Математи́чний ана́ліз — фундаментальний розділ математики, що веде свій відлік від XVII століття, коли було строго сформульовано теорію нескінченно малих. Сучасний математичний аналіз охоплює також теорію функцій, теорії границь і рядів, диференційне та інтегральне числення, диференціальні рівняння та диференціальну геометрію. Математичний аналіз постав визначною віхою в історії науки і сформував обличчя сучасної математики. Аналіз швидко перетворився на надзвичайно потужний інструмент для дослідників природничих наук, а також став одним із рушіїв науково-технічної революції.
Наступним витком у розвитку математичного аналізу став сформований на початку XX століття функціональний аналіз. Якщо класичний аналіз вважає змінну числом — тобто елементом із множини дійсних (або комплексних) чисел, то в функціональному аналізі вже сама функція розглядається як змінна. Одночасно вводиться поняття функціоналу — узагальненої функції, що може приймати іншу функцію як аргумент (функція від функції). У сучасному формулюванні, функціональний аналіз є застосуванням теорії аналізу до довільного простору математичних об'єктів, в якому можливо визначити поняття близькості (топологічний простір), або ж відстані (метричний простір) між об'єктами.
Історія виникнення
В історії математики можна умовно виділити два основні періоди: елементарної та сучасної математики. Межею, від якої ведеться відлік епохи нової (іноді — вищої) математики, стало XVII століття. Саме в XVII столітті з'явився математичний аналіз. Предтечами його було числення нескінченно малих в роботах Валліса, Грегорі, Барроу.
До кінця XVII ст. Ісааком Ньютоном, Готфрідом Лейбніцом було створено апарат диференційного та інтегрального числення, що становить основу математичного аналізу і навіть математичну основу всього сучасного природознавства.
Рух, змінні величини і їхній взаємозв'язок оточують нас усюди. Різні види руху, їхні закономірності становлять основний об'єкт вивчення конкретних наук: фізики, геології, біології, соціології тощо. Точна мова і відповідні математичні методи опису і вивчення таких величин виявилися необхідними в усіх областях знань приблизно як числа й арифметика необхідні для опису кількісних співвідношень. Тому математичний аналіз став основою мови і математичних методів опису змінних величин та зв'язків між ними. В наші дні без математичного аналізу неможливо було б не тільки розрахувати космічні траєкторії, роботу ядерних реакторів, закономірності розвитку циклону, а й ефективно керувати виробництвом, розподілом ресурсів, організацією технологічних процесів, бо все це — динамічні процеси.
Елементарна математика була переважно математикою постійних величин, вона вивчала головним чином співвідношення між елементами геометричних фігур, арифметичні властивості чисел і алгебраїчні рівняння.
Наприкінці XVII століття навколо Лейбніца виникає гурток, найвідомішими представниками якого були брати Бернуллі, і Лопіталь. В 1696, використовуючи лекції Й. Бернуллі, Лопіталь написав перший підручник, що викладав новий метод у використанні до теорії плоских кривих. Він назвав його Аналізом нескінченно малих, даючи тим самим і одну з назв новому розділу в математиці. В основу викладення покладений термін змінних величин, між якими існує певний зв'язок, через який зміна одної тягне за собою зміну іншої. У Лопіталя цей зв'язок дається за допомогою плоских кривих: якщо — рухома точка плоскої кривої, то її декартові координати та , що мають назви діаметр та ордината кривої, змінні, при чому зміна спричинює зміну .
Передумови появи математичного аналізу
До кінця XVII ст. склалася ситуація коли в математиці було накопичено знання про розв'язки деяких важливих класів (наприклад, задачі про обчислення площ і об'ємів нестандартних фігур, задача проведення дотичних до кривих), а також з'явилися методи розв'язання різних часткових випадків. Виявилося, що ці задачі тісно пов'язані з задачами опису деякого (не обов'язково рівномірного) механічного руху, й зокрема обчислення його миттєвих характеристик (швидкості, прискорення в будь-який момент часу), а також знаходження пройденого шляху при русі, що відбувається з заданою змінною швидкістю. Розв'язок цих задач був необхідним для подальшого розвитку фізики, астрономії, техніки. До середини XVII ст. в працях Рене Декарта і П'єра Ферма було закладено основи аналітичного методу координат (так званої аналітичної геометрії), які дозволили сформулювати різноманітні за своїм походженням геометричні і фізичні задачі загальною мовою чисел і числових залежностей (числових функцій).
Всі ці обставини призвели до того, що наприкінці XVII ст. двом ученим Ісааку Ньютону і Готфріду Лейбніцу, незалежно один від одного, вдалося створити математичний апарат для розв'язку вказаних задач. У своїх працях ці вчені зібрали й узагальнили окремі результати попередників починаючи від Архімеда і закінчуючи своїми сучасниками, такими як: Бонавентура Кавальєрі, Блез Паскаль, Джеймс Грегорі, Ісаак Барроу. Цей апарат і склав основу математичного аналізу — нового розділу математики, який вивчає різні динамічні процеси, тобто взаємозв'язки змінних величин, які математики називають функціональними залежностями чи функціями.
Віхи розвитку математичного аналізу
Поняття функції запровадив у XVIII ст. Леонард Ейлер. Упродовж XVIII ст. були розвинуті різноманітні методи аналізу, що збагатили диференціальне та інтегральне числення: варіаційне числення, теорія рядів, теорія звичайних диференціальних рівнянь.
