У математиці, і зокрема у функційному аналізі, оператор зсуву, також відомий як оператор трансляції — це оператор, який переводить функцію у її трансляцію . В аналізі часових рядів оператор зсуву називається оператором відставання.
Оператори зсуву є прикладами лінійних операторів, важливі через їх простоту та природність. Дія оператора зсуву на функції дійсної змінної відіграє важливу роль у гармонічному аналізі, наприклад, вона з’являється у визначеннях майже періодичних функцій, позитивно визначених функцій, похідних і згортки. Зміщення послідовностей (функцій цілочисельної змінної) з’являються в різних областях, таких як простори Гарді, теорія абелевих многовидів і теорія символічної динаміки, для яких карта Бейкера є наочним представленням.
Означення
Функції дійсної змінної
Оператор зсуву (де ) переводить функцію f визначену на R у її образ ft,
Практичне операційно-численне представлення лінійного оператора в термінах звичайної похідної було запропоноване Лагранжем
який можна інтерпретувати через його формальний розклад Тейлора в t; і чия дія на одночлен xn очевидна з біноміальної теореми, а отже, і на увесь ряд за x, отже, на всі функції f(x), як описано вище. Отже, це формальне кодування розкладу Тейлора в аналізі Хевісайда.
Таким чином, оператор надає прототип знаменитого адвективного потоку Лі для абелевих груп,
де канонічні координати h (функції Абеля) визначені так, що
З цього легко випливає, що, наприклад, дає масштабування,
отже (паритет); так само, дає
дає
дає
тощо.
Початкова умова потоку та групова властивість однозначно визначають весь потік Лі, забезпечуючи розв’язок трансляційного функційного рівняння
Послідовності
Оператор зсуву вліво діє на односторонню нескінченну послідовність чисел наступним чином
а на двосторонніх нескінченних послідовностях
Оператор зсуву вправо діє на односторонню нескінченну послідовність чисел задається так
а на двосторонніх нескінченних послідовностях
Оператори зсуву вправо і вліво, що діють на двосторонні нескінченні послідовності, називаються двосторонніми зсувами.
Абелеві групи
Загалом, як показано вище, якщо F є функцією на абелевій групі G, а h є елементом G, оператор зсуву T g відображає F на
Властивості оператора зсуву
Оператор зсуву, що діє на дійсно- чи комплекснозначні функції або послідовності, є лінійним оператором, який зберігає більшість стандартних норм, якими оперують в функційному аналізі. Тому зазвичай це неперервний оператор з нормою один.
Застосування на Гільбертових просторах
Оператор зсуву, що діє на двосторонні послідовності, є унітарним оператором в ℓ2(Z). Оператор зсуву, що діє на функції дійсної змінної, є унітарним оператором в L2(R) .
В обох випадках оператор зсуву (вліво) задовольняє таке комутаційне співвідношення з перетворенням Фур’є:де Mt — оператор множення на exp(itx) . Отже, спектр Tt є одиничним колом.
Однобічний зсув S, що діє в ℓ2(N), є правильною ізометрією з діапазоном, що дорівнює всім векторам, перша координата яких зануляється. Оператор S є стисненням T−1 у сенсіде y — вектор у ℓ2(Z) з yi = xi для i ≥ 0 та yi = 0 для i < 0 . Це спостереження лежить в основі побудови багатьох унітарних розширень ізометрій.
Спектр S є одиничним кругом. Зсув S є одним із прикладів оператора Фредгольма з індексом Фредгольма −1.
Узагальнення
Жан Дельсарт ввів поняття узагальненого оператора зсуву (також називається узагальненим оператором зсуву ); далі поняття розвинув Борис Левітан.
Сімейство операторів , що діють в просторі Φ функцій з множини X на множину C, називається сімейством операторів узагальненого зсуву, якщо задовольняються наступні умови:
- Асоціативність: нехай . Тоді .
- — є тотожним оператором.
Див. також
- Арифметичний зсув
- Логічний зсув
- Кінцева різниця
Примітки
- Marchenko, V. A. (2006). The generalized shift, transformation operators, and inverse problems. Mathematical events of the twentieth century. Berlin: Springer. с. 145—162. doi:10.1007/3-540-29462-7_8. MR 2182783.
- Jordan, Charles, (1939/1965).
- M Hamermesh (1989), Group Theory and Its Application to Physical Problems (Dover Books on Physics), Hamermesh ISBM 978-0486661810, Ch 8-6, pp 294-5, online.
- p 75 of Georg Scheffers (1891): Sophus Lie, Vorlesungen Ueber Differentialgleichungen Mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen, Teubner, Leipzig, 1891.
- Aczel, J (2006), Lectures on Functional Equations and Their Applications (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, .
- "A one-parameter continuous group is equivalent to a group of translations".
Бібліографія
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici i zokrema u funkcijnomu analizi operator zsuvu takozh vidomij yak operator translyaciyi ce operator yakij perevodit funkciyu x f x displaystyle x mapsto f x u yiyi translyaciyu x f x a displaystyle x mapsto f x a V analizi chasovih ryadiv operator zsuvu nazivayetsya operatorom vidstavannya Operatori zsuvu ye prikladami linijnih operatoriv vazhlivi cherez yih prostotu ta prirodnist Diya operatora zsuvu na funkciyi dijsnoyi zminnoyi vidigraye vazhlivu rol u garmonichnomu analizi napriklad vona z yavlyayetsya u viznachennyah majzhe periodichnih funkcij pozitivno viznachenih funkcij pohidnih i zgortki Zmishennya poslidovnostej funkcij cilochiselnoyi zminnoyi z yavlyayutsya v riznih oblastyah takih yak prostori Gardi teoriya abelevih mnogovidiv i teoriya simvolichnoyi dinamiki dlya yakih karta Bejkera ye naochnim predstavlennyam OznachennyaFunkciyi dijsnoyi zminnoyi Operator zsuvu T t displaystyle T t de t R displaystyle t in R perevodit funkciyu f viznachenu na R u yiyi obraz ft T t f x f t x f x t displaystyle T t f x f t x f x t Praktichne operacijno chislenne predstavlennya linijnogo operatora T t displaystyle T t v terminah zvichajnoyi pohidnoyi d d x displaystyle frac d dx bulo zaproponovane Lagranzhem T t e t d d x displaystyle T t e t frac d dx yakij mozhna interpretuvati cherez jogo formalnij rozklad Tejlora v t i chiya diya na odnochlen xn ochevidna z binomialnoyi teoremi a otzhe i na uves ryad za x otzhe na vsi funkciyi f x yak opisano vishe Otzhe ce formalne koduvannya rozkladu Tejlora v analizi Hevisajda Takim chinom operator nadaye prototip znamenitogo advektivnogo potoku Li dlya abelevih grup e t b x d d x f x e t d d h F h F h t f h 1 h x t displaystyle e t beta x frac d dx f x e t frac d dh F h F h t f left h 1 h x t right de kanonichni koordinati h funkciyi Abelya viznacheni tak sho h x 1 b x f x F h x displaystyle h x equiv frac 1 beta x qquad f x equiv F h x Z cogo legko viplivaye sho napriklad b x x displaystyle beta x x daye masshtabuvannya e t x d d x f x f e t x displaystyle e tx frac d dx f x f e t x otzhe e i p x d d x f x f x displaystyle e i pi x frac d dx f x f x paritet tak samo b x x 2 displaystyle beta x x 2 daye e t x 2 d d x f x f x 1 t x displaystyle e tx 2 frac d dx f x f left frac x 1 tx right b x 1 x displaystyle beta x 1 x daye e t x d d x f x f x 2 2 t displaystyle e frac t x frac d dx f x f left sqrt x 2 2t right b x e x displaystyle beta x e x daye exp t e x d d x f x f ln 1 e x t displaystyle exp left te x frac d dx right f x f left ln left frac 1 e x t right right tosho Pochatkova umova potoku ta grupova vlastivist odnoznachno viznachayut ves potik Li zabezpechuyuchi rozv yazok translyacijnogo funkcijnogo rivnyannya f t f t x f t t x displaystyle f t f tau x f t tau x Poslidovnosti Operator zsuvu vlivo diye na odnostoronnyu neskinchennu poslidovnist chisel nastupnim chinom S a 1 a 2 a 3 a 2 a 3 a 4 displaystyle S a 1 a 2 a 3 ldots mapsto a 2 a 3 a 4 ldots a na dvostoronnih neskinchennih poslidovnostyah T a k k a k 1 k displaystyle T a k k infty infty mapsto a k 1 k infty infty Operator zsuvu vpravo diye na odnostoronnyu neskinchennu poslidovnist chisel zadayetsya tak S a 1 a 2 a 3 0 a 1 a 2 displaystyle S a 1 a 2 a 3 ldots mapsto 0 a 1 a 2 ldots a na dvostoronnih neskinchennih poslidovnostyah T 1 a k k a k 1 k displaystyle T 1 a k k infty infty mapsto a k 1 k infty infty Operatori zsuvu vpravo i vlivo sho diyut na dvostoronni neskinchenni poslidovnosti nazivayutsya dvostoronnimi zsuvami Abelevi grupi Zagalom yak pokazano vishe yaksho F ye funkciyeyu na abelevij grupi G a h ye elementom G operator zsuvu T g vidobrazhaye F na F g h F h g displaystyle F g h F h g Vlastivosti operatora zsuvuOperator zsuvu sho diye na dijsno chi kompleksnoznachni funkciyi abo poslidovnosti ye linijnim operatorom yakij zberigaye bilshist standartnih norm yakimi operuyut v funkcijnomu analizi Tomu zazvichaj ce neperervnij operator z normoyu odin Zastosuvannya na Gilbertovih prostorah Operator zsuvu sho diye na dvostoronni poslidovnosti ye unitarnim operatorom v ℓ2 Z Operator zsuvu sho diye na funkciyi dijsnoyi zminnoyi ye unitarnim operatorom v L2 R V oboh vipadkah operator zsuvu vlivo zadovolnyaye take komutacijne spivvidnoshennya z peretvorennyam Fur ye F T t M t F displaystyle mathcal F T t M t mathcal F de Mt operator mnozhennya na exp itx Otzhe spektr Tt ye odinichnim kolom Odnobichnij zsuv S sho diye v ℓ2 N ye pravilnoyu izometriyeyu z diapazonom sho dorivnyuye vsim vektoram persha koordinata yakih zanulyayetsya Operator S ye stisnennyam T 1 u sensiT 1 y S x for each x ℓ 2 N displaystyle T 1 y Sx text for each x in ell 2 mathbb N de y vektor u ℓ2 Z z yi xi dlya i 0 ta yi 0 dlya i lt 0 Ce sposterezhennya lezhit v osnovi pobudovi bagatoh unitarnih rozshiren izometrij Spektr S ye odinichnim krugom Zsuv S ye odnim iz prikladiv operatora Fredgolma z indeksom Fredgolma 1 UzagalnennyaZhan Delsart vviv ponyattya uzagalnenogo operatora zsuvu takozh nazivayetsya uzagalnenim operatorom zsuvu dali ponyattya rozvinuv Boris Levitan Simejstvo operatoriv L x x X displaystyle L x x in X sho diyut v prostori F funkcij z mnozhini X na mnozhinu C nazivayetsya simejstvom operatoriv uzagalnenogo zsuvu yaksho zadovolnyayutsya nastupni umovi Asociativnist nehaj R y f x L x f y displaystyle R y f x L x f y Todi L x R y R y L x displaystyle L x R y R y L x e X L e displaystyle exists e in X L e ye totozhnim operatorom Div takozhArifmetichnij zsuv Logichnij zsuv Kinceva riznicyaPrimitkiMarchenko V A 2006 The generalized shift transformation operators and inverse problems Mathematical events of the twentieth century Berlin Springer s 145 162 doi 10 1007 3 540 29462 7 8 MR 2182783 Jordan Charles 1939 1965 M Hamermesh 1989 Group Theory and Its Application to Physical Problems Dover Books on Physics Hamermesh ISBM 978 0486661810 Ch 8 6 pp 294 5 online p 75 of Georg Scheffers 1891 Sophus Lie Vorlesungen Ueber Differentialgleichungen Mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen Teubner Leipzig 1891 ISBN 978 3743343078 Aczel J 2006 Lectures on Functional Equations and Their Applications Dover Books on Mathematics 2006 Ch 6 ISBN 978 0486445236 A one parameter continuous group is equivalent to a group of translations BibliografiyaPartington Jonathan R 15 bereznya 2004 Linear Operators and Linear Systems Cambridge University Press doi 10 1017 cbo9780511616693 ISBN 978 0 521 83734 7 Marvin Rosenblum and James Rovnyak Hardy Classes and Operator Theory 1985 Oxford University Press