Діаграма Шлегеля — проєкція політопа з в через точку поруч із однією з його граней. Отримана фігура в комбінаторно еквівалентна початковому політопу. Діаграму названо за ім'ям [ru], який 1886 року запропонував цей метод для вивчення комбінаторних та топологічних властивостей політопів. У розмірності 3 і 4 діаграми Шлегеля є проєкціями (3-вимірного) многогранника в плоску фігуру і проєкцією в тривимірний простір відповідно. Як такі, діаграми Шлегеля часто використовують для візуалізації чотиривимірних многогранників.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemRsTDFCdmJIbG9aV1J5WVd4ZmMyTm9iR1ZuWld4ZlpHbGhaM0poYlhNdWMzWm5MekkzTUhCNExWQnZiSGxvWldSeVlXeGZjMk5vYkdWblpXeGZaR2xoWjNKaGJYTXVjM1puTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekl5TDBoNWNHVnlZM1ZpWlM1emRtY3ZNakl3Y0hndFNIbHdaWEpqZFdKbExuTjJaeTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Побудова
Найпростіший опис діаграми Шлегеля для многогранника дав [en]:
- Дуже корисним метод подання опуклого многогранника є плоска проєкція. Якщо цю проєкцію зроблено із зовнішньої точки, оскільки кожен промінь перетинає многогранник двічі, він буде поданий багатокутною областю, розділеною двічі на многокутники. Завжди існує підхожий вибір центру проєкції, щоб проєкція однієї з граней містила проєкції всіх інших граней. Це називають діаграмою Шлегеля многогранника. Діаграма Шлегеля повністю подає морфологію многогранника. Іноді зручно зробити проєкцію многогранника із вершини. Вершина проєктується в нескінченність і не з'являється на діаграмі, ребра, що йдуть до неї подаються променями, що йдуть у нескінченність.
Соммервілл розглядав також випадок симплекса в чотиривимірному просторі: «Діаграма Шлегеля симплекса в S4 є тетраедром, розділеним на чотири тетраедри». У загальнішому випадку, політоп у n-вимірному просторі має діаграму Шлегеля, побудовану за допомогою перспективної проєкції через точку поза політопом над центром грані. Всі вершини та ребра політопа проєктуються на гіперплощину цієї грані. Якщо політоп опуклий, існує точка біля грані, за якої ця грань стає зовнішньою, решта граней опиняються всередині неї, а ребра не перетинаються.
Приклади
Додекаедр | Стодвадцятикомірник |
---|---|
![]() | ![]() |
Різні види візуалізації ікосаедра
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Див. також
- Розгортка — інший підхід до візуалізації через многогранники менших розмірностей, за якого грані роз'єднуються і розгинаються, поки всі грані не опиняться в одній гіперплощині. Таке подання зберігає геометричні розміри та форму, але при цьому складніше розглянути топологічні зв'язки.
Примітки
- Sommervill, 1929, с. 100.
- Sommervill, 1929, с. 101.
Література
- Duncan Sommervill. Introduction to the Geometry of N Dimensions. — E. P. Dutton, 1929. Репринт 1958 видавництвом .
- . . — Druck von E. Blochmann & Sohn in Dresden, 1883. — Т. Nova Acta, Ksl. Leop.-Carol. Deutsche Akademie der Naturforscher XLIV. Архивная копия от 12 марта 2007 на Wayback Machine
- Victor Schlegel. Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper. — Waren, 1886.
- H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. — Methuen and Co, 1948. — С. 242.
- Regular Polytopes. — 3rd edition. — Dover edition, 1973. — .
- Branko Grünbaum. Convex polytopes / Volker Kaibel, Victor Klee, Günter M. Ziegler. — 2nd. — New York, London : Springer-Verlag, 2003. — .
Посилання
- Weisstein, Eric W. Діаграма Шлегеля(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Скелетон(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- George W. Hart: 4D Polytope Projection Models by 3D Printing [ 2 травня 2022 у Wayback Machine.]
- Nrich maths — для школярів та вчителів. [ 17 липня 2011 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Diagrama Shlegelya proyekciya politopa z R d displaystyle R d v R d 1 displaystyle R d 1 cherez tochku poruch iz odniyeyu z jogo granej Otrimana figura v R d 1 displaystyle R d 1 kombinatorno ekvivalentna pochatkovomu politopu Diagramu nazvano za im yam ru yakij 1886 roku zaproponuvav cej metod dlya vivchennya kombinatornih ta topologichnih vlastivostej politopiv U rozmirnosti 3 i 4 diagrami Shlegelya ye proyekciyami 3 vimirnogo mnogogrannika v plosku figuru i proyekciyeyu v trivimirnij prostir vidpovidno Yak taki diagrami Shlegelya chasto vikoristovuyut dlya vizualizaciyi chotirivimirnih mnogogrannikiv Prikladi rozfarbovani za kilkistyu reber kozhnoyi grani zhovti trikutniki chervoni kvadrati ta zeleni p yatikutniki Teserakt sproyektovanij u 3 vimirnij prostir yak diagrama Shlegelya Vidno 8 kubichnih komirok odna v centri po odnij dlya shesti granej centralnogo kuba ta odna zovnishnya gran PobudovaNajprostishij opis diagrami Shlegelya dlya mnogogrannika dav en Duzhe korisnim metod podannya opuklogo mnogogrannika ye ploska proyekciya Yaksho cyu proyekciyu zrobleno iz zovnishnoyi tochki oskilki kozhen promin peretinaye mnogogrannik dvichi vin bude podanij bagatokutnoyu oblastyu rozdilenoyu dvichi na mnogokutniki Zavzhdi isnuye pidhozhij vibir centru proyekciyi shob proyekciya odniyeyi z granej mistila proyekciyi vsih inshih granej Ce nazivayut diagramoyu Shlegelya mnogogrannika Diagrama Shlegelya povnistyu podaye morfologiyu mnogogrannika Inodi zruchno zrobiti proyekciyu mnogogrannika iz vershini Vershina proyektuyetsya v neskinchennist i ne z yavlyayetsya na diagrami rebra sho jdut do neyi podayutsya promenyami sho jdut u neskinchennist Sommervill rozglyadav takozh vipadok simpleksa v chotirivimirnomu prostori Diagrama Shlegelya simpleksa v S4 ye tetraedrom rozdilenim na chotiri tetraedri U zagalnishomu vipadku politop u n vimirnomu prostori maye diagramu Shlegelya pobudovanu za dopomogoyu perspektivnoyi proyekciyi cherez tochku poza politopom nad centrom grani Vsi vershini ta rebra politopa proyektuyutsya na giperploshinu ciyeyi grani Yaksho politop opuklij isnuye tochka bilya grani za yakoyi cya gran staye zovnishnoyu reshta granej opinyayutsya vseredini neyi a rebra ne peretinayutsya PrikladiDodekaedr Stodvadcyatikomirnik 12 p yatikutnih granej na ploshini 120 dodekaedriv komirok u 3 vimirnomu prostori Rizni vidi vizualizaciyi ikosaedra perspektiva rozgortka proyekciya ru Shlegel Vershinna figuraDiv takozhRozgortka inshij pidhid do vizualizaciyi cherez mnogogranniki menshih rozmirnostej za yakogo grani roz yednuyutsya i rozginayutsya poki vsi grani ne opinyatsya v odnij giperploshini Take podannya zberigaye geometrichni rozmiri ta formu ale pri comu skladnishe rozglyanuti topologichni zv yazki PrimitkiSommervill 1929 s 100 Sommervill 1929 s 101 LiteraturaDuncan Sommervill Introduction to the Geometry of N Dimensions E P Dutton 1929 Reprint 1958 vidavnictvom Druck von E Blochmann amp Sohn in Dresden 1883 T Nova Acta Ksl Leop Carol Deutsche Akademie der Naturforscher XLIV Arhivnaya kopiya ot 12 marta 2007 na Wayback Machine Victor Schlegel Ueber Projectionsmodelle der regelmassigen vier dimensionalen Korper Waren 1886 H S M Coxeter Regular Polytopes Methuen and Co 1948 S 242 Regular Polytopes 3rd edition Dover edition 1973 ISBN 0 486 61480 8 Branko Grunbaum Convex polytopes Volker Kaibel Victor Klee Gunter M Ziegler 2nd New York London Springer Verlag 2003 ISBN 0 387 00424 6 PosilannyaWeisstein Eric W Diagrama Shlegelya angl na sajti Wolfram MathWorld Weisstein Eric W Skeleton angl na sajti Wolfram MathWorld George W Hart 4D Polytope Projection Models by 3D Printing 2 travnya 2022 u Wayback Machine Nrich maths dlya shkolyariv ta vchiteliv 17 lipnya 2011 u Wayback Machine