Звичайні диференціальні рівняння — диференціальні рівняння вигляду
де — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної , штрих означає диференціювання по . Число називається порядком диференціального рівняння.
Розв'язування диференціального рівняння називають інтегруванням, а його розв'язок інтегралом диференціального рівняння. Якщо розв'язок диференціального рівняння можна задати у вигляді аналітичного рівняння
- ,
то говорять, що диференціальне рівняння розв'язується в квадратурах.
Задача розв'язування звичайного диференціального рівняння є знаходження невідомої функції. Загалом ця задача має нескінченно багато розв'язків. Кількість розв'язків обмежується накладанням на невідому функцію додаткових початкових або граничних умов.
Звичайні диференціальні рівняння першого порядку
Звича́йним диференціальним рівня́нням пе́ршого поря́дку називають рівняння вигляду
де — незалежна змінна,
— невідома функція від змінної
,
— похідна функції
, а
— задана функція, яка визначена в деякій області
простору
.
Розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку називають функцію ,
, яка задовольняє такі умови:
(
неперервно диференційована на
);
;
.
Загальним розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку називають функцію від незалежної змінної
та параметра
, яка задовольняє умову:
- для будь-якого конкретного (допустимого) значення
параметра
функція
від змінної
, що пробігає допустимі значення з деякого числового проміжку (тобто,
), є розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку.
Якщо загальний розв'язок звичайного диференціального рівняння першого порядку має таку властивість:
- який би не був розв'язок
,
, звичайного диференційного рівняння першого порядку знайдеться значення
параметра
таке, що
,
,
то цей загальний розв'язок називають повним загальним розв'язком (у протилежному разі його ще називають неповним загальним розв'язком).
Інтегралом звичайного диференціального рівняння першого порядку називають співвідношення вигляду , якщо будь-яка неявно задана ним неперервно диференційовна функція є розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку.
Диференціальне рівняння записане у вигляді у загальному вигляді ще називають неявним диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо ж у виразі, що задає рівняння явно виділено похідну
, тобто рівняння записане як
, то таке рівняння називають явним. Диференціальне рівняння першого порядку записане у вигляді
де задані неперервні функції двох змінних, які одночасно не тотожні нулю, називається диференціальним рівнянням записаним у симетричні формі.
Найпоширенішими типами диференціальних рівнянь першого порядку, які інтегруються у квадратурах є наступні:
Рівняння з відокремлюваними змінними
Рівняння у симетричній формі або явне диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо воно може бути представлене у вигляді:
відповідно. Такі рівняння завжди можна розв'язати у квадратурах.
Однорідні рівняння
Поняття однорідного диференціального рівняння першого порядку пов'язане з однорідними функціями. Рівняння у симетричній формі у випадку, коли функції є однорідними функціями одного порядку, та явне рівняння у випадку, коли
є однорідною функцією нульового порядку називаються однорідними диференціальними рівняннями.
Такі рівняння заміною змінних зводяться до рівняння з відокремлюваними змінними відносно невідомої функції
Лінійні рівняння першого порядку
Диференціальне рівняння першого порядку у випадку коли є лінійною функцією за сукупністю змінних
називається лінійним однорідним рівнянням і може бути записане у вигляді
Поряд з лінійним однорідним рівнянням розглядається також лінійне неоднорідне рівняння, яке має вигляд
Загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння записується формулою
з якої, поклавши , отримуємо у загальний розв'язок лінійного однорідного рівняння.
Диференціальне рівняння Бернуллі
Явне диференціальне рівняння, записане у вигляді
називається рівнянням Бернуллі. Заміною змінних рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння відносно
.
Цей розділ потребує доповнення. (січень 2022) |
Пониження порядку диференціальних рівнянь
Часто диференціальне рівняння високого порядку може бути розв'язане шляхом пониження порядку рівняння, зокрема і до рівняння першого порядку.
Зведення рівняння вищого порядку до системи рівнянь першого порядку
Вводячи змінні ,
,
, звичайне диференціальне рівняння можна записати у вигляді першого порядку
Методи розв'язання
Аналітичні
Цей розділ потребує доповнення. (вересень 2010) |
Чисельні
Див. також
Література
- Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; (2003). Диференціальні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 600. ISBN .(укр.)
- Кривошея С.А.; Перестюк М.О.; (2004). Диференціальні та інтегральні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 407. ISBN .(укр.)
- Шкіль М. І.; Сотніченко М. А. (1992). Звичайні диференціальні рівняння: Навчальний посібник для вузів. Київ: Вища школа.(укр.)
- Pontryagin, Lev (1962). (PDF). Adiwes International Series in Mathematics. Pergamon Press. Архів оригіналу (PDF) за 13 липня 2020. Процитовано 13 липня 2020. (англ.)
- Понтрягін Л. С. (1974). Обыкновенные дифференциальные уравнения (PDF). М. с. 331.(рос.)
- Арнольд В. И. (2014). Обыкновенные дифференциальные уравнения (PDF). М: МЦНМО. с. 341. ISBN .(рос.)
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Zvichajni diferencialni rivnyannya diferencialni rivnyannya viglyadu F x y y y y n 0 displaystyle F left x y y y y n right 0 de y y x displaystyle y y x nevidoma funkciya mozhlivo vektor funkciya v takomu vipadku chasto govoryat pro sistemu diferencialnih rivnyan sho zalezhit vid zminnoyi x displaystyle x shtrih oznachaye diferenciyuvannya po x displaystyle x Chislo n displaystyle n nazivayetsya poryadkom diferencialnogo rivnyannya Rozv yazuvannya diferencialnogo rivnyannya nazivayut integruvannyam a jogo rozv yazok integralom diferencialnogo rivnyannya Yaksho rozv yazok diferencialnogo rivnyannya mozhna zadati u viglyadi analitichnogo rivnyannya G x y 0 displaystyle G x y 0 to govoryat sho diferencialne rivnyannya rozv yazuyetsya v kvadraturah Zadacha rozv yazuvannya zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya ye znahodzhennya nevidomoyi funkciyi Zagalom cya zadacha maye neskinchenno bagato rozv yazkiv Kilkist rozv yazkiv obmezhuyetsya nakladannyam na nevidomu funkciyu dodatkovih pochatkovih abo granichnih umov Zvichajni diferencialni rivnyannya pershogo poryadkuZvicha jnim diferencialnim rivnya nnyam pe rshogo porya dku nazivayut rivnyannya viglyadu F x y y 0 displaystyle F x y y 0 de x displaystyle x nezalezhna zminna y displaystyle y nevidoma funkciya vid zminnoyix displaystyle x y displaystyle y pohidna funkciyiy x displaystyle y x a F textstyle F zadana funkciya yaka viznachena v deyakij oblasti W textstyle Omega prostoru R3 textstyle mathbb R 3 Rozv yazkom zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya pershogo poryadku nazivayut funkciyu y f x displaystyle y varphi x x a b displaystyle x in langle a b rangle yaka zadovolnyaye taki umovi f C1 a b displaystyle varphi in C 1 langle a b rangle f textstyle varphi neperervno diferencijovana na a b displaystyle langle a b rangle x f x f x W x a b displaystyle x varphi x varphi x in Omega quad forall x in langle a b rangle F x f x f x 0 x a b displaystyle F x varphi x varphi x 0 quad forall x in langle a b rangle Zagalnim rozv yazkom zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya pershogo poryadku nazivayut funkciyu y ps x C displaystyle y psi x C vid nezalezhnoyi zminnoyi x displaystyle x ta parametra C textstyle C yaka zadovolnyaye umovu dlya bud yakogo konkretnogo dopustimogo znachennya C0 displaystyle C 0 parametra C displaystyle C funkciya y ps x C0 displaystyle y psi x C 0 vid zminnoyi x displaystyle x sho probigaye dopustimi znachennya z deyakogo chislovogo promizhku tobto x c d displaystyle x in langle c d rangle ye rozv yazkom zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya pershogo poryadku Yaksho zagalnij rozv yazok zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya pershogo poryadku y ps x C displaystyle y psi x C maye taku vlastivist yakij bi ne buv rozv yazok y f x displaystyle y varphi x x a b displaystyle x in langle a b rangle zvichajnogo diferencijnogo rivnyannya pershogo poryadku znajdetsya znachennya Cf displaystyle C varphi parametra C displaystyle C take sho f t ps x Cf displaystyle varphi t psi x C varphi x a b displaystyle x in langle a b rangle to cej zagalnij rozv yazok nazivayut povnim zagalnim rozv yazkom u protilezhnomu razi jogo she nazivayut nepovnim zagalnim rozv yazkom Integralom zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya pershogo poryadku nazivayut spivvidnoshennya viglyadu F x y 0 displaystyle Phi x y 0 yaksho bud yaka neyavno zadana nim neperervno diferencijovna funkciya ye rozv yazkom zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya pershogo poryadku Diferencialne rivnyannya zapisane u viglyadi u zagalnomu viglyadi F x y y 0 displaystyle F x y y 0 she nazivayut neyavnim diferencialnim rivnyannyam pershogo poryadku Yaksho zh u virazi sho zadaye rivnyannya yavno vidileno pohidnu x displaystyle x tobto rivnyannya zapisane yak y f x y displaystyle y f x y to take rivnyannya nazivayut yavnim Diferencialne rivnyannya pershogo poryadku zapisane u viglyadi M x y dx N x y dy 0 