Метод Адамса

Метод Адамса — група методів чисельного інтегрування звичайних диференційних рівнянь, які дозволяють обчислювати таблицю наближених значень розв'язку за даними в початкових точках.

В однокрокових методах для обчислення значення у_n+1 використовується значения тільки у_n і для підвищення точності при фіксованому кроці необхідно проводити обчислення великої кількості допоміжних величин. Це є причиною того, що для багатьох задач застосування формул Рунге-Кутти неможливе внаслідок надто великого обсягу обчислень. Тому часто раціональніше переходити до багатокрокових методів, які дають можливість, використовуючи значення f(x_i,y_i), що обчислені на попередніх кроках, отримати прийнятну точність. Серед k-крокових методів найчастіше використовують методи інтегрування на сітці з постійним кроком, які називаються скінченно-різницевими схемами. Розглянемо загальне диференційне рівняння (1)
${\displaystyle \int \limits _{D}f({\vec {x}})d{\vec {x}}\approx \sum _{i=1}^{N}\omega _{i}f({\vec {x}}^{i})}$

Припустимо, що вже відомі розв'язки на множині значень Х_i (і=0,1,. . .,п). Тобто можна записати рівняння (2):

${\displaystyle y(x_{n+1})=y_{n}+\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}f(t,y(t))dt}$

При обчисленні інтеграла в правій частині цього виразу підінтегральну функцію замінимо на для інтерполяції назад ${\displaystyle P_{n-1}(x)=f(x_{n})+f(x_{n-1};x_{n})(x-x_{n})+...+f(x_{1};...;x_{n})(x-x_{n})...(x-x_{1})}$ на сітці х_п, x_n-1, x_n-2 ,...

При цьому ${\displaystyle f(x,y)\equiv f(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{n})+a_{2}(x-x_{n})(x-x_{n-1})+...+a_{m}(x-x_{n})...(x-x_{n-m+1})+R_{m}(x)}$ де ${\displaystyle a_{k}={\frac {\nabla ^{k}f_{n}}{k!h^{k}}}}$ і R_m(x) - похибка інтерполяції, яка і буде визначати похибку отриманих нижче формул. Нагадаємо, що ${\displaystyle \nabla ^{k}f_{n}}$ — скінченні ліві різниці k-го порядку функції f(x,y) в точці х_n. Підставивши в (2) праву частину (1) і знехтувавши оцінкою похибки, отримаємо

${\displaystyle \int _{x_{n}}^{x_{n+1}}f(t,y(t))dt\approx \sum _{k=0}^{m}{\frac {\nabla ^{k}f_{n}}{k!h^{k}}}\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}(t-x_{n})...(t-x_{n-k+1})dt}$

Обчислимо декілька перших інтегралів:

${\displaystyle k=0,\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}dt=h}$

${\displaystyle k=1,\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}(t-x_{n})dt={\frac {h^{2}}{2}}}$

${\displaystyle k=2,\int _{x_{n}}^{x_{n+1}}(t-x_{n})(t-x_{n-1})dt={\frac {5}{6}}h^{3}}$

У результаті отримаємо формулу Адамса

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h[f_{n}+{\frac {1}{2}}\nabla f_{n}+{\frac {5}{12}}\nabla ^{2}f_{n}+{\frac {3}{8}}\nabla ^{3}f_{n}+{\frac {251}{720}}\nabla ^{4}f_{n}+...]}$

де порядок точності методу збігається з кількістю доданків у квадратних дужках. На практиці, для користування цією формулою залежно від порядку точності, необхідно знати відповідну початкову послідовність значень f_i (а значить і y_i) у вузлах Х_i. Для їх обчислення зазвичай використовують однокроковий метод (наприклад Рунге-Кутти) в початкових точках поблизу x₀, а потім переходять до використання формули Адамса.

Приклади

Розглянемо такий приклад

${\displaystyle y'=y,\quad y(0)=1.}$

Точним розв'язком є ${\displaystyle y(t)=\mathrm {e} ^{t}}$.

Однокроковий Ейлер

Простим чисельним методом є метод Ейлера:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).\,}$

Метод Ейлера можна розглядати як вироджений в однокроковий багатокроковий метод.

Цей метод, застосований з кроком розміру ${\displaystyle h={\tfrac {1}{2}}}$ на проблемі ${\displaystyle y'=y}$, дає такі висліди:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=y_{0}+hf(t_{0},y_{0})=1+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1=1.5,\\y_{2}&=y_{1}+hf(t_{1},y_{1})=1.5+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=2.25,\\y_{3}&=y_{2}+hf(t_{2},y_{2})=2.25+{\tfrac {1}{2}}\cdot 2.25=3.375,\\y_{4}&=y_{3}+hf(t_{3},y_{3})=3.375+{\tfrac {1}{2}}\cdot 3.375=5.0625.\end{aligned}}}$

Двокроковий метод Адамса-Бешфорта

Метод Ейлер однокроковий. Простий багатокроковий метод це двокроковий метод Адамса-Бешфорта (англ. Adams–Bashforth method)

${\displaystyle y_{n+2}=y_{n+1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{n+1},y_{n+1})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n}).}$

Цей метод для отримання наступного значення, ${\displaystyle y_{n+2}}$, потребує два значення, ${\displaystyle y_{n+1}}$ і ${\displaystyle y_{n}}$. Однак, задача з початковим значенням надає лише одне, ${\displaystyle y_{0}=1}$. Один з підходів полягає у використанні ${\displaystyle y_{1}}$ обчисленого методом Ейлера як другого значення. З таким вибором, метод Адамса-Бешфорта видає (округлено до чотирьох цифр):

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{2}&=y_{1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{1},y_{1})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{0},y_{0})=1.5+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1=2.375,\\y_{3}&=y_{2}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{2},y_{2})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{1},y_{1})=2.375+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=3.7812,\\y_{4}&=y_{3}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{3},y_{3})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{2},y_{2})=3.7812+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 3.7812-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375=6.0234.\end{aligned}}}$

Точний розв'язок при ${\displaystyle t=t_{4}=2}$ є ${\displaystyle \mathrm {e} ^{2}=7.3891\ldots }$, отже двокроковий метод Адамса-Бешфорта точніший ніж метод Ейлера. Це завжди виконується якщо крок достатньо малий.

Див. також

• Метод Ейлера
• Метод Рунге — Кутти

Джерела

• Єжов С.М. Методи обчислень