46—58, 73.

[FOOTNOTECsászár1949140—142-4] Császár, 1949, с. 140—142.

[FOOTNOTEZiegler2008191—213-5] Ziegler, 2008, с. 191—213.

[FOOTNOTESzilassi198669—80-6] Szilassi, 1986, с. 69—80.

[FOOTNOTEHeawood1890322—339-7] Heawood, 1890, с. 322—339.

[FOOTNOTEWebb2000231—268-8] Webb, 2000, с. 231—268.

[FOOTNOTEStewart1980-9] Stewart, 1980.

[FOOTNOTEStewart198015-10] Stewart, 1980, с. 15.

[11] Stewart, (1980), «Quasi-convexity and weak quasi-convexity», стр. 76—79.

[FOOTNOTEGrünbaum199443—70-12] Grünbaum, 1994, с. 43—70.