displaystyle M x y dx N x y dy 0 de M x y N x y displaystyle M x y N x y zadani neperervni funkciyi dvoh zminnih yaki odnochasno ne totozhni nulyu nazivayetsya diferencialnim rivnyannyam zapisanim u simetrichni formi Najposhirenishimi tipami diferencialnih rivnyan pershogo poryadku yaki integruyutsya u kvadraturah ye nastupni Rivnyannya z vidokremlyuvanimi zminnimi Rivnyannya u simetrichnij formi abo yavne diferencialne rivnyannya pershogo poryadku nazivayetsya rivnyannyam z vidokremlyuvanimi zminnimi yaksho vono mozhe buti predstavlene u viglyadi M1 x N1 y dx M2 x N2 y dy 0aboy f x g y displaystyle M 1 x N 1 y dx M 2 x N 2 y dy 0 quad text abo quad y f x g y vidpovidno Taki rivnyannya zavzhdi mozhna rozv yazati u kvadraturah Odnoridni rivnyannya Ponyattya odnoridnogo diferencialnogo rivnyannya pershogo poryadku pov yazane z odnoridnimi funkciyami Rivnyannya u simetrichnij formi u vipadku koli funkciyi M x y N x y displaystyle M x y N x y ye odnoridnimi funkciyami odnogo poryadku ta yavne rivnyannya u vipadku koli f x y displaystyle f x y ye odnoridnoyu funkciyeyu nulovogo poryadku nazivayutsya odnoridnimi diferencialnimi rivnyannyami Taki rivnyannya zaminoyu zminnih y x x u x displaystyle y x x cdot u x zvodyatsya do rivnyannya z vidokremlyuvanimi zminnimi vidnosno nevidomoyi funkciyi u x displaystyle u x Linijni rivnyannya pershogo poryadku Dokladnishe Linijne diferencialne rivnyannya Rivnyannya pershogo poryadku Diferencialne rivnyannya pershogo poryadku u vipadku koli F x y y displaystyle F x y y ye linijnoyu funkciyeyu za sukupnistyu zminnih y y displaystyle y y nazivayetsya linijnim odnoridnim rivnyannyam i mozhe buti zapisane u viglyadi y p x y 0 displaystyle y p x y 0 Poryad z linijnim odnoridnim rivnyannyam rozglyadayetsya takozh linijne neodnoridne rivnyannya yake maye viglyad y p x y f x displaystyle y p x y f x Zagalnij rozv yazok linijnogo neodnoridnogo rivnyannya zapisuyetsya formuloyu y x Ce p x dx e p x dx f x e p x dxdx displaystyle y x Ce int p x dx e int p x dx int f x e int p x dx dx z yakoyi poklavshi f x 0 displaystyle f x 0 otrimuyemo u zagalnij rozv yazok linijnogo odnoridnogo rivnyannya Diferencialne rivnyannya Bernulli Yavne diferencialne rivnyannya zapisane u viglyadi y p x y f x yn n 0 1 displaystyle y p x y f x y n quad n neq 0 1 nazivayetsya rivnyannyam Bernulli Zaminoyu zminnih u y1 n displaystyle u y 1 n rivnyannya Bernulli zvoditsya do linijnogo rivnyannya vidnosno u u x displaystyle u u x Cej rozdil potrebuye dopovnennya sichen 2022 Ponizhennya poryadku diferencialnih rivnyanChasto diferencialne rivnyannya visokogo poryadku mozhe buti rozv yazane shlyahom ponizhennya poryadku rivnyannya zokrema i do rivnyannya pershogo poryadku Zvedennya rivnyannya vishogo poryadku do sistemi rivnyan pershogo poryadku Vvodyachi zminni y1 y displaystyle y 1 y y2 y displaystyle y 2 y y n 1 yn 1 displaystyle y n 1 y n 1 zvichajne diferencialne rivnyannya mozhna zapisati u viglyadi pershogo poryadku F x y y1 y2 yn 1 yn 1 0 y y1 y1 y2 yn 2 yn 1 displaystyle left begin matrix F left x y y 1 y 2 ldots y n 1 y n 1 prime right 0 y prime y 1 y 1 prime y 2 ldots y n 2 prime y n 1 end matrix right Metodi rozv yazannyaAnalitichni Cej rozdil potrebuye dopovnennya veresen 2010 Chiselni Metod Ejlera Metod Runge Kutti Metod AdamsaDiv takozhZadacha Koshi Krajova zadachaLiteraturaSamojlenko A M Perestyuk M O 2003 Diferencialni rivnyannya PDF Kiyiv Libid s 600 ISBN 966 06 0249 9 ukr Krivosheya S A Perestyuk M O 2004 Diferencialni ta integralni rivnyannya PDF Kiyiv Libid s 407 ISBN 966 06 0348 7 ukr Shkil M I Sotnichenko M A 1992 Zvichajni diferencialni rivnyannya Navchalnij posibnik dlya vuziv Kiyiv Visha shkola ukr Pontryagin Lev 1962 PDF Adiwes International Series in Mathematics Pergamon Press Arhiv originalu PDF za 13 lipnya 2020 Procitovano 13 lipnya 2020 angl Pontryagin L S 1974 Obyknovennye differencialnye uravneniya PDF M s 331 ros Arnold V I 2014 Obyknovennye differencialnye uravneniya PDF M MCNMO s 341 ISBN 978 5 4439 2007 8 ros Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi