Тотожність (в математиці) — рівність двох виразів, яка виконується на всій множині значень змінних (рівність, що виконується для будь-яких значень змінної), наприклад,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
тощо.
Рівність має місце не для будь-якого значення , а тільки при . Така рівність не є тотожністю; вона називається рівнянням. Тотожністю називають також рівність, що не містить змінних; наприклад: .
Тотожність часто позначається символом «≡»
Формули скороченого множення
- Квадрат суми (різниці): справедлива рівності для будь яких .
- Різниця квадратів: справедлива рівність для будь яких .
- Куб суми (різниці): справедлива рівність для будь яких .
- Сума (різниця) кубів: справедлива рівність для будь яких .
- Многочлени справедлива рівність для будь яких .
Пропорція
Пропорція є тотожність при всіх значеннях , крім , оскільки при знаменники дробів перетворюються в нуль, тобто дроби не мають змісту. Заміна виразу виразом (скоротили на ) є тотожнім перетворенням виразу при обмеженнях: .Отже, = — тотожність при всіх значеннях змінних, крім .
Тотожності (властивості степенів)
Для будь яких і додатних справедливі рівності:
; ; ; ; ; ; .
Логарифмічні тотожності
Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів; логарифм частки дорівнює різниці логарифмів. Логарифм степеня дорівнює добутку показника степеня p на логарифм самого числа х; логарифм кореня p-го степеня з числа х — логарифм числа, поділений на p. У наступній таблиці перелічені ці тотожності з прикладами. Дані логарифмічні тотожності виконуються за умови, що , .
Формула | Приклад | |
---|---|---|
добуток | ||
частка | ||
степінь | ||
корінь |
З означення логарифма випливає, що при виконується рівність . ЇЇ називають основною логарифмічною тотожністю.
Формула переходу до іншої основи логарифма
Прологарифмуємо за основою , де , обидві частини основної логарифмічної тотожності . Отримаємо: — формула переходу від логарифма з основою до логарифма з основою .
Тотожності гіперболічної функції
Гіперболічні функції задовольняють безліч тотожностей, всі вони подібні за формою до тригонометричних тотожностей. Правило Осборна зазначає, що можна перетворити будь-яку тригонометричну тотожність у гіперболічну тотожність, розширивши її повністю. Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції і гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.
- Парність:
- Формули додавання:
- .
Приклади тотожностей в математиці
Див. також
Примітки і джерела
- Admin. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ ВО ВТУЗЫ (С РЕШЕНИЯМИ)/под ред. М.И. Сканави. Книга 1. Алгебра ОНЛАЙН. edu-lib.com (ru-RU) . Процитовано 2 січня 2020.
- Admin. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся ОНЛАЙН. edu-lib.com (ru-RU) . Процитовано 2 січня 2020.
- . 4book.org. Архів оригіналу за 29 липня 2021. Процитовано 7 січня 2020.
- Алгебра (Мерзляк, Номіровський, Полонський, Якір) 11 клас. Шкільні підручники онлайн (укр.). Процитовано 7 січня 2020.
- Алгебра (Істер, Єргіна) 11 клас. Шкільні підручники онлайн (укр.). Процитовано 7 січня 2020.
