Група Коксетера — група, породжена відображеннями в гранях -вимірного многогранника, в якого кожен двогранний кут становить цілу частину від (тобто дорівнює для деякого цілого ). Такі многогранники називаються многогранниками Коксетера. Групи Коксетера визначаються для багатогранників у евклідовому просторі, на сфері, а також у просторі Лобачевського.
Приклади
- Скінченним групам Коксетера ізоморфні, зокрема, (групи Вейля) простих алгебр Лі.
- Многогранники Коксетера в евклідовому просторі розмірності
:
-вимірний куб довільної розмірності.
-вимірний симплекс, утворений точками з координатами
такими, що
.
- Многогранники Коксетера в одиничній сфері розмірності
:
- правильний
-вимірний симплекс зі стороною
.
- правильний
- Многогранники Коксетера в просторах Лобачевського:
- Правильний
- многокутник із кутом
.
- Правильний прямокутний додекаедр у розмірності
.
- Правильний прямокутний стодвадцятикомірник у розмірності
.
- Правильний
Властивості
- Групи Коксетера описуються і класифікуються за допомогою діаграм Коксетера — Динкіна.
- Многогранник Коксетера є фундаментальною областю дії групи Коксетера.
- Зокрема, многогранник Коксетера замощує простір.
- Зокрема, будь-яка евклідова група Коксетера є прикладом точкової групи.
- Теорема Вінберга. У просторах Лобачевського всіх досить великих розмірностей обмежених многогранників Коксетера не існує.
- Сферичні многогранники Коксетера є симплексами.
- Многогранники Коксетера є простими.
- Позначимо через
відображення в гранях многогранника, і нехай
є двогранний кут між гранями
і
. Нехай
, якщо грані не утворюють двогранного кута у многограннику, і
. Тоді групу Коксетера можна задати так:
Варіації та узагальнення
- Групами Коксетера також називають узагальнення класу груп, описаного вище, що визначається за допомогою задання:
,
- де
і
при
.
Див. також
- (Число Коксетера)
Примітки
- Э. Б. Винберг, Гиперболические группы отражений [ 23 травня 2013 у Wayback Machine.] (УМН), 40:1(241) (1985), 29–66
Література
- H. S. M. Coxeter. Discrete groups generated by reflections // Annals of Mathematics. — 1934. — Vol. 35 (28 June). — P. 588—621. — DOI: . JSTOR 1968753
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет