Стодвадцятикомірник

Стодвадцятикомірник
Діаграма Шлегеля: проєкція (перспектива) стодвадцятикомірника в тривимірний простір
Тип	Правильний чотиривимірний політоп
Символ Шлефлі	{5,3,3}
Комірок	120
Граней	720
Ребер	1200
Вершин	600
Вершинна фігура	Правильний тетраедр
Двоїстий політоп	(Шестисоткомірник)

Пра́вильний стодвадцятикомі́рник, або просто стодвадцятикомі́рник — один із шести правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі. Відомий також під іншими назвами: гекатонікосахор (від дав.-гр. ἑκατόν — «сто», εἴκοσι — «двадцять» і χώρος — «місце, простір»), гіпердодекае́др (оскільки є чотиривимірним аналогом додекаедра), додекаплекс (тобто «комплекс додекаедрів»), полідодека́едр. Двоїстий (шестисоткомірнику).

Розгортка

Відкрив Людвіг Шлефлі в середині 1850-х років. Символ Шлефлі стодвадцятикомірника — {5,3,3}.

Усі 9 його зірчастих форм — правильні зірчасті багатокомірники. З 10 правильних зірчастих багатокомірників лише один не є зірчастою формою стодвадцятикомірника.

Опис

Обмежений 120 тривимірними комірками — однаковими додекаедрами. Кут між двома суміжними комірками дорівнює рівно ${\displaystyle 144^{\circ }}$.

Його 720 двовимірних граней — однакові правильні п'ятикутники. Кожна грань відокремлює 2 комірки, що прилягають до неї.

Має 1200 ребер однакової довжини. На кожному ребрі сходяться по 3 грані та по 3 комірки.

Має 600 вершин. У кожній вершині сходяться по 4 ребра, по 6 граней та по 4 комірки.

В координатах

Стодвадцятикомірник можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб:

• координати 24 його вершин були різноманітними перестановками чисел ${\displaystyle (0;0;\pm 2;\pm 2);}$

• координати 64 вершин — різноманітними перестановками ${\displaystyle (\pm 1;\pm 1;\pm 1;\pm {\sqrt {5}});}$

• координати 64 вершин — різноманітними перестановками ${\displaystyle (\pm \Phi ^{-2};\pm \Phi ;\pm \Phi ;\pm \Phi ),}$ де ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — відношення золотого перетину;

• координати 64 вершин — різноманітними перестановками ${\displaystyle (\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{2});}$

• координати 96 вершин — різноманітними парними перестановками ${\displaystyle (0;\pm \Phi ^{-2};\pm 1;\pm \Phi ^{2});}$

• координати 96 вершин — різноманітними парними перестановками ${\displaystyle (0;\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ;\pm {\sqrt {5}});}$

• координати решти 192 вершин — різноманітними парними перестановками ${\displaystyle (\pm \Phi ^{-1};\pm 1;\pm \Phi ;\pm 2).}$

Початок координат ${\displaystyle (0;0;0;0)}$ буде при цьому центром симетрії багатокомірника, а також центром його вписаної, описаної та напівуписаних тривимірних гіперсфер.

Проєкція обертового стодвадцятикомірника в тривимірний простір

Вигляд зовні

Вигляд зсередини

Ортогональні проєкції на площину

Метричні характеристики

Якщо стодвадцятикомірник має ребро довжини ${\displaystyle a,}$ то його чотиривимірний (гіпероб'єм) і тривимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як

${\displaystyle V_{4}={\frac {15}{4}}\left(105+47{\sqrt {5}}\right)a^{4}\approx 787{,}8569810a^{4},}$

${\displaystyle S_{3}=30\left(15+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 919{,}5742753a^{3}.}$

Радіус описаної тривимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому дорівнюватиме.

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {10}}+3{\sqrt {2}}\right)a\approx 3{,}7024592a,}$

радіус зовнішньої напівуписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їхніх серединах)

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {15}}+2{\sqrt {3}}\right)a\approx 3{,}6685425a,}$

радіус внутрішньої напівуписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней у їхніх центрах)

${\displaystyle \rho _{2}={\sqrt {{\frac {1}{10}}\left(65+29{\sqrt {5}}\right)}}\;a\approx 3{,}6034146a,}$

радіус уписаної гіперсфери (що дотикається до всіх комірок у їхніх центрах)

${\displaystyle r={\frac {1}{4}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)a\approx 3{,}4270510a.}$

Примітки

1. (Д. К. Бобылёв). Четырехмерное пространство // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп. т.). — СПб., 1890—1907. (рос. дореф.)
2. // Glossary for Hyperspace.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Стодвадцятикомірник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Побудова стодвадцятикомірника на YouTube
• . Dimensions (російською) . dimensions-math.org. Архів оригіналу за 4 березня 2015.