- Osborn, G. (1 липня 1902). 109. Mnemonic for Hyperbolic Formulae. doi:10.2307/3602492. Процитовано 7 січня 2020.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Totozhnist v matematici rivnist dvoh viraziv yaka vikonuyetsya na vsij mnozhini znachen zminnih rivnist sho vikonuyetsya dlya bud yakih znachen zminnoyi napriklad a b b a displaystyle a b b a a 2 b 2 a b a b displaystyle a 2 b 2 a b a b a b 2 a 2 2 a b b 2 displaystyle a b 2 a 2 2ab b 2 sin 2 x cos 2 x 1 displaystyle sin 2 x cos 2 x 1 a b c 2 a 2 b 2 c 2 2 a b 2 a c 2 b c displaystyle a b c 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc a b c 2 a 2 b 2 c 2 2 a b 2 a c 2 b c displaystyle a b c 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc a b 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a b 3 b 4 displaystyle left a b right 4 a 4 4 cdot a 3 cdot b 6 cdot a 2 cdot b 2 4 cdot a cdot b 3 b 4 a b d a d b displaystyle a frac b d frac ad b a c d a c d displaystyle a cdot frac c d frac ac d a b 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a b 3 b 4 displaystyle a b 4 a 4 4 cdot a 3 cdot b 6 cdot a 2 cdot b 2 4 cdot a cdot b 3 b 4 tosho Rivnist x 2 5 displaystyle x 2 5 maye misce ne dlya bud yakogo znachennya x displaystyle x a tilki pri x 3 displaystyle x 3 Taka rivnist ne ye totozhnistyu vona nazivayetsya rivnyannyam Totozhnistyu nazivayut takozh rivnist sho ne mistit zminnih napriklad 25 2 625 displaystyle 25 2 625 Totozhnist chasto poznachayetsya simvolom Formuli skorochenogo mnozhennyaKvadrat sumi riznici a b 2 a 2 2 a b b 2 displaystyle a pm b 2 a 2 pm 2ab b 2 spravedliva rivnosti dlya bud yakih a b displaystyle a b Riznicya kvadrativ a 2 b 2 a b a b displaystyle a 2 b 2 a b a b spravedliva rivnist dlya bud yakih a b displaystyle a b Kub sumi riznici a b 3 a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3 displaystyle a pm b 3 a 3 pm 3a 2 b 3ab 2 pm b 3 spravedliva rivnist dlya bud yakih a b displaystyle a b Suma riznicya kubiv a 3 b 3 a b a 2 a b b 2 displaystyle a 3 pm b 3 a pm b a 2 mp ab b 2 spravedliva rivnist dlya bud yakih a b displaystyle a b Mnogochleni a b c 2 a 2 b 2 c 2 2 a b 2 a c 2 b c displaystyle a b pm c 2 a 2 b 2 c 2 2ab pm 2ac pm 2bc spravedliva rivnist dlya bud yakih a b c displaystyle a b c ProporciyaProporciya 2 a a 1 10 a 5 a 1 displaystyle frac 2a a 1 frac 10a 5 a 1 ye totozhnist pri vsih znachennyah a displaystyle a krim a 1 displaystyle a 1 oskilki pri a 1 displaystyle a 1 znamenniki drobiv peretvoryuyutsya v nul tobto drobi ne mayut zmistu Zamina virazu a c b c displaystyle frac ac bc virazom a b displaystyle frac a b skorotili na c displaystyle c ye totozhnim peretvorennyam virazu a c b c displaystyle frac ac bc pri obmezhennyah b 0 c 0 displaystyle b neq 0 c neq 0 Otzhe a c b c displaystyle frac ac bc a b displaystyle frac a b totozhnist pri vsih znachennyah zminnih krim b 0 c 0 displaystyle b 0 c 0 Totozhnosti vlastivosti stepeniv Dlya bud yakih x y displaystyle x y i dodatnih a b displaystyle a b spravedlivi rivnosti a 0 1 displaystyle a 0 1 a x a y a x y displaystyle a x a y a x y a x a y a x y displaystyle a x div a y a x y a x y a x y displaystyle a x y a xy a b x a x b x displaystyle ab x a x b x a b x a x b x displaystyle frac a b x frac a x b x a x 1 a x displaystyle a x frac 1 a x Logarifmichni totozhnostiLogarifm dobutku dorivnyuye sumi logarifmiv logarifm chastki dorivnyuye riznici logarifmiv Logarifm stepenya x p displaystyle x p dorivnyuye dobutku pokaznika stepenya p na logarifm samogo chisla h logarifm korenya p go stepenya z chisla h logarifm