Плоский модуль над кільцем R — такий модуль, що тензорний добуток на цей модуль зберігає точні послідовності. Модуль називається строго плоским, якщо послідовність тензорних добутків точна тоді і тільки тоді, коли точною є вихідна послідовність.
Векторні простори, вільні і, більш загально, проєктивні модулі є плоскими. Для скінченнопороджених модулів над нетеровим кільцями плоскі модулі — те ж саме, що проєктивні модулі. Для скінченнопороджених модулів над локальними кільцями все плоскі модулі є вільними модулями.
Поняття плоского модуля було введено Серром в 1955 році.
Означення
Можна дати кілька еквівалентних означень плоского модуля. Нижче означення подані для комутативних кілець.
- (Лівий)
-модуль
називається плоским тоді і тільки тоді, коли функтор тензорного добутку
є точним. Даний функтор переводить
-гомоморфізм
у
-гомоморфізм
який на елементах виду
задається як
і лінійно продовжується на весь тензорний добуток.
- Оскільки функтор тензорного добутку завжди є точним справа, попередню вимогу можна послабити. А саме,
-модуль
є плоским, якщо для будь-якого ін'єктивного
-модулів
індуковане відображення
також є ін'єктивним.
- Модуль
є плоским, якщо для кожного в кільці
(з природним вкладенням
) індуковане відображення
є ін'єктивним.
- Існує направлена множина
-модулів
з такими властивостями:
- Для всіх
,
є скінченнопородженим вільним
-модулем.
- Індуктивна границя множини рівна
:
.
- Для будь-якої лінійної залежності в
,
,
- де
, існує матриця
така що
має розв'язок для деякого
.
.
- Для будь-якого
-модуля
,
де
позначає функтор Tor.
- Для будь-якого скінченнопородженого ідеала
,
.
- Для довільного відображення
, де
є скінченнопородженим вільним
-модулем, і для довільного скінченнопородженого
-підмодуля
,
розкладається через відображення у вільний
-модуль
для якого образ
є нулем:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTg0THpnNEwwWnNZWFJOYjJSMWJHVXRNREV1Y0c1bi5wbmc=.png)
Властивості плоских модулів над комутативним кільцем
- Пряма сума
є плоским модулем тоді і тільки тоді, коли кожен модуль
є плоским.
- Нехай
є направленою системою плоских модулів над кільцем R, де I — направлена множина. Тоді індуктивна границя
теж є плоским модулем.
- Теорема Говорова — Лазара: (лівий, правий) модуль M є плоским тоді і тільки тоді, коли він є індуктивною границею скінченнопороджених вільних модулів.
- Для будь-якої мультиплікативної системи S кільця R локалізація кільця S-1R є плоским R-модулем.
- Модуль M над комутативним кільцем R є плоским тоді і тільки тоді, коли для кожного простого ідеалу
локалізація
є плоским ідеалом і тоді і тільки тоді коли для кожного максимального ідеалу
локалізація
є плоским ідеалом.
- Скінченнопороджений модуль є плоским тоді і тільки тоді, коли він є локально вільним. Локально вільний модуль над кільцем R — такий модуль M, що його локалізація за будь-яким простим ідеалом
є вільним модулем над кільцем часток
.
- Плоскі модулі можна вказати на наступному ланцюжку включень:
- Модулі без кручень ⊃ плоскі модулі ⊃ проєктивні модулі ⊃ вільні модулі.
- Для деяких класів кілець правильними є і обернені включення: наприклад, кожен модуль без кручень над дедекіндовим кільцем є плоским, плоский модуль над кільцем Артіна є проєктивним і проєктивний модуль над областю головних ідеалів (або над локальним кільцем) є вільним.
- Якщо M є скінченнопредставленим модулем (тобто існує точна послідовність
в якій K і F є скінченнопородженими модулями і F також вільним модулем) то M є плоским тоді і тільки тоді, коли він є проєктивним. Якщо додатково R є комутативним локальним кільцем, то M є вільним модулем.
- Для R-модуля еквівалентними M є такі твердження (які можна вважати означеннями строго плоских модулів):
- Послідовність
R-модулів є точною тоді і тільки тоді, коли точною є послідовність
- Модуль M є плоским і для довільного R-модуля N, якщо
то
- Модуль M є плоским і для довільного R-гомоморфізма
, якщо породжений гомоморфізм
є нульовим гомоморфізмом, то і
- Послідовність
- Для строго плоского R-модуля M його анулятор
є рівним нулю. Натомість плоский модуль із нульовим анулятором не обов'язково буде строго плоским, прикладом чого є
-модуль
.
- R-модуль M є строго плоским тоді і тільки тоді, коли він є плоским і для кожного максимального ідеалу
- Якщо кільце S є R-алгеброю, тобто існує гомоморфізм
, то S є строго плоским R-модулем тоді і тільки тоді, коли кожен простий ідеал кільця R є прообразом під дією f деякого простого ідеалу з S, тобто коли відображення
є сюр'єктивним (див. статтю Спектр кільця).
- Нехай, як і вище, S є R-алгеброю і вона є строго плоским R-модулем. Якщо
є скінченнопородженим (скінченнопредставленим) S-модулем, то і M є скінченнопородженим (скінченнопредставленим) R-модулем.
- При позначеннях попередньої властивості якщо
є скінченнопородженим проєктивним S-модулем, то і M є скінченнопородженим проєктивним R-модулем.
Категорні кограниці
- Прямі суми і індуктивні границі плоских модулів є плоскими. Це випливає з того факту, що тензорний добуток комутує з прямими сумами і індуктивними границями (більше того, воно комутує з усіма кограницями). Підмодулі і фактор-модулі плоского модуля не обов'язково є плоскими (наприклад, плоским не є модуль Z/2 Z). Проте якщо підмодуль плоского модуля є в ньому прямим доданком, то фактор за ним є плоским.
- Модуль є плоским тоді і тільки тоді, коли він є індуктивною границею скінченнопороджених вільних модулів. З цього випливає, зокрема, що кожен скінченнопредставлений плоский модуль є проєктивним.
Приклади
- Оскільки для кільця R і довільного R-модуля M виконується
то R є плоским R-модулем. Відповідно це ж буде справедливим і для довільного вільного модуля над кільцем R.
- Оскільки
є локалізацією кільця
за мультиплікативною множиною
то
є плоским
-модулем. Це є прикладом плоского але не проєктивного модуля. Також це є прикладом плоского модуля із нульовим анулятором, який не є строго плоским. Дійсно, наприклад,
але
- Для будь-якого цілого числа
не є плоским над
оскільки
є ін'єктивним, але похідне відображення на тензорному добутку з
не є ін'єктивним.
- Модуль
не є плоским над
- Для кільця многочленів
над нетеровим кільцем
і многочлена
, що не є дільником нуля,
є плоским над
якщо і тільки якщо
є примітивним многочленом.
- Для нетерового кільця
і його ідеалу
поповнення
за ідеалом
є плоским. Воно є строго плоским тоді і тільки тоді, коли
міститься у радикалі Джекобсона кільця
.
Гомологічна алгебра
Властивість «плоскості» модуля можна виразити за допомогою функтора Tor, лівого похідного функтора для тензорного добутку. Лівий R- модуль M є плоским тоді і тільки тоді, коли TornR(-,M) = 0 для всіх (тобто коли TornR(X, M) = 0 для всіх
і всіх правих R-модулів X), означення плоского правого модуля є аналогічним. Використовуючи цей факт, можна довести кілька властивостей короткої точної послідовності модулів:
- Якщо A і C плоскі, то і B плоский.
- Якщо B і C плоскі, то і A є плоским.
- Якщо A і B плоскі, C в загальному випадку не є плоским. Однак:
- Якщо A — прямий доданок модуля B і B є плоским, то A і C плоскі.
Плоскі резольвенти
Плоска резольвента модуля M — це резольвента виду
- … → F2 → F1 → F0 → M → 0
де всі Fi є плоскими модулями. Плоскі резольвенти використовуються при обчисленні функтора Tor.
Довжина плоскої резольвенти — це найменший індекс n, такий що Fn не дорівнює нулю і Fi = 0 для всіх i, що є більшими за n. Якщо модуль M має скінченну плоску резольвенту, її довжина називається плоскою розмірністю модуля. , в іншому випадку говорять, що плоска розмірність нескінченна. Наприклад, якщо модуль M має плоску розмірність 0, то з точністю послідовності 0 → F0 → M → 0 випливає, що M є ізоморфним F 0 , тобто є плоским.
Див. також
Примітки
- Matsumura, 1970, Proposition 3.G
- Bourbaki, Ch. I, § 2. Proposition 13, Corollay 1.
- Lazard, D. (1969), , Bulletin de la Societe Mathematique de France, 97: 81—128, архів [http: //www.numdam.org/item? id = BSMF_1969__97__81_0 оригіналу] за 19 листопада 2016, процитовано 19 липня 2019
- Eisenbud, Exercise 6.4.
- Matsumura, 1970, Corollary 1 of Theorem 55, p. 170
- Matsumura, 1970, Theorem 56
- Lam, 1999, p. 183.
Література
- Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971.
- Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1322960
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1653294
- Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет