Тригонометричні тотожності

Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями, що виконуються для всіх значень аргумента зі спільної області визначення.

Основні позначення

Кути

В цій статті кути позначені грецькими буквами ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ і т. д. Величину кута найчастіше задають в градусах або радіанах:

1 повне коло  = 360 градусів = 2${\displaystyle \pi }$ радіан  

В наступній таблиці наведено спвівідношення між значеннями в градусах і радіанах для деяких кутів

Градуси	30°	60°	120°	150°	210°	240°	300°	330°
Радіани	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\!}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}\!}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}\!}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}\!}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}\!}$	${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}\!}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}\!}$	${\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}\!}$
Градуси	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
Радіани	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\!}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\!}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}\!}$	${\displaystyle \pi \!}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}\!}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\!}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}\!}$	${\displaystyle 2\pi \!}$

Якщо не сказано інакше, то всі кути задано у радіанах, а кути, що закінчуються символом (°) — в градусах.

Тригонометричні функції

Докладніше: Тригонометричні функції

У статті будуть наведені співвідношення та тотожності для шести основних тригонометричних функцій:

• синус ${\displaystyle \sin \alpha ,}$

• косинус ${\displaystyle \cos \alpha ,}$

• тангенс ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},\quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}$

• котангенс ${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},\quad \alpha \neq \pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}$

• секанс ${\displaystyle \operatorname {sec} \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }},\quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}$

• косеканс ${\displaystyle \operatorname {csc} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }},\quad \alpha \neq \pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}$

В англомовній літературі тангенс та котангенс зазвичай позначають ${\displaystyle \tan \alpha }$ та ${\displaystyle \cot \alpha ,}$ відповідно.

Обернені тригонометричні функції

Докладніше: Обернені тригонометричні функції

Обернені тригонометричні функції це такі функції, композиція яких зі звичайними тригонометричними функціями дає тотожне відображення. Наприклад, функція обернена до синуса, відома як обернений синус (sin⁻¹) або арксинус (arcsin or asin), задовольняє співвідношення

${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x,\quad \quad |x|\leq 1}$

та

${\displaystyle \arcsin(\sin x)=x,\quad \quad |x|\leq {\frac {\pi }{2}}.}$

Тригонометричні функції та обернені до них наведені в наступній таблиці:

Функція	sin	cos	tg	ctg	sec	csc
Обернена	arcsin	arccos	arctg	arcctg	arcsec	arccsc

Екзотичні тригонометричні функції

Докладніше: Екзотичні тригонометричні функції

Крім основних шести, також використовують інші тригонометричні функції кута. Їх використовували раніше при розв'язуванні різних навігаційних задач, однак з розвитком обчислювальної техніки вони втратили свою актуальність.

Назва	Скорочене позн.	Значення
синус-верзус	${\displaystyle \operatorname {versin} (\theta )}$ ${\displaystyle \operatorname {vers} (\theta )}$ ${\displaystyle \operatorname {ver} (\theta )}$	${\displaystyle 1-\cos(\theta )}$
косинус-верзус	${\displaystyle \operatorname {vercosin} (\theta )}$	${\displaystyle 1+\cos(\theta )}$
коверсинус	${\displaystyle \operatorname {coversin} (\theta )}$ ${\displaystyle \operatorname {cvs} (\theta )}$	${\displaystyle 1-\sin(\theta )}$
коверкосинус	${\displaystyle \operatorname {covercosin} (\theta )}$	${\displaystyle 1+\sin(\theta )}$
гаверсинус	${\displaystyle \operatorname {haversin} (\theta )}$	${\displaystyle {\frac {1-\cos(\theta )}{2}}}$
гаверкосинус	${\displaystyle \operatorname {havercosin} (\theta )}$	${\displaystyle {\frac {1+\cos(\theta )}{2}}}$
когаверсинус	${\displaystyle \operatorname {hacoversin} (\theta )}$	${\displaystyle {\frac {1-\sin(\theta )}{2}}}$
когаверкосинус	${\displaystyle \operatorname {hacovercosin} (\theta )}$	${\displaystyle {\frac {1+\sin(\theta )}{2}}}$
ексеканс	${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )}$	${\displaystyle \sec(\theta )-1}$
екскосеканс	${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )}$	${\displaystyle \csc(\theta )-1}$
хорда	${\displaystyle \operatorname {crd} (\theta )}$	${\displaystyle 2\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Таблиці значень тригонометричних функцій

