Задача Коші — одна з основних задач теорії диференціальних рівнянь — полягає в пошуку розв'язку (інтеграла) диференціального рівняння, що задовольняє початковим умовам (початковим даним).
Задача Коші зазвичай виникає при аналізі процесів, обумовлених диференціальним законом та початковим станом, математичним виразом яких і є рівняння та початкова умова (звідси й термінологія та вибір позначень: початкові дані задаються при , а розв'язок шукають для ).
Від крайових задач задача Коші відрізняється тим, що область, в якій має бути визначений шуканий розв'язок, тут заздалегідь не вказується. Проте, задачу Коші можна розглядати як одну з крайових задач.
Основні питання, що позв'язані з задачею Коші, такі:
- Чи існує (хоча б локально) розв'язок задачі Коші?
- Якщо розв'язок існує, то яка область його існування?
- Чи є розв'язок єдиним?
- Якщо розв'язок єдиний, то чи буде він коректним, тобто неперервним (в якому-небудь сенсі) щодо початкових даних?
Різні постановки задачі Коші
- Звичайне диференціальне рівняння першого порядку, розвязане відносно похідної:
- Система звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, розв'язана відносно похідних ( -го порядку):
- Звичайне диференціальне рівняння -го порядку, розв'язане відносно старшої похідної :
Історія
Диференціальні рівняння винайдені Ньютоном (1642—1727). Ньютон вважав цей свій винахід настільки важливим, що зашифрував його у вигляді анаграми, смисл якої в сучасних термінах можна вільно передати так: «закони природи виражаються диференціальними рівняннями».
Основним аналітичним досягненням Ньютона було розкладання всіляких функцій в ступеневі ряди (сенс другої, довгої анаграми Ньютона в тому, що для вирішення будь-якого рівняння потрібно підставити в рівняння ряд і прирівняти члени однакового степеня). Особливе значення мала тут відкрита ним формула бінома Ньютона (зрозуміло, не тільки з цілими показниками, для яких формулу знав, наприклад, Вієт (1540—1603), але і, що особливо важливе, з дробовими і негативними показниками). Ньютон розклав у «ряди Тейлора» всі основні елементарні функції (раціональні, радикали, тригонометричні, експоненту й логарифм). Це, разом з складеною ним таблицею первісних (яка перейшла в майже незмінному вигляді в сучасні підручники аналізу), дозволяло йому, за його словами, порівнювати площі будь-яких фігур «за половину чверті години».
Ньютон указував, що коефіцієнти його рядів пропорційні послідовним похідним функції, але не зупинявся на цьому детально, оскільки він справедливо вважав, що всі обчислення в аналізі зручніше проводити не за допомогою кратних диференціювань, а шляхом обчислення перших членів ряду. Для Ньютона зв'язок між коефіцієнтами ряду й похідними був скоріше засобом обчислення похідних, чим засобом складання ряду. Одним із найважливіших досягнень Ньютона є його теорія сонячної системи, викладена в «Математичних принципах натуральної філософії» («Principia») без допомоги математичного аналізу. Зазвичай вважають, що Ньютон відкрив за допомогою свого аналізу закон всесвітнього тяжіння. Насправді Ньютону (1680) належить лише доказ еліптичності орбіт в полі тяжіння за законом зворотних квадратів: сам цей закон був вказаний Ньютону Гуком (1635—1703) і, мабуть, вгадувався ще декількома вченими.
Із величезної кількості робіт з диференціальних рівнянь XVIII століття виділяють роботи Ейлера (1707—1783) і Лагранжа (1736—1813). У цих роботах передусім була розвинена теорія малих коливань, а отже — теорія лінійних систем диференціальних рівнянь; водночас виникли основні поняття лінійної алгебри (власні числа й вектори в n-мірному випадку). Характеристичне рівняння лінійного оператора довго називали секулярним, оскільки саме з такого рівняння визначаються секулярні (вікові, тобто повільні в порівнянні з річним рухом) збурення планетних орбіт згідно з теорією малих коливань Лагранжа. Услід за Ньютоном Лаплас і Лагранж, а пізніше Гаус (1777—1855) розвинули також методи теорії збуджень.
Коли була доведена нерозв'язність алгебричних рівнянь у радикалах, Жозеф Ліувілль (1809—1882) побудував аналогічну теорію для диференціальних рівнянь, встановивши неможливість розв'язання низки рівнянь (зокрема таких класичних, як лінійні рівняння другого порядку) в елементарних функціях і квадратурах. Пізніше Софус Лі (1842—1899), аналізуючи питання про інтегрування рівнянь у квадратурах, прийшов до необхідності детально досліджувати групи дифеоморфізмів (що отримали згодом ім'я груп Лі) — так із теорії диференціальних рівнянь виникла одна з плідних галузей сучасної математики, подальший розвиток якої був тісно пов'язаний зовсім з іншими питаннями (алгебри Лі ще раніше розглядали Сімеон-Дені Пуассон (1781—1840) і, особливо, Карл Густав Якоб Якобі (1804—1851)).
