Унітарний оператор

Про унітарність у фізиці див. ^[en].

У функціональному аналізі унітарний оператор — це сюр’єктивний обмежений оператор на гільбертовому просторі, який зберігає ^[en]. Унітарні оператори зазвичай вважаються як діючі на гільбертовому просторі, але таке ж поняття служить для визначення поняття ізоморфізму між гільбертовими просторами.

Унітарний елемент — це узагальнення унітарного оператора. Елемент ${\displaystyle U}$ унітарної алгебри називається унітарним елементом, якщо виконується рівність ${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}$, де ${\displaystyle I}$ — тотожний елемент.

Означення

Означення 1. Унітарний оператор — обмежений лінійний оператор ${\displaystyle U\colon H\rightarrow H}$ на гільбертовому просторі ${\displaystyle H}$, який задовольняє рівність ${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}$, де ${\displaystyle U^{*}}$ — спряжений оператор до оператора ${\displaystyle U}$, а ${\displaystyle I\colon H\rightarrow H}$ — тотожний оператор.

Слабша умова ${\displaystyle U^{*}U=I}$ визначає ізометрію. Інша умова, ${\displaystyle UU^{*}=I}$, визначає коізометрію. Таким чином, унітарний оператор — це обмежений лінійний оператор, який одночасно є ізометрією і коізометрією або, що еквівалентно, сюр’єктивною ізометрією.

Еквівалентне означення є наступним:

Означення 2. Унітарний оператор — це обмежений лінійний оператор ${\displaystyle U\colon H\rightarrow H}$ на гільбертовому просторі ${\displaystyle H}$, для якого виконується наступні умови:

• Оператор ${\displaystyle U}$ є сюр’єктивним.
• Оператор ${\displaystyle U}$ зберігає ^[en] гільбертового простору ${\displaystyle H}$. Іншими словами, для всіх векторів ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ в просторі ${\displaystyle H}$ маємо

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.}$

Поняття ізоморфізму в категорії гільбертових просторів фіксується, якщо в цьому означенні розрізняються область визначення й діапазону. Ізометрії зберігають послідовності Коші, а отже, зберігається властивість повноти гільбертових просторів.

Наступне, здавалося б слабкіше, означення також є еквівалентним:

Означення 3. Унітарний оператор — це обмежений лінійний оператор ${\displaystyle U\colon H\rightarrow H}$ на гільбертовому просторі ${\displaystyle H}$, для якого виконується наступні умови:

• Діапазон оператора ${\displaystyle U}$ є щільним у просторі ${\displaystyle H}$.
• Оператор ${\displaystyle U}$ зберігає внутрішній добуток гільбертового простору ${\displaystyle H}$. Іншими словами, для всіх векторів ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ в просторі ${\displaystyle H}$ маємо

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.}$

Щоб переконатися, що означення 1 і 3 є еквівалентними, звернемо увагу, що з умови збереження внутрішнього добутку оператора ${\displaystyle U}$ випливає, що оператор ${\displaystyle U}$ є ізометрією (отже, він є обмеженим лінійним оператором). Той факт, що оператор ${\displaystyle U}$ має щільний діапазон, гарантує, що він має обмежений обернений оператор ${\displaystyle U^{-1}}$. Очевидно, що ${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}$.

Таким чином, унітарні оператори є лише автоморфізмами гільбертових просторів, тобто вони зберігають структуру (у даному випадку лінійну структуру простору, внутрішній добуток, а отже, і топологію простору, на якому вони діють. Групу всіх унітарних операторів із даного гільбертового простору ${\displaystyle H}$ у себе іноді називають групою Гільберта простору ${\displaystyle H}$, позначають як ${\displaystyle \operatorname {Hilb} (H)}$ або ${\displaystyle {\rm {U}}(H)}$.

Приклади

• Тотожне відображення є тривіальним унітарним оператором.
• Повороти в просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ є найпростішим нетривіальним прикладом унітарних операторів. Повороти не змінюють довжину вектора або кут між двома векторами. Цей приклад можна розширити на випадок простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.
• У векторному просторі комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ множення на число з модулем ${\displaystyle 1}$, тобто на число виду ${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }}$ для ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$, є унітарним оператором. Число ${\displaystyle \theta }$ називають фазою, а саме множення називають множенням на фазу. Зауважимо, що значення числа ${\displaystyle \theta }$ за модулем ${\displaystyle 2\pi }$ не впливає на результат множення, і тому незалежні унітарні оператори на ${\displaystyle \mathbb {C} }$ параметризуються колом. Відповідна група, яка як множина є колом, називається ${\displaystyle {\rm {U}}(1)}$.
• У більш загальному випадку унітарні матриці є саме унітарними операторами на скінченновимірних гільбертових просторах, тому поняття унітарного оператора є узагальненням поняття унітарної матриці. Ортогональні матриці — це окремий випадок унітарних матриць, у яких усі елементи є дійсними. Вони є унітарними операторами на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• Двосторонній зсув на просторі послідовностей ${\displaystyle \ell ^{2}}$, що індексується цілими числами, є унітарним. У загальному випадку, будь-який оператор у гільбертовому просторі, який діє шляхом перестановки ортонормованого базису, є унітарним. У скінченномірному випадку такими операторами є матриці перестановок.
• Односторонній зсув (правий зсув) є ізометрією; її спряжена величина (лівий зсув) є коізометрією.
• ^[en] є унітарним оператором, тобто оператором, який виконує перетворення Фур’є (при належній нормалізації). Це випливає з теореми Парсеваля.
• Унітарні оператори використовуються в ^[en].
• Квантові вентилі є унітарними операторами. Не всі вентилі є ермітовими.

Лінійність

Вимога лінійності у означенні унітарного оператора можна відкинути без зміни сенсу, оскільки її можна отримати з лінійності та додатної визначеності скалярного добутку:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\lambda U(x)-U(\lambda x)\|^{2}&=\langle \lambda U(x)-U(\lambda x),\lambda U(x)-U(\lambda x)\rangle \\&=\|\lambda U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-\langle U(\lambda x),\lambda U(x)\rangle -\langle \lambda U(x),U(\lambda x)\rangle \\&=|\lambda |^{2}\|U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle U(\lambda x),U(x)\rangle -\lambda \langle U(x),U(\lambda x)\rangle \\&=|\lambda |^{2}\|x\|^{2}+\|\lambda x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle \lambda x,x\rangle -\lambda \langle x,\lambda x\rangle \\&=0.\end{aligned}}}$

Аналогічно можна отримати

${\displaystyle \|U(x+y)-(Ux+Uy)\|=0.}$

Властивості

• Спектр унітарного оператора ${\displaystyle U}$ лежить на одиничному колі. Тобто для будь-якого комплексного числа ${\displaystyle \lambda }$ зі спектру маємо, що ${\displaystyle |\lambda |=1}$. Це можна розглядати як наслідок спектральної теореми для ^[en]. За теоремою оператор ${\displaystyle U}$ є унітарно еквівалентним множенню на вимірну за Борелем функцію ${\displaystyle f}$ з ${\displaystyle L^{2}(\mu )}$ для деякого простору з скінченною мірою ${\displaystyle (X,\mu )}$. Тоді з рівності ${\displaystyle UU^{*}=I}$ випливає, що ${\displaystyle |f(x)|^{2}=1}$, майже скрізь за мірою ${\displaystyle \mu }$. Це показує, що істотний діапазон функції ${\displaystyle f}$, а отже, спектр оператора ${\displaystyle U}$, лежить на одиничному колі.
• Лінійний оператор є унітарним тоді, коли він сюр’єктивний та ізометричний. (Використайте поляризаційну тотожність для доведеннячастини “й лише тоді”.)

Див. також

• ^[en]
• ^[en]
• Квантовий вентиль — основна схема в квантових обчисленнях
• Унітарна матриця — комплексна матриця, спряжена транспонована матриця якої дорівнює її оберненій
• Унітарне перетворення — ендоморфізм, що зберігає внутрішній добуток
• Унітарна матриця
• Оператор (фізика)

Примітки

1. Doran та ін.
2. Halmos, 1982, Sect. 127, page 69
3. Conway, 1990, Proposition I.5.2
4. Conway, 1990, Definition I.5.1

Література

• Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96. Springer Verlag. .
• Doran, Robert S.; Belfi (1986). Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems. New York: Marcel Dekker. .
• Halmos, Paul (1982). A Hilbert space problem book. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 19 (2nd ed.). Springer Verlag. .
• Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. .