Значення тригонометричних функцій для найпоширеніших значень кутів (в радіанах)

	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$
${\displaystyle \sin \alpha =}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle \cos \alpha =}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha =}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \pm \infty }$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \pm \infty }$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha =\!}$	${\displaystyle \pm \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \pm \infty }$	${\displaystyle 0}$

В тих точках, де значення тангенса та котангенса прямують до нескінченності знак залежить від того з якого боку до цієї точки ми підходимо.

Для тангенса — якщо справа, то ${\displaystyle +\infty }$, а якщо зліва, то ${\displaystyle -\infty }$. Для котангенса навпаки.

Значення тригонометричних функцій для деяких кутів

	${\displaystyle {\frac {\pi }{16}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{15}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{10}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}$
${\displaystyle \sin \alpha =}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}}$
${\displaystyle \cos \alpha =}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$

Основні тригонометричні формули

Основні формули
${\displaystyle ~\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$	(1)
${\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha }$	(2)
${\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {csc} ^{2}\alpha }$	(3)

Формула (1) є наслідком теореми Піфагора (Тригонометрична тотожність Піфагора). Формули (2) і (3) добуваються діленням формули (1) на ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha }$ та ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha }$ відповідно.

Співвідношення між основними тригонометричними функціями

Кожна з тригонометричних функцій виражена через п'ять інших.

	${\displaystyle \sin \alpha \!}$	${\displaystyle \cos \alpha \!}$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \!}$	${\displaystyle \csc \alpha \!}$	${\displaystyle \sec \alpha \!}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \!}$
${\displaystyle \sin \alpha =\!}$	${\displaystyle \sin \alpha \ }$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\operatorname {tg} \alpha }{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\csc \alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}{\sec \alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}}\!}$
${\displaystyle \cos \alpha =\!}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}\!}$	${\displaystyle \cos \alpha \!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}{\csc \alpha }}\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sec \alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\operatorname {ctg} \alpha }{\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}}\!}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha =\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sin \alpha }{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}{\cos \alpha }}\!}$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}}\!}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {ctg} \alpha }}\!}$
${\displaystyle \csc \alpha =\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sin \alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}{\operatorname {tg} \alpha }}\!}$	${\displaystyle \csc \alpha \!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sec \alpha }{\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}}\!}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}\!}$
${\displaystyle \sec \alpha =\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}}\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos \alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\csc \alpha }{\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}}\!}$	${\displaystyle \sec \alpha \!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}{\operatorname {ctg} \alpha }}\!}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha =\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}{\sin \alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\cos \alpha }{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}}\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {tg} \alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}}\!}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \!}$

Формули зведення

Сукупність формул, що відображають симетрію тригонометричних функцій відносно певних значень кутів, перетворення при зсуві аргументу на деякий кут, а також періодичність тригонометричних функцій.

Симетрія

Виконуються такі співвідношення:

Симетрія відносно кута ${\displaystyle \alpha =0}$	Симетрія відносно ${\displaystyle \alpha =\pi /2}$ (співвідношення між ко-функціями)	Симетрія відносно ${\displaystyle \alpha =\pi }$
${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\alpha )&=-\sin \alpha \\\cos(-\alpha )&=+\cos \alpha \\\operatorname {tg} (-\alpha )&=-\operatorname {tg} \alpha \\\csc(-\alpha )&=-\csc \alpha \\\sec(-\alpha )&=+\sec \alpha \\\operatorname {ctg} (-\alpha )&=-\operatorname {ctg} \alpha \\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\cos \alpha \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\sin \alpha \\\operatorname {tg} ({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\operatorname {ctg} \alpha \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\sec \alpha \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\csc \alpha \\\operatorname {ctg} ({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\operatorname {tg} \alpha \\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi -\alpha )&=+\sin \alpha \\\cos(\pi -\alpha )&=-\cos \alpha \\\operatorname {tg} (\pi -\alpha )&=-\operatorname {tg} \alpha \\\csc(\pi -\alpha )&=+\csc \alpha \\\sec(\pi -\alpha )&=-\sec \alpha \\\operatorname {ctg} (\pi -\alpha )&=-\operatorname {ctg} \alpha \\\end{aligned}}}$

Зсув та періодичність

Співвідношення часто використовують для спрощення обчислень.

Зсув на π/2	Зсув на π Період tg і ctg	Зсув на 2π Період sin, cos, csc і sec
${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \alpha \\\cos(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \alpha \\\mathrm {tg} (\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\operatorname {ctg} \alpha \\\csc(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \alpha \\\sec(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \alpha \\\mathrm {ctg} (\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\operatorname {tg} \alpha \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\pi )&=-\sin \alpha \\\cos(\alpha +\pi )&=-\cos \alpha \\\mathrm {tg} (\alpha +\pi )&=+\operatorname {tg} \alpha \\\csc(\alpha +\pi )&=-\csc \alpha \\\sec(\alpha +\pi )&=-\sec \alpha \\\mathrm {ctg} (\alpha +\pi )&=+\operatorname {ctg} \alpha \\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +2\pi )&=+\sin \alpha \\\cos(\alpha +2\pi )&=+\cos \alpha \\\mathrm {tg} (\alpha +2\pi )&=+\operatorname {tg} \alpha \\\csc(\alpha +2\pi )&=+\csc \alpha \\\sec(\alpha +2\pi )&=+\sec \alpha \\\mathrm {ctg} (\alpha +2\pi )&=+\operatorname {ctg} \alpha \end{aligned}}}$

Формули для суми аргументів

Візуалізація формули (6)

Формули для суми аргументів
${\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$	(5)
${\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }$	(6)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\mathop {\mathrm {tg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {tg} } \beta }{1\mp \mathop {\mathrm {tg} } \alpha \mathop {\mathrm {tg} } \beta }}}$	(7)
${\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha \mathop {\mathrm {ctg} } \beta \mp 1}{\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {ctg} } \beta }}}$

Формула (7) отримана діленням (5) на (6).

Синус і косинус від нескінченної суми

${\displaystyle \sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=2k+1\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \alpha _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \alpha _{i}\right),}$

${\displaystyle \cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }~(-1)^{k}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=2k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \alpha _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \alpha _{i}\right).}$

У правих частинах рівності суму взято по всіх підмножинах натуральних чисел з 2k+1 або 2k елементів відповідно.

Тангенси від сум аргументів

Нехай ${\displaystyle e_{k}=e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\,k=0,1,2,\ldots ,n=1,2,3\ldots ,}$ — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних

${\displaystyle x_{i}=\operatorname {tg} \alpha _{i}\quad i=1,2,\ldots ,n.}$

Наприклад:

${\displaystyle e_{0}=1,}$

${\displaystyle e_{1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i}\operatorname {tg} \alpha _{i},}$

${\displaystyle e_{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}=\sum _{i<j}\operatorname {tg} \alpha _{i}\operatorname {tg} \alpha _{j},}$

${\displaystyle e_{3}=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}=\sum _{i<j<k}\operatorname {tg} \alpha _{i}\operatorname {tg} \alpha _{j}\operatorname {tg} \alpha _{k}.}$

Тоді

${\displaystyle \operatorname {tg} \left(\sum _{i=1}^{2k}\alpha _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots +(-1)^{k+1}e_{2k-1}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k}}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{2i-1}}{\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{2i}}},\!}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \left(\sum _{i=1}^{2k+1}\alpha _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k+1}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k}}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i}e_{2i+1}}{\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{2i}}}.\!}$

Наприклад:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}}{1\ -\ \mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2}}},\\[8pt]\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}}={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}+\mathrm {tg} \,\alpha _{3}-\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2}\mathrm {tg} \,\alpha _{3}}{1-(\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\,\mathrm {tg} \,\alpha _{2}+\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\,\mathrm {tg} \,\alpha _{3}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}\mathrm {tg} \,\alpha _{3})}},\\[8pt]\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\alpha _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}}\end{aligned}}}$

і так далі.

Секанс і косеканс від суми аргументів

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{\displaystyle \sum _{0\leq 2k\leq n}(-1)^{k}e_{2k}}}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{\displaystyle \sum _{1\leq 2k+1\leq n}(-1)^{k}e_{2k+1}}}\end{aligned}}}$

де e_k — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних (дивись пункт тангенси від сум аргументів)

${\displaystyle x_{i}=\operatorname {tg} \alpha _{i}\quad i=1,2,\ldots ,n.}$

Наприклад,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta -\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\gamma -\mathrm {tg} \,\beta \,\mathrm {tg} \,\gamma }},\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\mathrm {tg} \,\alpha +\mathrm {tg} \,\beta +\mathrm {tg} \,\gamma -\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta \operatorname {tg} \gamma }}.\end{aligned}}}$

Формули подвійного кута

Формули подвійного кута виведені з формул (5), (6) і (7), якщо взяти кут β рівним α:

Формули подвійного кута
${\displaystyle \mathop {\mathrm {sin} } 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha }$	(23)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {cos} } 2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }=2\cos ^{2}\alpha -1={1-2\operatorname {sin} ^{2}\alpha }={\frac {1-\mathop {\mathrm {tg} } ^{2}\alpha }{1+\mathop {\mathrm {tg} } ^{2}\alpha }}}$	(24)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,2\alpha ={\frac {2\mathop {\mathrm {tg} } \alpha }{1-\mathop {\mathrm {tg} } ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {tg} \alpha }}}$	(25)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,2\alpha ={\frac {\mathop {\mathrm {ctg} } ^{2}\alpha -1}{2\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {tg} \alpha }{2}}}$

Формули потрійного кута

Формули потрійного кута
${\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha =4\sin \alpha \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)\,}$
${\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha =4\cos \alpha \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)\,}$
${\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}=\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}=\mathrm {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)}$

Формули кратних кутів

Формули кратних кутів
${\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha }$
${\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha }$
${\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\operatorname {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\operatorname {tg} ^{2k}\alpha }}}}$
${\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\operatorname {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\operatorname {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}}}$

де ${\displaystyle [n]}$ — ціла частина числа ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ — біноміальний коефіцієнт.

Вивід формул  

Формули для кратних кутів виводяться за допомогою формули Муавра

${\displaystyle \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\cos \left(n\alpha \right)+i\sin \left(n\alpha \right),\quad i^{2}=-1.}$

Розкриємо праву частину рівності за формулою бінома Ньютона

${\displaystyle \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\sum _{q=0}^{n}{n \choose q}(\cos \alpha )^{n-q}(i\sin \alpha )^{q}.}$

Врахувавши, що ${\displaystyle i^{2k}=(-1)^{k},\,i^{2k+1}=(-1)^{k}i,\,k\in \mathbb {Z} _{+},}$ та виділивши окремо дійсну та уявну частини, рівність запишемо у вигляді

${\displaystyle \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k}(\sin \alpha )^{2k}+i\left(\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k-1}(\sin \alpha )^{2k+1}\right).}$

Підставимо отриману рівність у формулу Муавра

${\displaystyle \sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k}(\sin \alpha )^{2k}+i\left(\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k-1}(\sin \alpha )^{2k+1}\right)=\cos \left(n\alpha \right)+i\sin \left(n\alpha \right).}$

Оскільки два комплексні числа рівні тоді і лише тоді коли рівні їхні дійсні та уявні частини, то з останньої рівності отримуємо шукані формули

${\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,}$

${\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha .}$

Ітераційні формули

${\displaystyle \sin(n+1)\alpha =2\sin \alpha \cos n\alpha +\sin(n-1)\alpha ,}$

${\displaystyle \cos(n+1)\alpha =2\cos \alpha \cos n\alpha +\cos(n-1)\alpha .}$

${\displaystyle \mathrm {tg} (n+1)\alpha ={\frac {\mathrm {tg} (n\alpha )+\operatorname {tg} \alpha }{1-\mathrm {tg} (n\alpha )\operatorname {tg} \alpha }}.}$

${\displaystyle \mathrm {ctg} (n+1)\alpha ={\frac {\mathrm {ctg} (n\alpha )\operatorname {ctg} \alpha -1}{\mathrm {ctg} (n\alpha )+\operatorname {ctg} \alpha }}.}$