Новий етап розвитку теорії диференціальних рівнянь почався з робіт Анрі Пуанкаре (1854—1912). Створена ним «якісна теорія диференціальних рівнянь» разом із теорією функцій комплексних змінних привела до заснування сучасної топології. Якісна теорія диференціальних рівнянь, або, як її тепер частіше називають, теорія динамічних систем, зараз розвивається активно і має важливі застосування теорії диференціальних рівнянь у природознавстві.
Див. також
Література
Посилання
- Cauchy problem at MathWorld.
Ця стаття потребує додаткових для поліпшення її . (червень 2023) |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Zadacha Koshi odna z osnovnih zadach teoriyi diferencialnih rivnyan polyagaye v poshuku rozv yazku integrala diferencialnogo rivnyannya sho zadovolnyaye pochatkovim umovam pochatkovim danim Zadacha Koshi zazvichaj vinikaye pri analizi procesiv obumovlenih diferencialnim zakonom ta pochatkovim stanom matematichnim virazom yakih i ye rivnyannya ta pochatkova umova zvidsi j terminologiya ta vibir poznachen pochatkovi dani zadayutsya pri t 0 displaystyle t 0 a rozv yazok shukayut dlya t gt 0 displaystyle t gt 0 Vid krajovih zadach zadacha Koshi vidriznyayetsya tim sho oblast v yakij maye buti viznachenij shukanij rozv yazok tut zazdalegid ne vkazuyetsya Prote zadachu Koshi mozhna rozglyadati yak odnu z krajovih zadach Osnovni pitannya sho pozv yazani z zadacheyu Koshi taki Chi isnuye hocha b lokalno rozv yazok zadachi Koshi Yaksho rozv yazok isnuye to yaka oblast jogo isnuvannya Chi ye rozv yazok yedinim Yaksho rozv yazok yedinij to chi bude vin korektnim tobto neperervnim v yakomu nebud sensi shodo pochatkovih danih Rizni postanovki zadachi KoshiZvichajne diferencialne rivnyannya pershogo poryadku rozvyazane vidnosno pohidnoyi y f x y y x0 y0 displaystyle left begin array lcl y amp amp f x y y x 0 amp amp y 0 end array right dd Sistema n displaystyle n zvichajnih diferencialnih rivnyan pershogo poryadku rozv yazana vidnosno pohidnih n displaystyle n go poryadku y1 f1 x y1 yn yn fn x y1 yn y1 x0 y01 yn x0 y0n y f x y y x0 y0 displaystyle left begin array lcl y 1 amp amp f 1 x y 1 ldots y n amp ldots amp y n amp amp f n x y 1 ldots y n y 1 x 0 amp amp y 01 amp ldots amp y n x 0 amp amp y 0n end array right iff left begin array lcl mathbf y amp amp mathbf f x mathbf y mathbf y x 0 amp amp mathbf y 0 end array right dd Zvichajne diferencialne rivnyannya n displaystyle n go poryadku rozv yazane vidnosno starshoyi pohidnoyi y n f x y y n 1 y x0 y01 y n 1 x0 y0n y1 y2 y yn 1 yn y n 1 yn f x y1 yn y1 x0 y01 y x0 yn x0 y0n y n 1 x0 displaystyle left begin array lcl y n amp amp f x y ldots y n 1 y x 0 amp amp y 01 amp ldots amp y n 1 x 0 amp amp y 0n end array right iff left begin array lcl y 1 amp amp y 2 quad y amp ldots amp y n 1 amp amp y n quad y n 1 y n amp amp f x y 1 ldots y n y 1 x 0 amp amp y 01 quad y x 0 amp ldots amp y n x 0 amp amp y 0n quad y n 1 x 0 end array right dd IstoriyaLeonard EjlerZhozef Luyi LagranzhP yer Simon LaplasZhozef LiuvillAnri Puankare Diferencialni rivnyannya vinajdeni Nyutonom 1642 1727 Nyuton vvazhav cej svij vinahid nastilki vazhlivim sho zashifruvav jogo u viglyadi anagrami smisl yakoyi v suchasnih terminah mozhna vilno peredati tak zakoni prirodi virazhayutsya diferencialnimi rivnyannyami Osnovnim analitichnim dosyagnennyam Nyutona bulo rozkladannya vsilyakih funkcij v stupenevi ryadi sens drugoyi dovgoyi anagrami Nyutona v tomu sho dlya virishennya bud yakogo rivnyannya potribno pidstaviti v rivnyannya ryad i pririvnyati chleni odnakovogo stepenya Osoblive znachennya mala tut vidkrita nim formula binoma Nyutona zrozumilo ne tilki z cilimi pokaznikami dlya yakih formulu znav napriklad Viyet 1540 1603 