Спряжений оператор

Спря́жений оператор — одне з важливих понять в функціональному аналізі.

Означення

Нехай  ${\displaystyle A:E_{1}\to E_{2}}$ — лінійний неперервний оператор, що відображає нормований простір ${\displaystyle E_{1}}$ в нормований простір ${\displaystyle E_{2}}$. Тоді спряженим оператором оператору ${\displaystyle A}$ називається таке відображення ${\displaystyle A^{*}:E_{2}^{*}\to E_{1}^{*}}$ спряжених просторів, що діє згідно з правилом:

${\displaystyle (A^{*}f)(x)=f(Ax)(\forall f\in E_{2}^{*},\forall x\in E_{1}).}$

Рівності можна надати більш виразної форми, якщо значення ${\displaystyle \phi (x)}$ функціонала ${\displaystyle \phi \in E^{*}}$ на елементі ${\displaystyle x\in E}$ записувати у вигляді ${\displaystyle \left\langle x,\phi \right\rangle }$. Тоді спряжений оператор ${\displaystyle A^{*}}$ визначається рівністю

${\displaystyle \left\langle x,A^{*}f\right\rangle =\left\langle Ax,f\right\rangle (\forall f\in E_{2}^{*},\forall x\in E_{1}).}$

Гільбертів простір

Відмітимо, що, згідно з теоремою Ріса про загальний вигляд лінійного неперервного функціоналу, заданого на гільбертовому просторі ${\displaystyle H}$, оператор ${\displaystyle A^{*}:H\to H}$, спряжений до лінійного неперервного оператора ${\displaystyle A:H\to H}$, визначається за допомогою рівності

${\displaystyle (x,A^{*}y)=(Ax,y)(\forall x,y\in H),}$

що збігається в такому випадку з рівністю, якою визначається спряжений оператор.

В гільбертовому просторі найцікавішими є ті оператори, що рівні своїм спряженим: ${\displaystyle A^{*}=A}$, так звані самоспряжені оператори. Таким чином, оператор ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(H)}$ називається самоспряженим, якщо ${\displaystyle (Ax,y)=(x,Ay)}$ для довільних елементів ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ гільбертового простору ${\displaystyle H}$. Для самоспряженого оператора ${\displaystyle A:H\to H}$ справедлива рівність ${\displaystyle \lVert A\rVert =\sup _{\lVert x\rVert \leq 1}|(Ax,x)|}$.

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)