Оператор Фредгольма

Оператор Фредгольма або оператор Нетера — лінійний оператор між векторними просторами для якого ядро і коядро мають скінченні розмірності. Лінійний оператор між скінченновимірними просторами очевидно завжди є фредгольмовим. Тому інтерес становить випадок нескінченновимірних просторів. Найчастіше фредгольмові оператори розглядають для банахових просторів і гільбертових просторів і додатково вводиться умова обмеженості оператора.

Означення

Лінійний оператор ${\displaystyle A\colon X\to Y}$ між двома векторними просторами ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ називають оператором Фредгольма, якщо

• Ядро ${\displaystyle \ker A}$ тобто множина ${\displaystyle \{x\in X:Ax=0\}}$ має скінченну розмірність
• Образ ${\displaystyle \mathrm {ran} \,A}$, тобто множина ${\displaystyle \{Ax\mid x\in X\}\subseteq Y}$ має скінченну корозмірність у ${\displaystyle Y}$. Іншими словами коядро ${\displaystyle Y/\mathrm {ran} \,A}$ є скінченновимірним.

Найчастіше оператори розглядають для гільбертових чи банахових просторів і тоді, як правило, додатково вводиться умова обмеженості оператора.

Множина операторів Фредгольма між просторами ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ позначатиметься ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X,\;Y)}$.

Число

${\displaystyle \mathrm {ind} (A)=\dim(\ker A)-\mathrm {codim} (\mathrm {ran} \,A,Y)\in \mathbb {Z} }$

називається індексом Фредгольма оператора ${\displaystyle A}$. Для скінченновимірних просторів усі лінійні оператори є фредгольмовими і для всіх операторів між скінченновимірними просторами ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle \mathrm {ind} (A)=\dim(X)-\dim(Y).}$

Приклади

Оператори зсуву

Нехай ${\displaystyle H}$ є гільбертовим простором із ортонормальним базисом ${\displaystyle \{e_{n}\}}$ проіндексованим натуральними числами. Правий оператор зсуву на k позицій за означенням є:

${\displaystyle S_{k}(e_{n})=e_{n+k}.\,}$

Він є ін'єктивним і має корозмірність ${\displaystyle k}$. Відповідно його індекс є рівним ${\displaystyle -k}$. Для лівого зсуву

${\displaystyle S_{k}^{*}(e_{i})={\begin{cases}e_{i-k},&i>k\\0,&i\leqslant k\end{cases}}}$

ядро має розмірність k і оператор є сюр'єктивним, тобто індекс у цьому випадку є рівним ${\displaystyle k}$.

Інтегральний оператор

Докладніше: Інтегральний оператор Фредгольма

Класичним інтегральним оператором Фредгольма називають оператор

${\displaystyle A:=I+T}$,

де ${\displaystyle I}$ є тотожним оператором, а ${\displaystyle T}$ є цілком неперервним.

Наприклад на просторі неперервних функцій ${\displaystyle C([a,b])}$, або, більш загально, просторі функцій що є інтегровними із квадратом ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$ оператор ${\displaystyle A}$ задається як

${\displaystyle (A\phi )(x)=\phi (x)+\int _{a}^{b}k(x,y)\phi (y)\mathrm {d} y}$,

де ядро інтегрування ${\displaystyle k}$ є неперервним або квадратно інтегровним. Цей оператор є оператором Фредгольма з індексом 0. У теорії інтегральних рівнянь Фредгольма вивчаються рівняння ${\displaystyle A\phi (x)=f(x)}$. Ключовим результатом теорії є альтернатива Фредгольма.

Тензорний добуток оператора Фредгольма і ізоморфізму

Якщо ${\displaystyle A:H\to H}$ є оператором Фредгольма над довільним комплексним векторним простором, а ${\displaystyle S:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}$ є лінійним ізоморфізмом, то ${\displaystyle \ker(A\otimes S)=\ker A\otimes \mathbb {C} ^{n},\ }$ ${\displaystyle \mathrm {ran} (A\otimes S)=\mathrm {ran} A\otimes \mathbb {C} ^{n},\ }$ і також ${\displaystyle \mathrm {coker} (A\otimes S)=\mathrm {coker} A\otimes \mathbb {C} ^{n}.\ }$

Тому ${\displaystyle A\otimes S}$ теж є оператором Фредгольма і ${\displaystyle \mathrm {ind} (A\otimes S)=n\cdot \mathrm {ind} (A).}$

Властивості

Всюди розглядається обмежений оператор Фредгольма між банаховими просторами.

• Образ (обмеженого) оператора Фредгольма між банаховими просторами є замкнутим підпростором.
• Якщо ${\displaystyle A\colon X\to Y}$ є оператором Фредгольма, то для скінченновимірного підпростору ${\displaystyle \ker(A)}$ існує замкнутий підпростір ${\displaystyle W}$ у ${\displaystyle X}$ для якого ${\displaystyle X=\ker(A)\oplus W}$. Обмеження ${\displaystyle {\widetilde {A}}\colon W\to \operatorname {ran} (A)}$ оператора ${\displaystyle A}$ на цей підпростір є бієктивним оператором для якого обернений оператор теж є обмеженим. Таким чином для ${\displaystyle A}$ існує неперервний обернений оператор за винятком підпросторів скінченної розмірності.
• Спряжений до оператора Фредгольма оператор теж є фредгольмовим: ${\displaystyle A\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\Leftrightarrow A^{'}\in {\mathcal {N}}(Y^{'},\;X^{'})}$ і для індексів цих операторів: ${\displaystyle \mathrm {ind} \,A^{'}=-\mathrm {ind} \,A}$
• Композиція ${\displaystyle B\circ A}$ фредгольмових операторів є оператором Фредгольма з індексом ${\displaystyle \mathrm {ind} \,B\circ A=\mathrm {ind} \,A+\mathrm {ind} \,B}$
• Для (обмеженого) оператора Фредгольма: ${\displaystyle A\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\;}$ і цілком неперервного оператора ${\displaystyle S\in {\mathcal {K}}(X,\;Y)}$ оператор ${\displaystyle A+S}$ теж є фредгольмовим і ${\displaystyle \mathrm {ind} \,(A+S)=\mathrm {ind} \,A}$
• Якщо на комутативній діаграмі із довільними векторними просторами і лінійними відображеннями між ними:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}0&\to &X&\xrightarrow {f} &Y&\xrightarrow {g} &Z&\to &0\\&&A\downarrow \quad &&B\downarrow \quad &&C\downarrow \quad &&\\0&\to &X'&\xrightarrow {f'} &Y'&\xrightarrow {g'} &Z'&\to &0\end{array}}}$

обидва рядки є точними послідовностями і ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle C}$ є операторами Фредгольма, то і ${\displaystyle B}$ є оператором Фредгольма і ${\displaystyle \mathrm {ind} \,B=\mathrm {ind} \,A+\mathrm {ind} \,C.}$

• Із попереднього, якщо ${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}(X,\;Y)}$ (тобто є цілком неперервним), а ${\displaystyle S\in \mathrm {Inv} (X,\;Y)}$ то ${\displaystyle S+K}$ є оператором Фредгольма індекс якого є рівним 0 (оскільки оборотний оператор є очевидно фредгольмовим із індексом 0). Навпаки, будь-який фредгольмів оператор індексу 0 є сумою оборотного і цілком неперервного операторів.
• Властивість Фредгольма і індекс також зберігаються при досить малих обмежених збуреннях, тобто ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\;\exists \varepsilon :\,\forall S\in {\mathcal {B}}(X,\;Y),\|S\|\leqslant \varepsilon \Rightarrow A+S\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;\mathrm {ind} \,(A+S)=\mathrm {ind} \,A}$. Інакше кажучи, множина ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X,\;Y)}$ є відкритою у множині ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\;Y)}$ обмежених операторів. Індекс Фредгольма є константою на кожній компоненті зв'язності множини ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X,\;Y)}$.
• Згідно теореми Аткінсона оператор ${\displaystyle A\colon X\to Y}$ є фредгольмовим, якщо і тільки якщо існують оператори ${\displaystyle B_{1},B_{2}}$ і цілком неперервні оператори ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$ такі, що ${\displaystyle AB_{1}=I_{Y}-K_{1}}$ і ${\displaystyle B_{2}A=I_{X}-K_{2}}$.
• Якщо ${\displaystyle A\colon X\to X}$ є оператором Фредгольма, то існує ${\displaystyle \varepsilon >0}$, що для всіх ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ для яких ${\displaystyle 0<|\lambda |<\varepsilon }$ виконуються нерівності:

1. ${\displaystyle \dim \ker(A-\lambda I)\equiv \mathrm {const} \leq \dim \ker A}$ und
2. ${\displaystyle \mathrm {codim} \,\mathrm {ran} (A-\lambda I)\equiv \mathrm {const} \leq \mathrm {codim} \,\mathrm {ran} A}$

Зокрема ${\displaystyle A-\lambda I}$ є оператором Фредгольма із індексом ${\displaystyle \mathrm {ind} (A-\lambda I)=\mathrm {ind} (A)}$.

Див. також

• Інтегральний оператор Фредгольма
• Теорія_Фредгольма
• Цілком неперервний оператор

Література

• D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. .
• Murphy, Gerald J. (1990), C*–Algebras and Operator Theory, Academic Press, ISBN