Топологі чна гру па група яка одночасно є топологічним простором при цьому множення елементів групи і обертання елемента

Топологі́чна гру́па — група, яка одночасно є топологічним простором, при цьому множення елементів групи і обертання елемента є неперервними.

Означення

Нехай на множині G задані структури групи і топологічного простору, так, що множення

G\times G\to G:(x,y)\mapsto xy

і операція взяття оберненого елементу

G\to G:x\mapsto x^{-1}

— неперервні функції. Тут G × G розглядається як добуток топологічних просторів. Тоді G називається топологічною групою.

Еквівалентно достатньо вимагати неперервність відображення:

G\times G\to G:(x,y)\mapsto xy^{-1}

Лише однієї вимоги неперервності множення є недостатньо. Наприклад якщо на множині цілих чисел $\mathbb {Z}$ ввести топологію у якій відкритими множинами є $\varnothing ,\;\mathbb {Z}$ і інтервали виду $[n,\infty ),$ то стандартна операція додавання буде неперервною у цій топології, а взяття оберненого елемента (зміна знаку) — ні.

Хоча формально такої вимоги нема але багато авторів вимагають додатково, щоб простір G був гаусдорфовим.

Гомоморфізмом топологічних груп називається гомоморфізм груп G → H, що є також неперервним відображенням між топологічними просторами. Топологічні групи із їх гомоморфізмами утворюють категорію.

Аналогічно ізоморфізмом топологічних груп називають ізоморфізм груп, що є гомеоморфізмом між топологічними просторами.

Приклади

Довільна абстрактна група із дискретною топологією або антидискретною топологією.
Векторна група $\mathbb {R} ^{n}$ — прямий добуток n екземплярів адитивної групи дійсних чисел із стандартною топологією
Коло — факторгрупа $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ групи $\mathbb {R}$ по підгрупі цілих чисел $\mathbb {Z}$
Множина раціональних чисел $\mathbb {Q}$ із топологією породженою стандартною метрикою
Множина p-адичних цілих чисел із топологією породженою p-адичною нормою
Групи Лі є топологічними групами із додатковою структурою диференційовного многовиду
Топологічні векторні простори є топологічними групами щодо операції додавання елементів векторного простору. Простір $\mathbb {R} ^{n}$ із прикладу вище є одним із прикладів топологічного векторного простору.

Властивості

Операція множення на групі задає відображення $l_{g}:x\to gx$ і $r_{g}:x\to xg.$ Оскільки вони є композиціями тотожного відображення, константи $G\to g$ і множення у групі, то обидва ці відображення є неперервними. Оскільки $l_{g^{-1}}$ і $r_{g^{-1}}$ є неперервними і оберененими до $l_{g}$ і $r_{g}$ то всі $l_{g}$ і $r_{g}$ є гомеоморфізмами.
З попереднього випливає, що якщо для деяких підмножин $A,B\subset G$ позначити $gA:=l_{g}(A),\ Ag:=r_{g}(A),\ AB=\cup _{a\in B}aB$ то для відкритої (замкнутої) підмножини $A,$ усі підмножини $gA$ і $Ag$ теж будуть відкритими (замкнутими). Також якщо хоча б одна із підмножин $A,B$ буде відкритою, то $AB$ і $BA$ будуть відкритими підмножинами. Якщо ж одна із цих підмножин буде замкнутою, а інша — скінченною, то $AB$ і $BA$ будуть замкнутими підмножинами.
У комутативній топологічній групі компактної підмножини $K$ і замкнутої множини $C$ також $KC$ буде замкнутою множиною.
Якщо 𝒩 є базою околів одиничного елемента G то для кожного g ∈ G,
$x 𝒩 := {xN : N \in 𝒩$ } є базою околів точки $g$ . Тому топологія у групі однозначно визначається базою околів одиничного елемента (чи будь-якого елемента групи). Більш детально, якщо сім'я ${\mathcal {B}}$ підмножин групи $G$ , що містять одиничний елемент задовільняє умови:
1. Для кожних $U,V\in {\mathcal {B}}$ існує $W\in {\mathcal {B}}$ для якої $W\subseteq U\cap V$
2. Для кожної $U\in {\mathcal {B}}$ існує $V\in {\mathcal {B}}$ для якої $V^{-1}V\subseteq U$
3. Для кожної $U\in {\mathcal {B}}$ і $g \in U$ існує $V\in {\mathcal {B}}$ для якої $Vg\subseteq U$
4. Для кожної $U\in {\mathcal {B}}$ і $g \in G$ існує $V\in {\mathcal {B}}$ для якої $gVg^{-1}\subseteq U$

то існує єдина топологія на групі для якої

{\mathcal {B}}

є базою відкритих околів одиничного елемента.