ale i sho osoblivo vazhlive z drobovimi i negativnimi pokaznikami Nyuton rozklav u ryadi Tejlora vsi osnovni elementarni funkciyi racionalni radikali trigonometrichni eksponentu j logarifm Ce razom z skladenoyu nim tabliceyu pervisnih yaka perejshla v majzhe nezminnomu viglyadi v suchasni pidruchniki analizu dozvolyalo jomu za jogo slovami porivnyuvati ploshi bud yakih figur za polovinu chverti godini Nyuton ukazuvav sho koeficiyenti jogo ryadiv proporcijni poslidovnim pohidnim funkciyi ale ne zupinyavsya na comu detalno oskilki vin spravedlivo vvazhav sho vsi obchislennya v analizi zruchnishe provoditi ne za dopomogoyu kratnih diferenciyuvan a shlyahom obchislennya pershih chleniv ryadu Dlya Nyutona zv yazok mizh koeficiyentami ryadu j pohidnimi buv skorishe zasobom obchislennya pohidnih chim zasobom skladannya ryadu Odnim iz najvazhlivishih dosyagnen Nyutona ye jogo teoriya sonyachnoyi sistemi vikladena v Matematichnih principah naturalnoyi filosofiyi Principia bez dopomogi matematichnogo analizu Zazvichaj vvazhayut sho Nyuton vidkriv za dopomogoyu svogo analizu zakon vsesvitnogo tyazhinnya Naspravdi Nyutonu 1680 nalezhit lishe dokaz eliptichnosti orbit v poli tyazhinnya za zakonom zvorotnih kvadrativ sam cej zakon buv vkazanij Nyutonu Gukom 1635 1703 i mabut vgaduvavsya she dekilkoma vchenimi Iz velicheznoyi kilkosti robit z diferencialnih rivnyan XVIII stolittya vidilyayut roboti Ejlera 1707 1783 i Lagranzha 1736 1813 U cih robotah peredusim bula rozvinena teoriya malih kolivan a otzhe teoriya linijnih sistem diferencialnih rivnyan vodnochas vinikli osnovni ponyattya linijnoyi algebri vlasni chisla j vektori v n mirnomu vipadku Harakteristichne rivnyannya linijnogo operatora dovgo nazivali sekulyarnim oskilki same z takogo rivnyannya viznachayutsya sekulyarni vikovi tobto povilni v porivnyanni z richnim ruhom zburennya planetnih orbit zgidno z teoriyeyu malih kolivan Lagranzha Uslid za Nyutonom Laplas i Lagranzh a piznishe Gaus 1777 1855 rozvinuli takozh metodi teoriyi zbudzhen Koli bula dovedena nerozv yaznist algebrichnih rivnyan u radikalah Zhozef Liuvill 1809 1882 pobuduvav analogichnu teoriyu dlya diferencialnih rivnyan vstanovivshi nemozhlivist rozv yazannya nizki rivnyan zokrema takih klasichnih yak linijni rivnyannya drugogo poryadku v elementarnih funkciyah i kvadraturah Piznishe Sofus Li 1842 1899 analizuyuchi pitannya pro integruvannya rivnyan u kvadraturah prijshov do neobhidnosti detalno doslidzhuvati grupi difeomorfizmiv sho otrimali zgodom im ya grup Li tak iz teoriyi diferencialnih rivnyan vinikla odna z plidnih galuzej suchasnoyi matematiki podalshij rozvitok yakoyi buv tisno pov yazanij zovsim z inshimi pitannyami algebri Li she ranishe rozglyadali Simeon Deni Puasson 1781 1840 i osoblivo Karl Gustav Yakob Yakobi 1804 1851 Novij etap rozvitku teoriyi diferencialnih rivnyan pochavsya z robit Anri Puankare 1854 1912 Stvorena nim yakisna teoriya diferencialnih rivnyan razom iz teoriyeyu funkcij kompleksnih zminnih privela do zasnuvannya suchasnoyi topologiyi Yakisna teoriya diferencialnih rivnyan abo yak yiyi teper chastishe nazivayut teoriya dinamichnih sistem zaraz rozvivayetsya aktivno i maye vazhlivi zastosuvannya teoriyi diferencialnih rivnyan u prirodoznavstvi Div takozhTeorema Pikara LindelefaLiteraturaHadamard Jacques 1923 Lectures on Cauchy s Problem in Linear Partial Differential Equations New Haven Yale University Press s 4 5 OCLC 1880147 Petrovsky I G 1991 Lectures on Partial Differential Equations vid Dover New York Interscience ISBN 0 486 66902 5 PosilannyaCauchy problem at MathWorld Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno cherven 2023 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi