Означення лінійного інтеграла
Нехай у просторовій області визначено неперервне векторне поле — гладка крива, розташована в . Лінійним інтегралом поля уздовж лінії називається криволінійний інтеграл І роду по довжині дуги від скалярного добутку на одиничний дотичний вектор .
Як і потік, цей інтеграл може представлятися по-різному. Так, якщо врахувати, що похідна на дає зміну радіуса-вектора точки , тобто , то і . Отже, лінійний інтеграл може бути виражений і через лінійний інтеграл по координатах.
Фізичний сенс лінійного інтеграла
якщо — силове поле, то дорівнює роботі цього поля при переміщенні матеріальної точки вздовж лінії см. розділ Потрійні інтеграли.
Основні властивості лінійного інтеграла
1)лінійність
2)адитивність
.
Направлення на кожній з частин і має бути таким же, як і на всій кривій ,
3). При зміні напрямку вздовж лінійний інтеграл змінює знак.
Це випливає з того, що вектор змінюється на .
4). Якщо — векторна лінія поля і рух відбувається в напрямку поля, то . У цьому випадку вектор колінеарний , тому .
Обчислення лінійного інтеграла
Як і будь-який криволінійний інтеграл, лінійний інтеграл обчислюється зведенням до певного інтеграла по параметру на кривій, зазвичай обчислюють криволінійний інтеграл . Якщо крива при параметричному завданні має вигляд
- безперервно диференціюються, то
Напрямок інтегрування визначається напрямом руху по кривій.
Циркуляція векторного поля
Циркуляцією називається лінійний інтеграл векторного поля по замкнутій кривій .
Зазвичай кажуть, що циркуляція характеризує обертальну здатність поля. Мається на увазі наступне. Якщо векторні лінії поля замкнені, то, як ми бачили, циркуляція по ним в напрямку поля позитивна, при цьому в гідродинамічної інтерпретації частки рідини крутяться по цим замкнутим лініях. Нехай тепер лінії струму довільні, уявімо в обсязі замкнутий контур . Якщо в результаті руху рідини цей контур буде обертатися, то поле володіє обертальної здатністю, абсолютна величина циркуляції визначатиме кутову швидкість обертання {чим більше | |, тим вище швидкість}, знак циркуляції покаже, чи збігається напрямок обертання з напрямком інтегрування.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Oznachennya linijnogo integralaNehaj u prostorovij oblasti V displaystyle mathbf textit V viznacheno neperervne vektorne pole a M L displaystyle bar a mathbf textit M mathbf textit L gladka kriva roztashovana v V displaystyle mathbf textit V Linijnim integralom polya a displaystyle bar a uzdovzh liniyi L displaystyle mathbf textit L nazivayetsya krivolinijnij integral I rodu po dovzhini dugi vid skalyarnogo dobutku a M displaystyle bar a mathbf textit M na odinichnij dotichnij vektor t M W La M t M ds displaystyle bar tau mathbf textit M W int limits L bar a M cdot bar tau M ds Yak i potik cej integral mozhe predstavlyatisya po riznomu Tak yaksho vrahuvati sho pohidna t M displaystyle bar tau M na ds displaystyle ds daye zminu radiusa vektora tochki M displaystyle mathbf textit M tobto t ds dr dxi dyj dzk displaystyle bar tau cdot ds d bar r dx bar i dy bar j dz bar k to W La M dr displaystyle W int limits L bar a M d bar r i W LPdx Qdy Rdz displaystyle W int limits L Pdx Qdy Rdz Otzhe linijnij integral mozhe buti virazhenij i cherez linijnij integral po koordinatah Fizichnij sens linijnogo integralayaksho a M displaystyle bar a mathbf textit M silove pole to W displaystyle mathbf textit W dorivnyuye roboti cogo polya pri peremishenni materialnoyi tochki vzdovzh liniyi L displaystyle mathbf textit L sm rozdil Potrijni integrali Osnovni vlastivosti linijnogo integrala1 linijnist L C1a 1 C2a 2 t ds C1 Lt a 1ds C2 Lt a 2ds displaystyle int limits L C1 bar a 1 C2 bar a 2 bar tau ds C1 int limits L bar tau bar a 1 ds C2 int limits L bar tau bar a 2 ds 2 aditivnist L1 L2a t ds L1a t ds L2a t ds displaystyle int limits L 1 cup L 2 bar a cdot bar tau ds int limits L 1 bar a cdot bar tau ds int limits L 2 bar a cdot bar tau ds Napravlennya na kozhnij z chastin L1 displaystyle L 1 i L1 displaystyle L 1 maye buti takim zhe yak i na vsij krivij L1 L2 displaystyle L 1 cup L 2 3 Pri zmini napryamku vzdovzh L displaystyle mathbf textit L linijnij integral zminyuye znak Ce viplivaye z togo sho vektor t M displaystyle bar tau mathbf textit M zminyuyetsya na t M displaystyle bar tau mathbf textit M 4 Yaksho L displaystyle mathbf textit L vektorna liniya polya i ruh vidbuvayetsya v napryamku polya to W gt 0 displaystyle mathbf textit W gt 0 U comu vipadku vektor t M displaystyle bar tau mathbf textit M kolinearnij a M displaystyle bar a mathbf textit M tomu a t pra t a gt 0 displaystyle bar a cdot bar tau mathop mbox pr bar a limits bar tau vert bar a vert gt 0 Obchislennya linijnogo integralaYak i bud yakij krivolinijnij integral linijnij integral obchislyuyetsya zvedennyam do pevnogo integrala po parametru na krivij zazvichaj obchislyuyut krivolinijnij integral W LPdx Qdy Rdz displaystyle W int limits L Pdx Qdy Rdz Yaksho kriva pri parametrichnomu zavdanni maye viglyad L x x t y y t z z t t0 t tk displaystyle L left begin array l x x t y y t z z t end array right t 0 leqslant t leqslant t k bezperervno diferenciyuyutsya to W LP x y z dx Q x y z dt R x y z dz displaystyle W int limits L P x y z cdot dx Q x y z cdot dt R x y z cdot dz t0tk P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt displaystyle int limits t 0 t k left P x t y t z t cdot x t Q x t y t z t cdot y t R x t y t z t cdot z t right dt Napryamok integruvannya viznachayetsya napryamom ruhu po krivij Cirkulyaciya vektornogo polyaCirkulyaciyeyu nazivayetsya linijnij integral vektornogo polya po zamknutij krivij C Ca dr displaystyle mathbf textit C oint limits C bar a cdot d bar r Zazvichaj kazhut sho cirkulyaciya harakterizuye obertalnu zdatnist polya Mayetsya na uvazi nastupne Yaksho vektorni liniyi polya zamkneni to yak mi bachili cirkulyaciya po nim v napryamku polya pozitivna pri comu v gidrodinamichnoyi interpretaciyi chastki ridini krutyatsya po cim zamknutim liniyah Nehaj teper liniyi strumu dovilni uyavimo v obsyazi L displaystyle L zamknutij kontur C displaystyle C Yaksho v rezultati ruhu ridini cej kontur bude obertatisya to pole volodiye obertalnoyi zdatnistyu absolyutna velichina cirkulyaciyi viznachatime kutovu shvidkist obertannya chim bilshe C displaystyle mathbf textit C tim vishe shvidkist znak cirkulyaciyi pokazhe chi zbigayetsya napryamok obertannya z napryamkom integruvannya