chisla podilenij na p U nastupnij tablici perelicheni ci totozhnosti z prikladami Dani logarifmichni totozhnosti vikonuyutsya za umovi sho x gt 0 y gt 0 a gt 0 a 1 displaystyle x gt 0 y gt 0 a gt 0 a neq 1 p R displaystyle p in R Formula Priklad dobutok log b x y log b x log b y displaystyle log b xy log b x log b y log 3 243 log 3 9 27 log 3 9 log 3 27 2 3 5 displaystyle log 3 243 log 3 9 cdot 27 log 3 9 log 3 27 2 3 5 chastka log b x y log b x log b y displaystyle log b left frac x y right log b x log b y log 2 16 log 2 64 4 log 2 64 log 2 4 6 2 4 displaystyle log 2 16 log 2 left frac 64 4 right log 2 64 log 2 4 6 2 4 stepin log b x p p log b x displaystyle log b x p p log b x log 2 64 log 2 2 6 6 log 2 2 6 displaystyle log 2 64 log 2 2 6 6 log 2 2 6 korin log b x p log b x p displaystyle log b sqrt p x frac log b x p log 10 1000 1 2 log 10 1000 3 2 1 5 displaystyle log 10 sqrt 1000 frac 1 2 log 10 1000 frac 3 2 1 5 Z oznachennya logarifma viplivaye sho pri a gt 0 a 1 b gt 0 displaystyle a gt 0 a neq 1 b gt 0 vikonuyetsya rivnist a log a b b displaystyle a log a b b YiYi nazivayut osnovnoyu logarifmichnoyu totozhnistyu Formula perehodu do inshoyi osnovi logarifmaPrologarifmuyemo za osnovoyu c displaystyle c de c gt 0 c 1 displaystyle c gt 0 c neq 1 obidvi chastini osnovnoyi logarifmichnoyi totozhnosti a log a b b displaystyle a log a b b Otrimayemo log a b log c b log c a displaystyle log a b frac log c b log c a formula perehodu vid logarifma z osnovoyu a displaystyle a do logarifma z osnovoyu c displaystyle c Totozhnosti giperbolichnoyi funkciyiGiperbolichni funkciyi zadovolnyayut bezlich totozhnostej vsi voni podibni za formoyu do trigonometrichnih totozhnostej Pravilo Osborna zaznachaye sho mozhna peretvoriti bud yaku trigonometrichnu totozhnist u giperbolichnu totozhnist rozshirivshi yiyi povnistyu Funkciya Gudermana zv yazuye trigonometrichni funkciyi i giperbolichni funkciyi bez zaluchennya kompleksnih chisel ch 2 x sh 2 x 1 displaystyle operatorname ch 2 x operatorname sh 2 x 1 Parnist sh x sh x displaystyle operatorname sh x operatorname sh x ch x ch x displaystyle operatorname ch x operatorname ch x th x th x displaystyle operatorname th x operatorname th x Formuli dodavannya sh x y sh x ch y sh y ch x displaystyle operatorname sh x pm y operatorname sh x operatorname ch y pm operatorname sh y operatorname ch x ch x y ch x ch y sh y sh x displaystyle operatorname ch x pm y operatorname ch x operatorname ch y pm operatorname sh y operatorname sh x th x y th x th y 1 th x th y displaystyle operatorname th x pm y frac operatorname th x pm operatorname th y 1 pm operatorname th x operatorname th y Prikladi totozhnostej v matematiciTotozhnist Ejlera Totozhnist paralelograma Totozhnist chotiroh kvadrativ Totozhnist vosmi kvadrativ Trigonometrichni totozhnostiDiv takozhVidnoshennya ekvivalentnostiPrimitki i dzherelaAdmin SBORNIK ZADACh PO MATEMATIKE DLYa POSTUPAYuShIH VO VTUZY S REShENIYaMI pod red M I Skanavi Kniga 1 Algebra ONLAJN edu lib com ru RU Procitovano 2 sichnya 2020 Admin Gusev V A Mordkovich A G Matematika Spravochnye materialy Kniga dlya uchashihsya ONLAJN edu lib com ru RU Procitovano 2 sichnya 2020 4book org Arhiv originalu za 29 lipnya 2021 Procitovano 7 sichnya 2020 Algebra Merzlyak Nomirovskij Polonskij Yakir 11 klas Shkilni pidruchniki onlajn ukr Procitovano 7 sichnya 2020 Algebra Ister Yergina 11 klas Shkilni pidruchniki onlajn ukr Procitovano 7 sichnya 2020 Osborn G 1 lipnya 1902 109 Mnemonic for Hyperbolic Formulae doi 10 2307 3602492 Procitovano 7 sichnya 2020