Плоский модуль над кільцем R — такий модуль, що тензорний добуток на цей модуль зберігає точні послідовності. Модуль називається строго плоским, якщо послідовність тензорних добутків точна тоді і тільки тоді, коли точною є вихідна послідовність.
Векторні простори, вільні і, більш загально, проєктивні модулі є плоскими. Для скінченнопороджених модулів над нетеровим кільцями плоскі модулі — те ж саме, що проєктивні модулі. Для скінченнопороджених модулів над локальними кільцями все плоскі модулі є вільними модулями.
Поняття плоского модуля було введено Серром в 1955 році.
Означення
Можна дати кілька еквівалентних означень плоского модуля. Нижче означення подані для комутативних кілець.
- (Лівий)
-модуль
називається плоским тоді і тільки тоді, коли функтор тензорного добутку
є точним. Даний функтор переводить
-гомоморфізм
у
-гомоморфізм
який на елементах виду
задається як
і лінійно продовжується на весь тензорний добуток.
- Оскільки функтор тензорного добутку завжди є точним справа, попередню вимогу можна послабити. А саме,
-модуль
є плоским, якщо для будь-якого ін'єктивного
-модулів
індуковане відображення
також є ін'єктивним.
- Модуль
є плоским, якщо для кожного в кільці
(з природним вкладенням
) індуковане відображення
є ін'єктивним.
- Існує направлена множина
-модулів
з такими властивостями:
- Для всіх
,
є скінченнопородженим вільним
-модулем.
- Індуктивна границя множини рівна
:
.
- Для будь-якої лінійної залежності в
,
,
- де
, існує матриця
така що
має розв'язок для деякого
.
.
- Для будь-якого
-модуля
,
де
позначає функтор Tor.
- Для будь-якого скінченнопородженого ідеала
,
.
- Для довільного відображення
, де
є скінченнопородженим вільним
-модулем, і для довільного скінченнопородженого
-підмодуля
,
розкладається через відображення у вільний
-модуль
для якого образ
є нулем:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTg0THpnNEwwWnNZWFJOYjJSMWJHVXRNREV1Y0c1bi5wbmc=.png)
Властивості плоских модулів над комутативним кільцем
- Пряма сума
є плоским модулем тоді і тільки тоді, коли кожен модуль
є плоским.
- Нехай
є направленою системою плоских модулів над кільцем R, де I — направлена множина. Тоді індуктивна границя
теж є плоским модулем.
- Теорема Говорова — Лазара: (лівий, правий) модуль M є плоским тоді і тільки тоді, коли він є індуктивною границею скінченнопороджених вільних модулів.
- Для будь-якої мультиплікативної системи S кільця R локалізація кільця S-1R є плоским R-модулем.
- Модуль M над комутативним кільцем R є плоским тоді і тільки тоді, коли для кожного простого ідеалу
локалізація
є плоским ідеалом і тоді і тільки тоді коли для кожного максимального ідеалу
локалізація
є плоским ідеалом.
- Скінченнопороджений модуль є плоским тоді і тільки тоді, коли він є локально вільним. Локально вільний модуль над кільцем R — такий модуль M, що його локалізація за будь-яким простим ідеалом
є вільним модулем над кільцем часток
.
- Плоскі модулі можна вказати на наступному ланцюжку включень:
- Модулі без кручень ⊃ плоскі модулі ⊃ проєктивні модулі ⊃ вільні модулі.
- Для деяких класів кілець правильними є і обернені включення: наприклад, кожен модуль без кручень над дедекіндовим кільцем є плоским, плоский модуль над кільцем Артіна є проєктивним і проєктивний модуль над областю головних ідеалів (або над локальним кільцем) є вільним.
- Якщо M є скінченнопредставленим модулем (тобто існує точна послідовність
в якій K і F є скінченнопородженими модулями і F також вільним модулем) то M є плоским тоді і тільки тоді, коли він є проєктивним. Якщо додатково R є комутативним локальним кільцем, то M є вільним модулем.
- Для R-модуля еквівалентними M є такі твердження (які можна вважати означеннями строго плоских модулів):
- Послідовність
R-модулів є точною тоді і тільки тоді, коли точною є послідовність
- Модуль M є плоским і для довільного R-модуля N, якщо
то
- Модуль M є плоским і для довільного R-гомоморфізма
, якщо породжений гомоморфізм
є нульовим гомоморфізмом, то і
- Послідовність
- Для строго плоского R-модуля M його анулятор
є рівним нулю. Натомість плоский модуль із нульовим анулятором не обов'язково буде строго плоским, прикладом чого є
-модуль
.
- R-модуль M є строго плоским тоді і тільки тоді, коли він є плоским і для кожного максимального ідеалу
- Якщо кільце S є R-алгеброю, тобто існує гомоморфізм
, то S є строго плоским R-модулем тоді і тільки тоді, коли кожен простий ідеал кільця R є прообразом під дією f деякого простого ідеалу з S, тобто коли відображення
є сюр'єктивним (див. статтю Спектр кільця).
- Нехай, як і вище, S є R-алгеброю і вона є строго плоским R-модулем. Якщо
є скінченнопородженим (скінченнопредставленим) S-модулем, то і M є скінченнопородженим (скінченнопредставленим) R-модулем.
- При позначеннях попередньої властивості якщо
є скінченнопородженим проєктивним S-модулем, то і M є скінченнопородженим проєктивним R-модулем.
Категорні кограниці
- Прямі суми і індуктивні границі плоских модулів є плоскими. Це випливає з того факту, що тензорний добуток комутує з прямими сумами і індуктивними границями (більше того, воно комутує з усіма кограницями). Підмодулі і фактор-модулі плоского модуля не обов'язково є плоскими (наприклад, плоским не є модуль Z/2 Z). Проте якщо підмодуль плоского модуля є в ньому прямим доданком, то фактор за ним є плоским.
- Модуль є плоским тоді і тільки тоді, коли він є індуктивною границею скінченнопороджених вільних модулів. З цього випливає, зокрема, що кожен скінченнопредставлений плоский модуль є проєктивним.
Приклади
- Оскільки для кільця R і довільного R-модуля M виконується
то R є плоским R-модулем. Відповідно це ж буде справедливим і для довільного вільного модуля над кільцем R.
- Оскільки
є локалізацією кільця
за мультиплікативною множиною
то
є плоским
-модулем. Це є прикладом плоского але не проєктивного модуля. Також це є прикладом плоского модуля із нульовим анулятором, який не є строго плоским. Дійсно, наприклад,
але
- Для будь-якого цілого числа
не є плоским над
оскільки
є ін'єктивним, але похідне відображення на тензорному добутку з
не є ін'єктивним.
- Модуль
не є плоским над
- Для кільця многочленів
над нетеровим кільцем
і многочлена
, що не є дільником нуля,
є плоским над
якщо і тільки якщо
є примітивним многочленом.
- Для нетерового кільця
і його ідеалу
поповнення
за ідеалом
є плоским. Воно є строго плоским тоді і тільки тоді, коли
міститься у радикалі Джекобсона кільця
.
Гомологічна алгебра
Властивість «плоскості» модуля можна виразити за допомогою функтора Tor, лівого похідного функтора для тензорного добутку. Лівий R- модуль M є плоским тоді і тільки тоді, коли TornR(-,M) = 0 для всіх (тобто коли TornR(X, M) = 0 для всіх
і всіх правих R-модулів X), означення плоского правого модуля є аналогічним. Використовуючи цей факт, можна довести кілька властивостей короткої точної послідовності модулів:
- Якщо A і C плоскі, то і B плоский.
- Якщо B і C плоскі, то і A є плоским.
- Якщо A і B плоскі, C в загальному випадку не є плоским. Однак:
- Якщо A — прямий доданок модуля B і B є плоским, то A і C плоскі.
Плоскі резольвенти
Плоска резольвента модуля M — це резольвента виду
- … → F2 → F1 → F0 → M → 0
де всі Fi є плоскими модулями. Плоскі резольвенти використовуються при обчисленні функтора Tor.
Довжина плоскої резольвенти — це найменший індекс n, такий що Fn не дорівнює нулю і Fi = 0 для всіх i, що є більшими за n. Якщо модуль M має скінченну плоску резольвенту, її довжина називається плоскою розмірністю модуля. , в іншому випадку говорять, що плоска розмірність нескінченна. Наприклад, якщо модуль M має плоску розмірність 0, то з точністю послідовності 0 → F0 → M → 0 випливає, що M є ізоморфним F 0 , тобто є плоским.
Див. також
Примітки
- Matsumura, 1970, Proposition 3.G
- Bourbaki, Ch. I, § 2. Proposition 13, Corollay 1.
- Lazard, D. (1969), , Bulletin de la Societe Mathematique de France, 97: 81—128, архів [http: //www.numdam.org/item? id = BSMF_1969__97__81_0 оригіналу] за 19 листопада 2016, процитовано 19 липня 2019
- Eisenbud, Exercise 6.4.
- Matsumura, 1970, Corollary 1 of Theorem 55, p. 170
- Matsumura, 1970, Theorem 56
- Lam, 1999, p. 183.
Література
- Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971.
- Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1322960
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1653294
- Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ploskij modul nad kilcem R takij modul sho tenzornij dobutok na cej modul zberigaye tochni poslidovnosti Modul nazivayetsya strogo ploskim yaksho poslidovnist tenzornih dobutkiv tochna todi i tilki todi koli tochnoyu ye vihidna poslidovnist Vektorni prostori vilni i bilsh zagalno proyektivni moduli ye ploskimi Dlya skinchennoporodzhenih moduliv nad neterovim kilcyami ploski moduli te zh same sho proyektivni moduli Dlya skinchennoporodzhenih moduliv nad lokalnimi kilcyami vse ploski moduli ye vilnimi modulyami Ponyattya ploskogo modulya bulo vvedeno Serrom v 1955 roci OznachennyaMozhna dati kilka ekvivalentnih oznachen ploskogo modulya Nizhche oznachennya podani dlya komutativnih kilec Livij R displaystyle R modul M displaystyle M nazivayetsya ploskim todi i tilki todi koli funktor tenzornogo dobutku N M RN displaystyle N mapsto M otimes R N ye tochnim Danij funktor perevodit R displaystyle R gomomorfizm f N N displaystyle f N rightarrow N u R displaystyle R gomomorfizm f M N M N displaystyle f M otimes N rightarrow M otimes N yakij na elementah vidu x y x M y N displaystyle x otimes y x in M y in N zadayetsya yak f x y x f y displaystyle f x otimes y x otimes f y i linijno prodovzhuyetsya na ves tenzornij dobutok Oskilki funktor tenzornogo dobutku zavzhdi ye tochnim sprava poperednyu vimogu mozhna poslabiti A same R displaystyle R modul M displaystyle M ye ploskim yaksho dlya bud yakogo in yektivnogo R displaystyle R moduliv f K L displaystyle f K to L indukovane vidobrazhennya f M RK M RL displaystyle f M otimes R K to M otimes R L takozh ye in yektivnim Modul M displaystyle M ye ploskim yaksho dlya kozhnogo v kilci R displaystyle R z prirodnim vkladennyam I R displaystyle I hookrightarrow R indukovane vidobrazhennya I RM R RM M displaystyle I otimes R M to R otimes R M cong M ye in yektivnim Isnuye napravlena mnozhina R displaystyle R moduliv Fa a displaystyle F alpha alpha z takimi vlastivostyami Dlya vsih a displaystyle alpha Fa displaystyle F alpha ye skinchennoporodzhenim vilnim R displaystyle R modulem Induktivna granicya mnozhini rivna M displaystyle M lim a Fa M displaystyle varinjlim alpha F alpha M Dlya bud yakoyi linijnoyi zalezhnosti v M displaystyle M rTx i 1krixi 0 displaystyle r T x sum i 1 k r i x i 0 dd de ri R xi M displaystyle r i in R x i in M isnuye matricya A Rk j displaystyle A in R k times j taka sho Ay x displaystyle Ay x maye rozv yazok dlya deyakogo y Mj displaystyle y in M j rTA 0 displaystyle r T A 0 Dlya bud yakogo R displaystyle R modulya N displaystyle N Tor1R N M 0 displaystyle mathrm Tor 1 R N M 0 de Tor1R displaystyle mathrm Tor 1 R poznachaye funktor Tor dd Dlya bud yakogo skinchennoporodzhenogo ideala I R displaystyle I subset R Tor1R R I M 0 displaystyle mathrm Tor 1 R R I M 0 dd Dlya dovilnogo vidobrazhennya f F M displaystyle f F to M de F displaystyle F ye skinchennoporodzhenim vilnim R displaystyle R modulem i dlya dovilnogo skinchennoporodzhenogo R displaystyle R pidmodulya K ker f displaystyle K leq ker f f displaystyle f rozkladayetsya cherez vidobrazhennya u vilnij R displaystyle R modul G displaystyle G dlya yakogo obraz K displaystyle K ye nulem Factor property of a flat moduleVlastivosti ploskih moduliv nad komutativnim kilcemPryama suma i IMi displaystyle bigoplus nolimits i in I M i ye ploskim modulem todi i tilki todi koli kozhen modul Mi displaystyle M i ye ploskim Nehaj Mi i I displaystyle M i i in I ye napravlenoyu sistemoyu ploskih moduliv nad kilcem R de I napravlena mnozhina Todi induktivna granicya M lim Mi displaystyle M varinjlim M i tezh ye ploskim modulem Teorema Govorova Lazara livij pravij modul M ye ploskim todi i tilki todi koli vin ye induktivnoyu graniceyu skinchennoporodzhenih vilnih moduliv Dlya bud yakoyi multiplikativnoyi sistemi S kilcya R lokalizaciya kilcya S 1R ye ploskim R modulem Modul M nad komutativnim kilcem R ye ploskim todi i tilki todi koli dlya kozhnogo prostogo idealu p R displaystyle mathfrak p subset R lokalizaciya Mp displaystyle M mathfrak p ye ploskim idealom i todi i tilki todi koli dlya kozhnogo maksimalnogo idealu m R displaystyle mathfrak m subset R lokalizaciya Mm displaystyle M mathfrak m ye ploskim idealom Skinchennoporodzhenij modul ye ploskim todi i tilki todi koli vin ye lokalno vilnim Lokalno vilnij modul nad kilcem R takij modul M sho jogo lokalizaciya za bud yakim prostim idealom Mp displaystyle M mathfrak p ye vilnim modulem nad kilcem chastok Rp displaystyle R mathfrak p Ploski moduli mozhna vkazati na nastupnomu lancyuzhku vklyuchen Moduli bez kruchen ploski moduli proyektivni moduli vilni moduli Dlya deyakih klasiv kilec pravilnimi ye i oberneni vklyuchennya napriklad kozhen modul bez kruchen nad dedekindovim kilcem ye ploskim ploskij modul nad kilcem Artina ye proyektivnim i proyektivnij modul nad oblastyu golovnih idealiv abo nad lokalnim kilcem ye vilnim Yaksho M ye skinchennopredstavlenim modulem tobto isnuye tochna poslidovnist 0 K F M 0 displaystyle 0 to K to F to M to 0 v yakij K i F ye skinchennoporodzhenimi modulyami i F takozh vilnim modulem to M ye ploskim todi i tilki todi koli vin ye proyektivnim Yaksho dodatkovo R ye komutativnim lokalnim kilcem to M ye vilnim modulem Dlya R modulya ekvivalentnimi M ye taki tverdzhennya yaki mozhna vvazhati oznachennyami strogo ploskih moduliv Poslidovnist 0 N f N g N 0 