Аналіз функцій дійсної змінної почав набирати ознак окремого розділу математики, коли Бернард Больцано дав сучасне означення неперервності у 1816, хоча роботи Больцано не отримали широкої відомості до 1870-их. З 1821 Огюстен Коші почав формувати міцне логічне підґрунтя під математичним аналізом, формулюючи його через поняття нескінченно малих. Йому також належать поняття фундаментальної послідовності і основи аналізу комплексної змінної. Симеон Пуасон, Жозеф Ліувіль, Жозеф Фур'є та інші вивчали диференціальні рівняння і гармонічний аналіз. Завдяки внеску цих та інших математиків, таких як Карл Веєрштрас розвинувся епсилонний підхід, який є основою сучасного математичного аналізу. Зразком такого підходу є означення границі функції через та .
Усередині XIX століття Бернгард Ріман розвинув теорію інтегрування. Надалі математиків почало бентежити те, що вони припускають існування континууму дійсних чисел без доказу. Розв'язуючи цю проблему, Ріхард Дедекінд сконструював означення ірраціонального числа як переріз Дедекінда, таким чином заповнивши «прогалини» в раціональних числах і утворивши повний метричний простір: континуум дійсних чисел. Приблизно тоді ж спроби уточнити теореми інтегрування за Ріманом призвели до вивчення розривів дійсних функцій.
Почали виникати математичні чудовиська, такі як ніде не неперервна функція Діріхле, неперервна, але ніде не диференційовна функція Веєрштраса, криві, що повністю заповнюють площину на кшталт кривої Пеано. Розв'язуючи проблеми з такими функціями, Каміль Жордан побудував теорію міри Жордана, а Георг Кантор розвинув інтуїтивну теорію множин. На початку 20 століття математичний аналіз був формалізований теорією множин. Анрі Лебег розв'язав проблему міри, а Давид Гільберт запровадив гільбертів простір. Виникла ідея нормованого векторного простору, і в 1920-их Стефан Банах започаткував функціональний аналіз.
Основні розділи
Аналіз функцій дійсної змінної
Аналіз функцій дійсної змінної це галузь математичного аналізу, що займається дійсними числами і функціями дійсної змінної. Зокрема, вона вивчає аналітичні властивості дійсних функцій і послідовностей, включаючи збіжність і границі послідовностей дійсних чисел, числення дійсних чисел і такі властивості функцій дійсних змінник як неперервність, гладкість і інші пов'язані властивості.
Основними операціями над дійсними функціями дійсної змінної є диференціювання й інтегрування. Ці операції дозволяють отримати похідні та первісні. Похідна характеризує швидкість зміни функції в залежності від аргументу, а інтегрування є узагальненням поняття суми на множини з нескінченим числом елементів.
Комплексний аналіз
Комплексний аналіз, традиційно відомий як теорія функцій комплексної змінної — це галузь математичного аналізу яка досліджує функції комплексних чисел. Він є корисним у багатьох інших галузях математики, таких як алгебрична геометрія, теорія чисел, прикладна математика; а також у фізиці, включаючи такі її розділи як гідродинаміка, термодинаміка, машинобудування, електротехніка та електродинаміка, квантова механіка і зокрема, квантову теорію поля.
Комплексний аналіз зокрема вивчає аналітичні функції комплексних змінних (або, у більш загальному випадку, мероморфні функції). Через те, що окремі дійсна і уявна частини будь-якої аналітичної функції повинні задовольняти Рівняння Лапласа, комплексний аналіз широко застосовується для розв'язку двовимірних задач у фізиці.
Функціональний аналіз
Функціональний аналіз це галузь математичного аналізу в основі якої є вивчення векторних просторів, що мають деяку структуру, що має відношення до границі (тобто внутрішній добуток, норма, топологія, та ін.) і в цих просторах лінійне перетворення поводить себе стосовно до цих структур у відповідному сенсі. Історично функціональний аналіз бере початок із вивчення просторів функцій і формулювання властивостей перетворень функцій таких як Перетворення Фур'є, що визначає неперервність, унітарність та інші властивості операторів перетворення між функціональними просторами. Ця точка вивчення виявилася особливо корисною при вивченні диференціальних та інтегральних рівнянь.
Диференціальні рівняння
Цей розділ потребує доповнення. (квітень 2012) |
Закони тих областей науки, що використовують математичний опис, часто формулюються так, що включають не тільки самі змінні, а й їхні похідні. Наприклад, основний закон класичної механіки — другий закон Ньютона, задає зв'язок між зміною швидкості матеріальної точки та силами, які діють на цю точку. Тоді в рівняннях, що описують такі закони, фігурують не тільки невідомі функції, а й похідні невідомих функцій. Виникають диференціальні рівняння, вивченню яких присвячений окремий розділ математики.
Диференціальні рівняння нечасто мають аналітичні розв'язки. Вивчення рівнянь, що зустрічаються, дуже часто призвело до розширення класу відомих функцій за рахунок функцій, які називають спеціальними. Утім диференціальні рівняння можна розв'язувати чисельно, тоді особливого значення набувають знання про загальні властивості розв'язків — доказ існування та стійкості.
Теорія міри
Цей розділ потребує доповнення. (квітень 2012) |
Поняття міри є узагальненням таких числових характеристик множин, як евклідова довжина, площа плоских фігур та -вимірний об'єм для загальніших просторів. Ці характеристики застосовуються в різних просторах для різних класів множин, але при цьому мають спільні властивості:
- вони невід'ємні
- об'єднання двох неперетинних множин дорівнює сумі цих множин.
Замість окремого вивчення довжини, площі, об'єму теорія міри досліджує загальну числову функцію множин — міру, що визначена на певному абстрактному наборі множин і задовільняє дві вказані вище властивості.
Чисельні методи
Чисельні методи — це розділ математики, що вивчає алгоритми, які застосовують чисельне наближення (що є протилежним до загальних символьні обчислення) для розв'язання задач математичного аналізу, що відрізняє їх від дискретної математики.
Цей розділ потребує доповнення. (квітень 2012) |
Застосування
Методи математичного аналізу також використовують і в інших сферах:
Фізичні науки
Переважна частина класичної механіки, відносності та квантової механіки ґрунтується на застосовному аналізі, й, зокрема, на диференціальних рівняннях. До прикладів важливих диференціальних рівнянь належать другий закон Ньютона, рівняння Шредінгера та рівняння Ейнштейна.
Функціональний аналіз також відіграє велику роль у квантовій механіці.
Обробка сигналів
При обробці сигналів, як-от аудіо, радіохвиль, світлових хвиль, сейсмічних хвиль та навіть фото, аналіз Фур'є може ізолювати окремі складові суміші хвиль, концентруючи їх для простішого виявляння або вилучання. Велике сімейство методик обробки сигналів складається із застосування до сигналу перетворення Фур'є, маніпулювання перетвореними даними простим чином, та зворотного перетворення.
Інші сфери застосування математичного аналізу
- Аналітична теорія чисел
- [en]
- Неперервний розподіл імовірності
- Диференціальна ентропія у теорії інформації
- Диференціальні ігри
- Диференціальна геометрія, застосування математичного аналізу до особливих математичних просторів, відомих як многовиди, що володіють складною внутрішньою структурою, але локально поводяться простим чином.
- Диференційовні многовиди
- Диференціальна топологія
- Диференціальні рівняння з частинними похідними
Викладання математичного аналізу у вищій школі
Математичний аналіз входить у загальний курс вищої математики в більшості технічних вишів України поряд із іншими розділами математики, такими як аналітична геометрія, теорія диференціальних рівнянь, теорія ймовірностей тощо. Для тих спеціальностей, що потребують підвищеного вміння користуватися математичним апаратом, наприклад для фізиків, математичний аналіз викладається окремим курсом.
Обсяг матеріалу включає:
- поняття про числову послідовність та її властивості:
- збіжність,
- границю числової послідовності
- монотонність послідовностей,
- часткова границя послідовності, верхня та нижня границя послідовності
- теорію функцій дійсної змінної, включно з
- поняттям про границю функції, неперервність;
- поняттям про похідну та диференціал;
- поняттям про особливі точки (нулі, екстремуми) та асимптотики функцій;
- поняттям первісної
- поняттям інтеграла, що включає основи теорії міри.
- поняттям про апроксимацію, інтерполяцію та екстраполяцію.
- знайомством з деякими спеціальними функціями.
- теорію функцій багатьох змінних, що включає
- поняття часткової похідної
- поняття багатовимірного інтеграла, поверхневого інтеграла та лінійного інтеграла.
- основи векторного числення, поняття векторного поля, дивергенції та ротора.
- поняття про проблему оптимізації.
- теорію рядів, що включає
- поняття про числовий ряд та критерії його збіжності
- поняття про степеневий ряд та ряд Тейлора.
- поняття про ряд Фур'є і принагідно про перетворення Фур'є
- основи чисельного аналізу
Вивчення математичного аналізу закладає основи для подальшого вивчення суміжних дисциплін математики: комплексного аналізу, диференціальної геометрії, теорії звичайних диференціальних рівнянь та диференціальних рівнянь з частковими похідними, що підводить до вивчення задач математичної фізики та функціонального аналізу.
Див. також
Примітки
- Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985., т. 1, Аналіз математичний
- Александров А. Д., Колмогоров А. Н., Лаврентьев М. А. Математика, её содержание, методы и значение. т. 1. — Видавництво Академії наук СРСР, 1956 (рос.)
- Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. с. 17.
- (1997). Beyond the Calculus. The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. с. 379. ISBN .
Дійсний аналіз переріс у окрему дисципліну із запровадження сучасного означення неперервності у 1816 чеським математиком Бернардом Больцано (1781-1848)
- . Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (вид. 3rd). McGraw–Hill. ISBN .
- Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN .
- (1979). Complex Analysis (вид. 3rd). New York: McGraw-Hill. ISBN .
- (1991). . McGraw-Hill Science. ISBN . Архів оригіналу за 14 березня 2020. Процитовано 4 серпня 2018.
- (1994). (вид. 2nd). Springer-Verlag. ISBN . Архів оригіналу за 9 вересня 2020. Процитовано 4 серпня 2018.
- . Теорія міри та інтеграла : навчальний посібник. — ВПЦ «Київський університет», 2012. — 143 с. — .
- (1974). Introduction to Numerical Analysis (вид. 2nd). McGraw-Hill. ISBN .
Література
- Українською
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
- Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — .(укр.)
- Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Либідь, 1994. — 304 с. — .(укр.)