Базу околів завжди можна вибрати так щоб її елементами були тільки симетричні множини, тобто множини для яких $V^{-1}=V.$
Топологічні групи є регулярними просторами. Для топологічної групи з одиничним елементом 1, твердження нижче є еквівалентними:
1. $G$ є T₀-простором;
2. $G$ є гаусдорфовим простором;
3. $G$ є цілком регулярним простором;
4. Множина ${ 1$ } є замкнутою у $G$ ;
5. Для $g \in G$ і $g \neq 1$ існує окіл $U$ одиничного елемента у $G$ для якого $g \notin U$ .

Теорема Біркгофа — Какутані. Топологічна група є метризовною тоді і тільки тоді коли вона є гаусдорфовою і задовольняє першу аксіому зліченності. Із попередніх властивостей твердження можна перефразувати, що група є метризовною коли одиничний елемент є замкнутою підмножиною і для нього існує зліченна база околів. Для метризовних груп завжди існують лівоінваріантні і правоінваріантні метрики тобто метрики $d_{1},\ d_{2}$ такі, що для всіх $x,y,g\in G$ виконуються рівності $d_{1}(x,y)=d_{1}(gx,gy)$ і $d_{2}(x,y)=d_{2}(xg,yg).$

Підгрупи і факторгрупи

Підгрупа $H$ топологічної групи $G$ є топологічною групою для індукованої топології. Факторпростір $G / H$ суміжних класів забезпечується фактортопологією щодо канонічного відображення групи $G$ на $G / H$ . Відображення $q : G \to G / H$ завжди є відкритим.

Якщо $H$ є нормальною підгрупою топологічної групи $G$ , то факторгрупа $G / H$ є топологічною групою щодо фактортопології.
Компонента зв'язності одиничного елемента групи $G$ ₀ завжди є замкнутою нормальною підгрупою. Факторгрупа $G / G 0$ є цілком незв'язаною.
Для будь якого елемента g ∈ $G$ компонента зв'язності, що містить цей елемент має вигляд $gG$ ₀ або еквівалентно $G$ ₀ $g$ , тобто компонентами зв'язності є ліві і праві класи суміжності по підгрупі $G$ _0.

Кожна відкрита підгрупа $H$ є також замкнутою у $G$ , оскільки доповнення $H$ є об'єднанням відкритих множин $gH$ для $g ∈ G \ H$ . Якщо $H$ є підгрупою $G$ то і замикання $H$ є підгрупою. Зокрема якщо $H$ є нормальною підгрупою, то і замикання $H$ є нормальною підгрупою у $G$ .

Факторпростір $G / H$ є гаусдорфовим тоді і тільки тоді коли підгрупа $H$ є замкнутою у (не обов'язково гаусдорфовій) групі $G$ . Якщо підгрупа $H$ і факторпростір $G / H$ є гаусдорфовими, то і група $G$ є гаусдорфовою. Факторпростір $G / H$ завжди є регулярним.

Як і кожна абстрактна група топологічна група $G$ задовольняє групові теореми про ізоморфізми. У випадку першої теореми про ізоморфізм якщо гомоморфізм топологічних груп $\varphi \colon G\to H$ є не лише неперервним, а й відкритим (або замкнутим) відображенням, то ізоморфізм груп $G\!{\big /}\!{\ker \varphi }$ і образу гомоморфізма $\varphi$ є також гомеоморфізмом, тобто також і ізоморфізмом у категорії топологічних груп. Додаткові вимоги для гомоморфізму є необхідними. Якщо, наприклад, розглянути тор $T=S^{1}\times S^{1}$ і неперервний гомоморфізм $\varphi _{\lambda }:\mathbb {R} \to T$ заданий як $t\to (e^{2\pi it},\,e^{2\pi i\lambda t})$ для ірраціонального числа $\lambda$ , то $\varphi _{\lambda }$ є ін'єктивним відображенням і його образ є ізоморфний як група адитивній групі дійсних чисел. Проте із індукованою топологією він не є гомеоморфний множині дійсних чисел із стандартною топологією, оскільки будь-який окіл довільної точки містить як завгодно великі дійсні числа.

Для третьої теореми про ізоморфізм якщо

N

,

K

— нормальні підгрупи в

G

, такі що

K\subseteq N

, тоді існує ізоморфізм груп

(G\!{\big /}\!K)\!{\Big /}\!(N\!{\big /}\!K)

і

G\!{\big /}\!N

і він також завжди є гомеоморфізмом відповідних топологічних просторів, тобто також і ізоморфізмом у категорії топологічних груп.

Для другої теореми про ізоморфізм для

S

— підгрупи в

G

і

N

— нормальної підгрупи в

G

ізоморфізм факторгруп

(SN)/N

і

S/(S\cap N)

може не бути гомеоморфізмом. Наприклад нехай

G=\mathbb {R} ,\!N=\mathbb {Z}

і

S=\lambda \mathbb {Z} ,

де

\lambda

є деяким ірраціональним числом і груповою операцією в усіх групах є звичайне додавання. Тоді

S\cap N=\{0\}

і тому

S/(S\cap N)=S,

тобто є дискретним простором ізоморфним адитивній групі цілих чисел. Натомість

N+S=\mathbb {Z} +\lambda \mathbb {Z}

є щільною підмножиною дійсних чисел, а тому

(S+N)/N=(\mathbb {Z} +\lambda \mathbb {Z} )\!{\big /}\!\mathbb {Z}

є щільною підмножиною кола

S^{1}=\mathbb {R} \!{\big /}\!\mathbb {Z} .

Відповідно

(S+N)/N

не є дискретним простором оскільки кожна його відкрита підмножина містить нескінченну кількість елементів. Відповідно простори

S/(S\cap N)

і

(S+N)/N

не є гомеоморфними.

Рівномірні структури

Топологічна група $G$ є рівномірним простором якщо прийняти, що підмножина $V\subset G\times G$ є оточенням якщо і тільки якщо вона містить множину $\{(x,y):xy^{-1}\in U\}$ для деякого околу $U$ одиничного елемента групи $G$ . Ця рівномірна структура на $G$ називається правою рівномірною структурою на $G$ , оскільки для кожного елемента $a\in G$ , праве множення $x\to xa$ є рівномірно неперервним щодо цієї рівномірної структури.

Також можна ввести ліву рівномірну структуру на $G$ , вони можуть бути різними але породжують однакову топологію на $G$ .

Існування рівномірної структури на топологічній групі дозволяє ввести і використовувати поняття рівномірної неперервності, послідовності Коші, повноти і поповнення.

Гомотопні властивості

Якщо $\ f_{1},f_{2}\colon [0,1]\to G$ є петлями в одиничному елементі (тобто $\ f_{1}(0)=f_{2}(0)=f_{1}(1)=f_{2}(1)=1_{G}$ ) то для фундаментальної групи $\pi _{1}(G,1_{G})$ множення визначається множенням у самій групі $G,$ тобто $\ [f_{1}][f_{2}]=[f_{1}*f_{2}]=[f_{1}f_{2}],$ де $f_{1}f_{2}$ є петлею одержаною звичайним множенням у групі, тобто $(f_{1}f_{2})(t)=f_{1}(t)f_{2}(t).$ Аналогічно у фундаментальній групі $\ [f_{1}]^{-1}=[f_{1}^{-1}].$

Фундаментальна група топологічної групи є комутативною.

Оскільки будь-яка петля $\ f_{1}\colon [0,1]\to G$ у елементі $g\in G$ є неперервним образом петлі $\ g^{-1}f_{1}$ при відображенні $l_{g}$ і дві петлі $\ f_{1},f_{2}\colon [0,1]\to G$ у елементі $g$ є гомотопними тоді і тільки тоді коли гомотопними є відповідні петлі $\ g^{-1}f_{1}$ і $\ g^{-1}f_{2}$ то всі фундаментальні групи $\pi _{1}(G,g)$ є ізоморфними $\pi _{1}(G,1_{G})$ і групу $\pi _{1}(G,1_{G})$ як правило просто позначають $\pi _{1}(G).$

П'ята проблема Гільберта

Визначальну роль в побудові теорії топологічних групі відіграла п'ята проблема Гільберта. Сформульована в 1900 як проблема про локальні групи перетворень, ця проблема була переосмислена в процесі розвитку теорії топологічних груп.

У сучасних термінах проблему можна сформулювати як: чи є будь-яка топологічна група, що є також топологічним многовидом групою Лі?

П'ята проблема Гільберта була вирішена у 1952. Важливим елементом стало доведення критерію, що локально компактна група $G$ є групою Лі тоді і тільки тоді, коли у $G$ існує окіл одиниці, який не містить нетривіальних підгруп.

Було показано також, що локально компактна група $G$ з компактною факторгрупою $G / G 0$ є проективною границею груп Лі.

Див. також

Джерела

Бурбакі Н. Загальна топологія: Топологічні групи. Числа і пов'язані з ними групи і простори. — М. : Наука, 1969. — С. 392. — (Елементи математики)(рос.)
Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.)
Higgins, Philip J. (1974), An Introduction to Topological Groups, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 15, Cambridge University Press, ISBN
Montgomery, Deane; Zippin, Leo (1955), Topological Transformation Groups, New York, London: Interscience Publishers, MR 0073104