displaystyle 0 rightarrow N xrightarrow f N xrightarrow g N rightarrow 0 R moduliv ye tochnoyu todi i tilki todi koli tochnoyu ye poslidovnist 0 M N f M N g M N 0 displaystyle 0 rightarrow M otimes N xrightarrow f M otimes N xrightarrow g M otimes N rightarrow 0 Modul M ye ploskim i dlya dovilnogo R modulya N yaksho M N 0 displaystyle M otimes N 0 to N 0 displaystyle N 0 Modul M ye ploskim i dlya dovilnogo R gomomorfizma f N N displaystyle f N rightarrow N yaksho porodzhenij gomomorfizm f M N M N displaystyle f M otimes N rightarrow M otimes N ye nulovim gomomorfizmom to i f 0 displaystyle f 0 Dlya strogo ploskogo R modulya M jogo anulyator Ann M displaystyle operatorname Ann M ye rivnim nulyu Natomist ploskij modul iz nulovim anulyatorom ne obov yazkovo bude strogo ploskim prikladom chogo ye Z displaystyle mathbb Z modul Q displaystyle mathbb Q R modul M ye strogo ploskim todi i tilki todi koli vin ye ploskim i dlya kozhnogo maksimalnogo idealu m R mM M displaystyle mathfrak m subset R mathfrak m M neq M Yaksho kilce S ye R algebroyu tobto isnuye gomomorfizm f R S displaystyle f R to S to S ye strogo ploskim R modulem todi i tilki todi koli kozhen prostij ideal kilcya R ye proobrazom pid diyeyu f deyakogo prostogo idealu z S tobto koli vidobrazhennya f Spec S Spec R displaystyle f colon mathrm Spec S to mathrm Spec R ye syur yektivnim div stattyu Spektr kilcya Nehaj yak i vishe S ye R algebroyu i vona ye strogo ploskim R modulem Yaksho S RM displaystyle S otimes R M ye skinchennoporodzhenim skinchennopredstavlenim S modulem to i M ye skinchennoporodzhenim skinchennopredstavlenim R modulem Pri poznachennyah poperednoyi vlastivosti yaksho S RM displaystyle S otimes R M ye skinchennoporodzhenim proyektivnim S modulem to i M ye skinchennoporodzhenim proyektivnim R modulem Kategorni kograniciPryami sumi i induktivni granici ploskih moduliv ye ploskimi Ce viplivaye z togo faktu sho tenzornij dobutok komutuye z pryamimi sumami i induktivnimi granicyami bilshe togo vono komutuye z usima kogranicyami Pidmoduli i faktor moduli ploskogo modulya ne obov yazkovo ye ploskimi napriklad ploskim ne ye modul Z 2 Z Prote yaksho pidmodul ploskogo modulya ye v nomu pryamim dodankom to faktor za nim ye ploskim Modul ye ploskim todi i tilki todi koli vin ye induktivnoyu graniceyu skinchennoporodzhenih vilnih moduliv Z cogo viplivaye zokrema sho kozhen skinchennopredstavlenij ploskij modul ye proyektivnim PrikladiOskilki dlya kilcya R i dovilnogo R modulya M vikonuyetsya M R RM displaystyle M simeq R otimes R M to R ye ploskim R modulem Vidpovidno ce zh bude spravedlivim i dlya dovilnogo vilnogo modulya nad kilcem R Oskilki Q displaystyle mathbb Q ye lokalizaciyeyu kilcya Z displaystyle mathbb Z za multiplikativnoyu mnozhinoyu Z 0 displaystyle mathbb Z setminus 0 to Q displaystyle mathbb Q ye ploskim Z displaystyle mathbb Z modulem Ce ye prikladom ploskogo ale ne proyektivnogo modulya Takozh ce ye prikladom ploskogo modulya iz nulovim anulyatorom yakij ne ye strogo ploskim Dijsno napriklad Q ZZ2 0 displaystyle mathbb Q otimes mathbb Z mathbb Z 2 0 ale Z2 0 displaystyle mathbb Z 2 neq 0 Dlya bud yakogo cilogo chisla n gt 1 Z nZ displaystyle n gt 1 mathbb Z n mathbb Z ne ye ploskim nad Z displaystyle mathbb Z oskilki n Z Z x nx displaystyle n mathbb Z to mathbb Z x mapsto nx ye in yektivnim ale pohidne vidobrazhennya na tenzornomu dobutku z Z nZ displaystyle mathbb Z n mathbb Z ne ye in yektivnim Modul Q Z displaystyle mathbb Q mathbb Z ne ye ploskim nad Z displaystyle mathbb Z Dlya kilcya mnogochleniv S A x1 xr displaystyle S A x 1 dots x r nad neterovim kilcem A displaystyle A i mnogochlena f S displaystyle f in S sho ne ye dilnikom nulya S fS displaystyle S fS ye ploskim nad A displaystyle A yaksho i tilki yaksho f displaystyle f ye primitivnim mnogochlenom Dlya neterovogo kilcya R displaystyle R i jogo idealu I displaystyle I popovnennya A A displaystyle A to widehat A za idealom I displaystyle I ye ploskim Vono ye strogo ploskim todi i tilki todi koli I displaystyle I mistitsya u radikali Dzhekobsona kilcya R displaystyle R Gomologichna algebraVlastivist ploskosti modulya mozhna viraziti za dopomogoyu funktora Tor livogo pohidnogo funktora dlya tenzornogo dobutku Livij R modul M ye ploskim todi i tilki todi koli TornR M 0 dlya vsih n 1 displaystyle n geq 1 tobto koli TornR X M 0 dlya vsih n 1 displaystyle n geq 1 i vsih pravih R moduliv X oznachennya ploskogo pravogo modulya ye analogichnim Vikoristovuyuchi cej fakt mozhna dovesti kilka vlastivostej korotkoyi tochnoyi poslidovnosti moduliv 0 A fB gC 0 displaystyle 0 longrightarrow A stackrel f longrightarrow B stackrel g longrightarrow C longrightarrow 0 Yaksho A i C ploski to i B ploskij Yaksho B i C ploski to i A ye ploskim Yaksho A i B ploski C v zagalnomu vipadku ne ye ploskim Odnak Yaksho A pryamij dodanok modulya B i B ye ploskim to A i C ploski Ploski rezolventiPloska rezolventa modulya M ce rezolventa vidu F2 F1 F0 M 0 de vsi Fi ye ploskimi modulyami Ploski rezolventi vikoristovuyutsya pri obchislenni funktora Tor Dovzhina ploskoyi rezolventi ce najmenshij indeks n takij sho Fn ne dorivnyuye nulyu i Fi 0 dlya vsih i sho ye bilshimi za n Yaksho modul M maye skinchennu plosku rezolventu yiyi dovzhina nazivayetsya ploskoyu rozmirnistyu modulya v inshomu vipadku govoryat sho ploska rozmirnist neskinchenna Napriklad yaksho modul M maye plosku rozmirnist 0 to z tochnistyu poslidovnosti 0 F0 M 0 viplivaye sho M ye izomorfnim F 0 tobto ye ploskim Div takozhVilnij modul Proyektivnij modul Skrut algebra PrimitkiMatsumura 1970 Proposition 3 G Bourbaki Ch I 2 Proposition 13 Corollay 1 Lazard D 1969 Bulletin de la Societe Mathematique de France 97 81 128 arhiv http www numdam org item id BSMF 1969 97 81 0 originalu za 19 listopada 2016 procitovano 19 lipnya 2019 Eisenbud Exercise 6 4 Matsumura 1970 Corollary 1 of Theorem 55 p 170 Matsumura 1970 Theorem 56 Lam 1999 p 183 LiteraturaBurbaki N Kommutativnaya algebra M Mir 1971 Eisenbud David 1995 Commutative algebra Graduate Texts in Mathematics t 150 Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 387 94268 1 MR 1322960 Lam Tsit Yuen 1999 Lectures on modules and rings Graduate Texts in Mathematics No 189 Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 387 98428 5 MR 1653294 Hideyuki Matsumura Commutative Ring Theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8 Cambridge University Press Cambridge 1986 xiv 320 pp ISBN 0 521 25916 9