- , Сторож О. Г., (2008). Математичний аналіз -- 421 с. Київ: Знання. ISBN . (укр.)
- ; (2010). Основи математичного аналізу Ч. 1. -- 370 с. Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. ISBN . (укр.)
- Богдан Ковальчук; Йосиф Шіпка (2010). Основи математичного аналізу Ч. 2. -- 418 с. Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. ISBN . (укр.)
- Ю. К. Рудавський, , , , , , (2002). Математичний аналіз : Навч. посібник для студ. Л.: Нац. ун-т «Львів. політехніка». с. 307. (укр.)
- Ю. К. Рудавський, , , , (2003). Математичний аналіз : Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. Ч. 1. Л.: Нац. ун-т «Львів. політехніка». с. 403. (укр.)
- Шкіль М.І. (2005). Математичний аналіз: Підручник: У 2 ч. Київ: Вища школа. ISBN . (укр.)
- Іншими мовами
- Courant, Richard; John, Fritz (1965). Introduction to Calculus and Analysis (PDF). Т. I. New York: Interscience. ISBN .(англ.)
- Courant, Richard; John, Fritz (1974). Introduction to Calculus and Analysis (PDF). Т. II. New York: Interscience. ISBN .(англ.)
- (PDF) (вид. 3rd). New York: McGraw-Hill. с. 342.(англ.) (1986). Principles of Mathematical Analysis
- (PDF) (вид. 3rd). New York: McGraw-Hill. с. 416. ISBN .(англ.) (1987). Real and complex analysis
- (PDF) (вид. 2nd). New York: McGraw-Hill. с. 424.(англ.) (1991). Functional Analysis
- Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. (1974). Математический анализ в примерах и задачах. Часть 1. Введение в анализ, производная, интеграл. Київ: Вища школа. с. 680. (рос.)
- Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. (1977). Математический анализ в примерах и задачах. Часть 2. Ряды, функции нескольких переменных, кратные и криволинейные интегралы. Київ: Вища школа. с. 672. (рос.)
Посилання
- (рос.) Математична фізика, аналіз, геометрія [ 20 серпня 2011 у Wayback Machine.] — щоквартальний науковий журнал Фізико-технічного інституту низьких температур імені Б. І. Вєркіна НАН України.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Matemati chnij ana liz fundamentalnij rozdil matematiki sho vede svij vidlik vid XVII stolittya koli bulo strogo sformulovano teoriyu neskinchenno malih Suchasnij matematichnij analiz ohoplyuye takozh teoriyu funkcij teoriyi granic i ryadiv diferencijne ta integralne chislennya diferencialni rivnyannya ta diferencialnu geometriyu Matematichnij analiz postav viznachnoyu vihoyu v istoriyi nauki i sformuvav oblichchya suchasnoyi matematiki Analiz shvidko peretvorivsya na nadzvichajno potuzhnij instrument dlya doslidnikiv prirodnichih nauk a takozh stav odnim iz rushiyiv naukovo tehnichnoyi revolyuciyi Nastupnim vitkom u rozvitku matematichnogo analizu stav sformovanij na pochatku XX stolittya funkcionalnij analiz Yaksho klasichnij analiz vvazhaye zminnu chislom tobto elementom iz mnozhini dijsnih abo kompleksnih chisel to v funkcionalnomu analizi vzhe sama funkciya rozglyadayetsya yak zminna Odnochasno vvoditsya ponyattya funkcionalu uzagalnenoyi funkciyi sho mozhe prijmati inshu funkciyu yak argument funkciya vid funkciyi U suchasnomu formulyuvanni funkcionalnij analiz ye zastosuvannyam teoriyi analizu do dovilnogo prostoru matematichnih ob yektiv v yakomu mozhlivo viznachiti ponyattya blizkosti topologichnij prostir abo zh vidstani metrichnij prostir mizh ob yektami Istoriya viniknennyaArhimed vikoristovuvav metod vicherpuvannya dlya rozrahunku ploshi obmezhenoyi kolom za dopomogoyu rozrahunku ploshi pravilnogo bagatokutnika vse z bilshoyu i bilshoyu kilkistyu storin Ce buv odin iz davnih neformalnij priklad granici sho ye odnim iz osnovnih ponyat matematichnogo analizu V istoriyi matematiki mozhna umovno vidiliti dva osnovni periodi elementarnoyi ta suchasnoyi matematiki Mezheyu vid yakoyi vedetsya vidlik epohi novoyi inodi vishoyi matematiki stalo XVII stolittya Same v XVII stolitti z yavivsya matematichnij analiz Predtechami jogo bulo chislennya neskinchenno malih v robotah Vallisa Gregori Barrou Do kincya XVII st Isaakom Nyutonom Gotfridom Lejbnicom bulo stvoreno aparat diferencijnogo ta integralnogo chislennya sho stanovit osnovu matematichnogo analizu i navit matematichnu osnovu vsogo suchasnogo prirodoznavstva Ruh zminni velichini i yihnij vzayemozv yazok otochuyut nas usyudi Rizni vidi ruhu yihni zakonomirnosti stanovlyat osnovnij ob yekt vivchennya konkretnih nauk fiziki geologiyi biologiyi sociologiyi tosho Tochna mova i vidpovidni matematichni metodi opisu i vivchennya takih velichin viyavilisya neobhidnimi v usih oblastyah znan priblizno yak chisla j arifmetika neobhidni dlya opisu kilkisnih spivvidnoshen Tomu matematichnij analiz stav osnovoyu movi i matematichnih metodiv opisu zminnih velichin ta zv yazkiv mizh nimi V nashi dni bez matematichnogo analizu nemozhlivo bulo b ne tilki rozrahuvati kosmichni trayektoriyi robotu yadernih reaktoriv zakonomirnosti rozvitku ciklonu a j efektivno keruvati virobnictvom rozpodilom resursiv organizaciyeyu tehnologichnih procesiv bo vse ce dinamichni procesi Elementarna matematika bula perevazhno matematikoyu postijnih velichin vona vivchala golovnim chinom spivvidnoshennya mizh elementami geometrichnih figur arifmetichni vlastivosti chisel i algebrayichni rivnyannya Naprikinci XVII stolittya navkolo Lejbnica vinikaye gurtok najvidomishimi predstavnikami yakogo buli brati Bernulli i Lopital V 1696 vikoristovuyuchi lekciyi J Bernulli Lopital napisav pershij pidruchnik sho vikladav novij metod u vikoristanni do teoriyi ploskih krivih Vin nazvav jogo Analizom neskinchenno malih dayuchi tim samim i odnu z nazv novomu rozdilu v matematici V osnovu vikladennya pokladenij termin zminnih velichin mizh yakimi isnuye pevnij zv yazok cherez yakij zmina odnoyi tyagne za soboyu zminu inshoyi U Lopitalya cej zv yazok dayetsya za dopomogoyu ploskih krivih yaksho M displaystyle M ruhoma tochka ploskoyi krivoyi to yiyi dekartovi koordinati x displaystyle x ta y displaystyle y sho mayut nazvi diametr ta ordinata krivoyi zminni pri chomu zmina x displaystyle x sprichinyuye zminu y displaystyle y Peredumovi poyavi matematichnogo analizu Do kincya XVII st sklalasya situaciya koli v matematici bulo nakopicheno znannya pro rozv yazki deyakih vazhlivih klasiv napriklad zadachi pro obchislennya plosh i ob yemiv nestandartnih figur zadacha provedennya dotichnih do krivih a takozh z yavilisya metodi rozv yazannya riznih chastkovih vipadkiv Viyavilosya sho ci zadachi tisno pov yazani z zadachami opisu deyakogo ne obov yazkovo rivnomirnogo mehanichnogo ruhu j zokrema obchislennya jogo mittyevih harakteristik shvidkosti priskorennya v bud yakij moment chasu a takozh znahodzhennya projdenogo shlyahu pri rusi sho vidbuvayetsya z zadanoyu zminnoyu shvidkistyu Rozv yazok cih zadach buv neobhidnim dlya podalshogo rozvitku fiziki astronomiyi tehniki Do seredini XVII st v pracyah Rene Dekarta i P yera Ferma bulo zakladeno osnovi analitichnogo metodu koordinat tak zvanoyi analitichnoyi geometriyi yaki dozvolili sformulyuvati riznomanitni za svoyim pohodzhennyam geometrichni i fizichni zadachi zagalnoyu movoyu chisel i chislovih zalezhnostej chislovih funkcij Vsi ci obstavini prizveli do togo sho naprikinci XVII st dvom uchenim Isaaku Nyutonu i Gotfridu Lejbnicu nezalezhno odin vid odnogo vdalosya stvoriti matematichnij aparat dlya rozv yazku vkazanih zadach U svoyih pracyah ci vcheni zibrali j uzagalnili okremi rezultati poperednikiv pochinayuchi vid Arhimeda i zakinchuyuchi svoyimi suchasnikami takimi yak Bonaventura Kavalyeri Blez Paskal Dzhejms Gregori Isaak Barrou Cej aparat i sklav osnovu matematichnogo analizu novogo rozdilu matematiki yakij vivchaye rizni dinamichni procesi tobto vzayemozv yazki zminnih velichin yaki matematiki nazivayut funkcionalnimi zalezhnostyami chi funkciyami Vihi rozvitku matematichnogo analizu Divnij atraktor sho vinikaye iz diferencialnih rivnyan Diferencialni rivnyannya ye vazhlivoyu oblastyu matematichnogo analizu sho mayut zastosuvannya u nauci i inzheneriyi Ponyattya funkciyi zaprovadiv u XVIII st Leonard Ejler Uprodovzh XVIII st buli rozvinuti riznomanitni metodi analizu sho zbagatili diferencialne ta integralne chislennya variacijne chislennya teoriya ryadiv teoriya zvichajnih diferencialnih rivnyan Analiz funkcij dijsnoyi zminnoyi pochav nabirati oznak okremogo rozdilu matematiki koli Bernard Bolcano dav suchasne oznachennya neperervnosti u 1816 hocha roboti Bolcano ne otrimali shirokoyi vidomosti do 1870 ih Z 1821 Ogyusten Koshi pochav formuvati micne logichne pidgruntya pid matematichnim analizom formulyuyuchi jogo cherez ponyattya neskinchenno malih Jomu takozh nalezhat ponyattya fundamentalnoyi poslidovnosti i osnovi analizu kompleksnoyi zminnoyi Simeon Puason Zhozef Liuvil Zhozef Fur ye ta inshi vivchali diferencialni rivnyannya i garmonichnij analiz Zavdyaki vnesku cih ta inshih matematikiv takih yak Karl Veyershtras rozvinuvsya epsilonnij pidhid yakij ye osnovoyu suchasnogo matematichnogo analizu Zrazkom takogo pidhodu ye oznachennya granici funkciyi cherez e displaystyle varepsilon ta d displaystyle delta Useredini XIX stolittya Berngard Riman rozvinuv teoriyu integruvannya Nadali matematikiv pochalo bentezhiti te sho voni pripuskayut isnuvannya kontinuumu dijsnih chisel bez dokazu Rozv yazuyuchi cyu problemu Rihard Dedekind skonstruyuvav oznachennya irracionalnogo chisla yak pereriz Dedekinda takim chinom zapovnivshi progalini v racionalnih chislah i utvorivshi povnij metrichnij prostir kontinuum dijsnih chisel Priblizno todi zh sprobi utochniti teoremi integruvannya za Rimanom prizveli do vivchennya rozriviv dijsnih funkcij Pochali vinikati matematichni chudoviska taki yak nide ne neperervna funkciya Dirihle neperervna ale nide ne diferencijovna funkciya Veyershtrasa krivi sho povnistyu zapovnyuyut ploshinu na kshtalt krivoyi Peano Rozv yazuyuchi problemi z takimi funkciyami Kamil Zhordan pobuduvav teoriyu miri Zhordana a Georg Kantor rozvinuv intuyitivnu teoriyu mnozhin Na pochatku 20 stolittya matematichnij analiz buv formalizovanij teoriyeyu mnozhin Anri Lebeg rozv yazav problemu miri a David Gilbert zaprovadiv gilbertiv prostir Vinikla ideya normovanogo vektornogo prostoru i v 1920 ih Stefan Banah zapochatkuvav funkcionalnij analiz Osnovni rozdiliAnaliz funkcij dijsnoyi zminnoyi Dokladnishe Analiz funkcij dijsnoyi zminnoyi Analiz funkcij dijsnoyi zminnoyi ce galuz matematichnogo analizu sho zajmayetsya dijsnimi chislami i funkciyami dijsnoyi zminnoyi Zokrema vona vivchaye analitichni vlastivosti dijsnih funkcij i poslidovnostej vklyuchayuchi zbizhnist i granici poslidovnostej dijsnih chisel chislennya dijsnih chisel i taki vlastivosti funkcij dijsnih zminnik yak neperervnist gladkist i inshi pov yazani vlastivosti Osnovnimi operaciyami nad dijsnimi funkciyami dijsnoyi zminnoyi ye diferenciyuvannya j integruvannya Ci operaciyi dozvolyayut otrimati pohidni ta pervisni Pohidna harakterizuye shvidkist zmini funkciyi v zalezhnosti vid argumentu a integruvannya ye uzagalnennyam ponyattya sumi na mnozhini z neskinchenim chislom elementiv Kompleksnij analiz Dokladnishe Kompleksnij analiz Kompleksnij analiz tradicijno vidomij yak teoriya funkcij kompleksnoyi zminnoyi ce galuz matematichnogo analizu yaka doslidzhuye funkciyi kompleksnih chisel Vin ye korisnim u bagatoh inshih galuzyah matematiki takih yak algebrichna geometriya teoriya chisel prikladna matematika a takozh u fizici vklyuchayuchi taki yiyi rozdili yak gidrodinamika termodinamika mashinobuduvannya elektrotehnika ta elektrodinamika kvantova mehanika i zokrema kvantovu teoriyu polya Kompleksnij analiz zokrema vivchaye analitichni funkciyi kompleksnih zminnih abo u bilsh zagalnomu vipadku meromorfni funkciyi Cherez te sho okremi dijsna i uyavna chastini bud yakoyi analitichnoyi funkciyi povinni zadovolnyati Rivnyannya Laplasa kompleksnij analiz shiroko zastosovuyetsya dlya rozv yazku dvovimirnih zadach u fizici Funkcionalnij analiz Dokladnishe Funkcionalnij analiz Funkcionalnij analiz ce galuz matematichnogo analizu v osnovi yakoyi ye vivchennya vektornih prostoriv sho mayut deyaku strukturu sho maye vidnoshennya do granici tobto vnutrishnij dobutok norma topologiya ta in i v cih prostorah linijne peretvorennya povodit sebe stosovno do cih struktur u vidpovidnomu sensi Istorichno funkcionalnij analiz bere pochatok iz vivchennya prostoriv funkcij i formulyuvannya vlastivostej peretvoren funkcij takih yak Peretvorennya Fur ye sho viznachaye neperervnist unitarnist ta inshi vlastivosti operatoriv peretvorennya mizh funkcionalnimi prostorami Cya tochka vivchennya viyavilasya osoblivo korisnoyu pri vivchenni diferencialnih ta integralnih rivnyan Diferencialni rivnyannya Dokladnishe Diferencialni rivnyannya Cej rozdil potrebuye dopovnennya kviten 2012 Zakoni tih oblastej nauki sho vikoristovuyut matematichnij opis chasto formulyuyutsya tak sho vklyuchayut ne tilki sami zminni a j yihni pohidni Napriklad osnovnij zakon klasichnoyi mehaniki drugij zakon Nyutona zadaye zv yazok mizh zminoyu shvidkosti materialnoyi tochki ta silami yaki diyut na cyu tochku Todi v rivnyannyah sho opisuyut taki zakoni figuruyut ne tilki nevidomi funkciyi a j pohidni nevidomih funkcij Vinikayut diferencialni rivnyannya vivchennyu yakih prisvyachenij okremij rozdil matematiki Diferencialni rivnyannya nechasto mayut analitichni rozv yazki Vivchennya rivnyan sho zustrichayutsya duzhe chasto prizvelo do rozshirennya klasu vidomih funkcij za rahunok funkcij yaki nazivayut specialnimi Utim diferencialni rivnyannya mozhna rozv yazuvati chiselno todi osoblivogo znachennya nabuvayut znannya pro zagalni vlastivosti rozv yazkiv dokaz isnuvannya ta stijkosti Teoriya miri Dokladnishe Mira mnozhini Cej rozdil potrebuye dopovnennya kviten 2012 Ponyattya miri ye uzagalnennyam takih chislovih harakteristik mnozhin yak evklidova dovzhina plosha ploskih figur ta n displaystyle n vimirnij ob yem dlya zagalnishih prostoriv Ci harakteristiki zastosovuyutsya v riznih prostorah dlya riznih klasiv mnozhin ale pri comu mayut spilni vlastivosti voni nevid yemni ob yednannya dvoh neperetinnih mnozhin dorivnyuye sumi cih mnozhin Zamist okremogo vivchennya dovzhini ploshi ob yemu teoriya miri doslidzhuye zagalnu chislovu funkciyu mnozhin miru sho viznachena na pevnomu abstraktnomu nabori mnozhin i zadovilnyaye dvi vkazani vishe vlastivosti Chiselni metodi Dokladnishe Chiselni metodi Chiselni metodi ce rozdil matematiki sho vivchaye algoritmi yaki zastosovuyut chiselne nablizhennya sho ye protilezhnim do zagalnih simvolni obchislennya dlya rozv yazannya zadach matematichnogo analizu sho vidriznyaye yih vid diskretnoyi matematiki Cej rozdil potrebuye dopovnennya kviten 2012 ZastosuvannyaMetodi matematichnogo analizu takozh vikoristovuyut i v inshih sferah Fizichni nauki Perevazhna chastina klasichnoyi mehaniki vidnosnosti ta kvantovoyi mehaniki gruntuyetsya na zastosovnomu analizi j zokrema na diferencialnih rivnyannyah Do prikladiv vazhlivih diferencialnih rivnyan nalezhat drugij zakon Nyutona rivnyannya Shredingera ta rivnyannya Ejnshtejna Funkcionalnij analiz takozh vidigraye veliku rol u kvantovij mehanici Obrobka signaliv Pri obrobci signaliv yak ot audio radiohvil svitlovih hvil sejsmichnih hvil ta navit foto analiz Fur ye mozhe izolyuvati okremi skladovi sumishi hvil koncentruyuchi yih dlya prostishogo viyavlyannya abo viluchannya Velike simejstvo metodik obrobki signaliv skladayetsya iz zastosuvannya do signalu peretvorennya Fur ye manipulyuvannya peretvorenimi danimi prostim chinom ta zvorotnogo peretvorennya Inshi sferi zastosuvannya matematichnogo analizu Analitichna teoriya chisel en Neperervnij rozpodil imovirnosti Diferencialna entropiya u teoriyi informaciyi Diferencialni igri Diferencialna geometriya zastosuvannya matematichnogo analizu do osoblivih matematichnih prostoriv vidomih yak mnogovidi sho volodiyut skladnoyu vnutrishnoyu strukturoyu ale lokalno povodyatsya prostim chinom Diferencijovni mnogovidi Diferencialna topologiya Diferencialni rivnyannya z chastinnimi pohidnimiVikladannya matematichnogo analizu u vishij shkoliMatematichnij analiz vhodit u zagalnij kurs vishoyi matematiki v bilshosti tehnichnih vishiv Ukrayini poryad iz inshimi rozdilami matematiki takimi yak analitichna geometriya teoriya diferencialnih rivnyan teoriya jmovirnostej tosho Dlya tih specialnostej sho potrebuyut pidvishenogo vminnya koristuvatisya matematichnim aparatom napriklad dlya fizikiv matematichnij analiz vikladayetsya okremim kursom Obsyag materialu vklyuchaye ponyattya pro chislovu poslidovnist ta yiyi vlastivosti zbizhnist granicyu chislovoyi poslidovnosti monotonnist poslidovnostej chastkova granicya poslidovnosti verhnya ta nizhnya granicya poslidovnosti teoriyu funkcij dijsnoyi zminnoyi vklyuchno z ponyattyam pro granicyu funkciyi neperervnist ponyattyam pro pohidnu ta diferencial ponyattyam pro osoblivi tochki nuli ekstremumi ta asimptotiki funkcij ponyattyam pervisnoyi ponyattyam integrala sho vklyuchaye osnovi teoriyi miri ponyattyam pro aproksimaciyu interpolyaciyu ta ekstrapolyaciyu znajomstvom z deyakimi specialnimi funkciyami teoriyu funkcij bagatoh zminnih sho vklyuchaye ponyattya chastkovoyi pohidnoyi ponyattya bagatovimirnogo integrala poverhnevogo integrala ta linijnogo integrala osnovi vektornogo chislennya ponyattya vektornogo polya divergenciyi ta rotora ponyattya pro problemu optimizaciyi teoriyu ryadiv sho vklyuchaye ponyattya pro chislovij ryad ta kriteriyi jogo zbizhnosti ponyattya pro stepenevij ryad ta ryad Tejlora ponyattya pro ryad Fur ye i prinagidno pro peretvorennya Fur ye osnovi chiselnogo analizu Vivchennya matematichnogo analizu zakladaye osnovi dlya podalshogo vivchennya sumizhnih disciplin matematiki kompleksnogo analizu diferencialnoyi geometriyi teoriyi zvichajnih diferencialnih rivnyan ta diferencialnih rivnyan z chastkovimi pohidnimi sho pidvodit do vivchennya zadach matematichnoyi fiziki ta funkcionalnogo analizu Div takozhMnozhina Funkciya Pohidna diferencial Integral Mira Lebega KrivaPrimitkiUkrayinska radyanska enciklopediya u 12 t gol red M P Bazhan redkol O K Antonov ta in 2 ge vid K Golovna redakciya URE 1974 1985 t 1 Analiz matematichnij Aleksandrov A D Kolmogorov A N Lavrentev M A Matematika eyo soderzhanie metody i znachenie t 1 Vidavnictvo Akademiyi nauk SRSR 1956 ros Dunham William 1999 Euler The Master of Us All The Mathematical Association of America s 17 1997 Beyond the Calculus The History of Mathematics A Brief Course Wiley Interscience s 379 ISBN 0471180823 Dijsnij analiz pereris u okremu disciplinu iz zaprovadzhennya suchasnogo oznachennya neperervnosti u 1816 cheskim matematikom Bernardom Bolcano 1781 1848 Principles of Mathematical Analysis Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics vid 3rd McGraw Hill ISBN 978 0 07 054235 8 Abbott Stephen 2001 Understanding Analysis Undergraduate Texts in Mathematics New York Springer Verlag ISBN 0 387 95060 5 1979 Complex Analysis vid 3rd New York McGraw Hill ISBN 0 07 000657 1 1991 McGraw Hill Science ISBN 0 07 054236 8 Arhiv originalu za 14 bereznya 2020 Procitovano 4 serpnya 2018 1994 vid 2nd Springer Verlag ISBN 0 387 97245 5 Arhiv originalu za 9 veresnya 2020 Procitovano 4 serpnya 2018 Teoriya miri ta integrala navchalnij posibnik VPC Kiyivskij universitet 2012 143 s ISBN 978 966 439 520 2 1974 Introduction to Numerical Analysis vid 2nd McGraw Hill ISBN 0 07 028761 9 LiteraturaUkrayinskoyuGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr Dorogovcev A Ya Matematichnij analiz Chastina 1 K Libid 1993 320 s ISBN 5 325 00380 1 ukr Dorogovcev A Ya Matematichnij analiz Chastina 2 K Libid 1994 304 s ISBN 5 325 00351 X ukr Storozh O G 2008 Matematichnij analiz 421 s Kiyiv Znannya ISBN 978 966 346 323 0 ukr 2010 Osnovi matematichnogo analizu Ch 1 370 s Lviv Vidavnichij centr LNU imeni Ivana Franka ISBN 9789666137473 ukr Bogdan Kovalchuk Josif Shipka 2010 Osnovi matematichnogo analizu Ch 2 418 s Lviv Vidavnichij centr LNU imeni Ivana Franka ISBN 9789666137497 ukr Yu K Rudavskij 2002 Matematichnij analiz Navch posibnik dlya stud L Nac un t Lviv politehnika s 307 ukr Yu K Rudavskij 2003 Matematichnij analiz Navch posib dlya stud vish navch zakl Ch 1 L Nac un t Lviv politehnika s 403 ukr Shkil M I 2005 Matematichnij analiz Pidruchnik U 2 ch Kiyiv Visha shkola ISBN 966 642 285 9 ukr Inshimi movamiCourant Richard John Fritz 1965 Introduction to Calculus and Analysis PDF T I New York Interscience ISBN 978 3 540 65058 4 angl Courant Richard John Fritz 1974 Introduction to Calculus and Analysis PDF T II New York Interscience ISBN 978 3 540 66569 4 angl inshi movi 1986 Principles of Mathematical Analysis PDF vid 3rd New York McGraw Hill s 342 angl inshi movi 1987 Real and complex analysis PDF vid 3rd New York McGraw Hill s 416 ISBN 978 0 07 054234 1 angl inshi movi 1991 Functional Analysis PDF vid 2nd New York McGraw Hill s 424 angl Lyashko I I Boyarchuk A K Gaj Ya G Golovach G P 1974 Matematicheskij analiz v primerah i zadachah Chast 1 Vvedenie v analiz proizvodnaya integral Kiyiv Visha shkola s 680 ros Lyashko I I Boyarchuk A K Gaj Ya G Golovach G P 1977 Matematicheskij analiz v primerah i zadachah Chast 2 Ryady funkcii neskolkih peremennyh kratnye i krivolinejnye integraly Kiyiv Visha shkola s 672 ros Posilannya ros Matematichna fizika analiz geometriya 20 serpnya 2011 u Wayback Machine shokvartalnij naukovij zhurnal Fiziko tehnichnogo institutu nizkih temperatur imeni B I Vyerkina NAN Ukrayini