Спектр оператора

Спектр оператора — множина чисел, що характеризує лінійний оператор. Використовується в лінійній алгебрі, функціональному аналізі та квантовій механіці.

Нехай A — оператор, що діє в комплексному банаховому просторі E. Комплексне число λ має назву регулярного для оператора A, якщо оператор ${\displaystyle R(\lambda )=(A-\lambda I)^{-1}}$, що має назву резольвенти оператора A, визначений на всьому E і неперервний. Множина регулярних значень оператора A має назву резольвентної множини цього оператора, а доповнення резольвентної множини — спектром цього оператора. Спектр оператора є непорожнім компактом на комплексній площині ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

В спектрі оператора можна виділяти частини, не однакові по своїх властивостях. Однією з основних класифікацій спектру є наступна:

1. дискретним (точковим) спектром називається множина всіх власних значень оператора A;
2. неперервним спектром називається множина значень ${\displaystyle \lambda }$, при яких резольвента ${\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}}$ визначена на всюду щільній множині в E, але не є неперервною;
3. залишковим спектром називається множина точок спектру, що не входять ні до дискретної, ні до безперервної частин.

Максимум модулів точок спектру оператора A називається спектральным радіусом цього оператора і позначається через ${\displaystyle r(A)}$. При цьому виконується рівність ${\displaystyle r(A)=\lim _{n\to \infty }\|A^{n}\|^{1/n}.}$

Резольвента є голоморфною операторнозначною функцією на резольвентній множині. Зокрема, при ${\displaystyle \lambda >r(A)}$ вона може бути розкладена в ряд Лорана з центром в точці ${\displaystyle z=0}$.

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)