В геометрії, середня точка — це точка на заданому відрізку, що знаходиться на рівній відстані від обох кінців цього відрізка. Є центром мас як всього відрізка, так і його кінцевих точок. Середня точка ділить навпіл відрізок.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMelk0TDAxcFpIQnZhVzUwTG5OMlp5OHlPREp3ZUMxTmFXUndiMmx1ZEM1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Формули
Середня точка відрізка в n-мірному просторі, кінцями якого є точки та
, задається формулою
Таким чином, i-та координата середньої точки (i = 1, 2, …, n) дорівнює
Побудова
Якщо задані дві точки, знайти середину відрізка, можна за допомогою циркуля та лінійки. Для цього, спочатку на площині будують дві дуги рівного радіусу з центрами в кінцях відрізка. Радіуси цих дуг повинні бути достатньо великими, щоб дуги кіл перетинались між собою. Потім через точки перетину цих дуг креслиться пряма. Точка, де отримана пряма перетинає відрізок, є його серединою. Ті ж самі побудови можна виконати за допомогою тільки одного циркуля, на це вказує теорема Мора — Маскероні.
Геометричні властивості, пов'язані з середньою точкою
Коло
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOW1MMlpoTDBKMWRIUmxjbVpzZVY5MGFHVnZjbVZ0TG5OMlp5OHlORFZ3ZUMxQ2RYUjBaWEptYkhsZmRHaGxiM0psYlM1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Середня точка кола будь-якого діаметра є центром кола.
Будь-яка лінія проведена перпендикулярно до будь-якої хорді кола і проходить через середину хорди, також проходить через центр кола.
Теорема про метелика стверджує, що, якщо через точку М, що є серединою хорди PQ деякого кола, проведені дві довільні хорди АВ і CD того ж кола, то хорди AD і ВС перетинають хорду PQ в точках X і Y. Тоді М є серединою відрізка XY.
Еліпс
Середина відрізка, який є бісектором площі або периметру еліпса, є центром еліпса.
Центр еліпса є також середньою точкою відрізка, що з'єднує два фокуси еліпса.
Гіпербола
Середина відрізка, що з'єднує вершини гіперболи є центром гіперболи.
Трикутник
Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці і ця точка збігається з центром вписаного кола (інцентром). Три серединних перпендикуляри сторін трикутника перетинаються у центрі описаного кола.
Медіаною трикутника, проведеної з даної вершини, називається відрізок, котрий поєднує цю вершину з серединою протилежної сторони (основою медіани). Всі три медіани трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка перетину називається центроїдом (така назва пояснюється тим, що модель трикутника вирізана зі щільного паперу, буде зберігати рівновагу, якщо спиратись на цю точку).
Центр кола дев'яти точок трикутника є середньою точкою між центрами вписаного та описаного кола. Всі ці точки лежать на лінії Ейлера.
Трикутник з вершинами в серединах медіан називається серединним трикутником. Ортоцентр (перетин висот) серединного трикутника збігаються з центром описаного кола вихідного трикутника. Також у цих трикутників збігаються медіани. Периметр серединного трикутника дорівнює півпериметру (половині периметру) базового трикутника та його площа складає четверту частину від площі базового трикутника.
Кожен трикутник має [en] еліпс, який називається еліпсом Штейнера. Це еліпс з центром в точці центроїда трикутника і він має найбільшу площу серед усіх еліпсів, вписаних в трикутник.
У прямокутному трикутнику, центр описаного кола є середина гіпотенузи.
Чотирикутник
Для опуклого чотирикутника бімедіаною називають відрізок, що з'єднує середини протилежних сторін. Дві бімедіани та відрізок, що з'єднує середини діагоналей будуть конкурентними, тобто, вони перетинаються в одній точці. Ця точка називається вершинним центроїдом (англ. vertex centroid), який буде серединою всіх трьох відрізків.
Теорема Брамагупти стверджує, що якщо вписаний чотирикутник має перпендикулярні діагоналі, тоді перпендикуляр до сторони, проведений через точку перетину діагоналей, завжди проходить через середню точку з протилежної сторони.
Теорема Варіньона стверджує, що середини сторін довільного чотирикутника утворюють вершини паралелограма, а якщо чотирикутник без самоперетинів, то площа паралелограма дорівнює половині площі чотирикутника.
Пряма Ньютона — пряма, що проходить серединами двох діагоналей опуклого чотирикутника, відмінного від паралелограму. Відрізки, що з'єднують середні точки протилежних сторін опуклого чотирикутника перетинаються в точці, що лежить на прямій Ньютона.
Многокутник
Правильний многокутник має вписану окружність, яка є дотичною до кожної зі сторін многокутника на її середній точці.
У правильного многокутника з парним числом сторін, центральна частина діагоналі між протилежними вершинами є центром многокутника.
[en] вписаного многокутника Р (многокутник, вершини якого знаходяться на одній окружності) є ще одним многокутником, який вписаний в тому ж колі многокутника, вершини якого є серединами дуг окружності між вершинами Р.
Узагальнення
Середня точка насправді є афінним інваріантом. Таким чином, зазначені вище формули для декартових координат застосовні в будь-який [ru].
Середня точка не визначена в проективній геометрії. Будь-яка точка всередині [en] може бути проективно відображена в будь-яку іншу точку (того ж або іншого) проективного відрізку. Одна з таких точок, насправді середня точка, визначає афінну структуру на проективній прямій, що містить цей відрізок. Гармонійна четвірка такої «середини» по відношенню до двох кінцевих точок буде точкою на нескінченності.
Визначення середньої точки відрізка може бути поширено на геодезичну лінію на рімановому многовиді. Зверніть увагу, що для ріманового многовиду, на відміну від афінного випадку, середня точка між двома точками може бути визначена не однозначно.
Примітки
- . 29 вересня 2010. Архів оригіналу за 25 листопада 2016. Процитовано 8 грудня 2016.
- Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.
- Дін, Джиу; Хітт, L. Річард; Чжан, Синь-Мін (1 липня 2003 г.), (PDF), Лінійна алгебра і її застосування, 367: 255—270, doi:10.1016/S0024-3795(02)00634-1, архів оригіналу (PDF) за 3 березня 2016, процитовано 8 грудня 2016.
- Гомес-Мартін, Франциско; Taslakian, Perouz (2008), Про збіжність тіньової послідовності вписаних многоокутників, , архів оригіналу за 6 квітня 2017, процитовано 8 грудня 2016
- Гарольд Коксетер (1949) The Real Projective Plane, сторінка 119
Див. також
- [en]
Посилання
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V geometriyi serednya tochka ce tochka na zadanomu vidrizku sho znahoditsya na rivnij vidstani vid oboh kinciv cogo vidrizka Ye centrom mas yak vsogo vidrizka tak i jogo kincevih tochok Serednya tochka dilit navpil vidrizok Serednya tochka vidrizka z kincevimi tochkami x 1 y 1 ta x 2 y 2 FormuliSerednya tochka vidrizka v n mirnomu prostori kincyami yakogo ye tochki A a 1 a 2 a n displaystyle displaystyle A a 1 a 2 dots a n ta B b 1 b 2 b n displaystyle displaystyle B b 1 b 2 dots b n zadayetsya formuloyu A B 2 displaystyle displaystyle frac A B 2 Takim chinom i ta koordinata serednoyi tochki i 1 2 n dorivnyuye a i b i 2 displaystyle displaystyle frac a i b i 2 PobudovaYaksho zadani dvi tochki znajti seredinu vidrizka mozhna za dopomogoyu cirkulya ta linijki Dlya cogo spochatku na ploshini buduyut dvi dugi rivnogo radiusu z centrami v kincyah vidrizka Radiusi cih dug povinni buti dostatno velikimi shob dugi kil peretinalis mizh soboyu Potim cherez tochki peretinu cih dug kreslitsya pryama Tochka de otrimana pryama peretinaye vidrizok ye jogo seredinoyu Ti zh sami pobudovi mozhna vikonati za dopomogoyu tilki odnogo cirkulya na ce vkazuye teorema Mora Maskeroni Geometrichni vlastivosti pov yazani z serednoyu tochkoyuKolo Teorema pro metelika Serednya tochka kola bud yakogo diametra ye centrom kola Bud yaka liniya provedena perpendikulyarno do bud yakoyi hordi kola i prohodit cherez seredinu hordi takozh prohodit cherez centr kola Teorema pro metelika stverdzhuye sho yaksho cherez tochku M sho ye seredinoyu hordi PQ deyakogo kola provedeni dvi dovilni hordi AV i CD togo zh kola to hordi AD i VS peretinayut hordu PQ v tochkah X i Y Todi M ye seredinoyu vidrizka XY Elips Seredina vidrizka yakij ye bisektorom ploshi abo perimetru elipsa ye centrom elipsa Centr elipsa ye takozh serednoyu tochkoyu vidrizka sho z yednuye dva fokusi elipsa Giperbola Seredina vidrizka sho z yednuye vershini giperboli ye centrom giperboli Trikutnik Bisektrisi trikutnika peretinayutsya v odnij tochci i cya tochka zbigayetsya z centrom vpisanogo kola incentrom Tri seredinnih perpendikulyari storin trikutnika peretinayutsya u centri opisanogo kola Medianoyu trikutnika provedenoyi z danoyi vershini nazivayetsya vidrizok kotrij poyednuye cyu vershinu z seredinoyu protilezhnoyi storoni osnovoyu mediani Vsi tri mediani trikutnika peretinayutsya v odnij tochci Cya tochka peretinu nazivayetsya centroyidom taka nazva poyasnyuyetsya tim sho model trikutnika virizana zi shilnogo paperu bude zberigati rivnovagu yaksho spiratis na cyu tochku Centr kola dev yati tochok trikutnika ye serednoyu tochkoyu mizh centrami vpisanogo ta opisanogo kola Vsi ci tochki lezhat na liniyi Ejlera Trikutnik z vershinami v seredinah median nazivayetsya seredinnim trikutnikom Ortocentr peretin visot seredinnogo trikutnika zbigayutsya z centrom opisanogo kola vihidnogo trikutnika Takozh u cih trikutnikiv zbigayutsya mediani Perimetr seredinnogo trikutnika dorivnyuye pivperimetru polovini perimetru bazovogo trikutnika ta jogo plosha skladaye chetvertu chastinu vid ploshi bazovogo trikutnika Kozhen trikutnik maye en elips yakij nazivayetsya elipsom Shtejnera Ce elips z centrom v tochci centroyida trikutnika i vin maye najbilshu ploshu sered usih elipsiv vpisanih v trikutnik U pryamokutnomu trikutniku centr opisanogo kola ye seredina gipotenuzi Chotirikutnik Dlya opuklogo chotirikutnika bimedianoyu nazivayut vidrizok sho z yednuye seredini protilezhnih storin Dvi bimediani ta vidrizok sho z yednuye seredini diagonalej budut konkurentnimi tobto voni peretinayutsya v odnij tochci Cya tochka nazivayetsya vershinnim centroyidom angl vertex centroid yakij bude seredinoyu vsih troh vidrizkiv p 125 Teorema Bramagupti stverdzhuye sho yaksho vpisanij chotirikutnik maye perpendikulyarni diagonali todi perpendikulyar do storoni provedenij cherez tochku peretinu diagonalej zavzhdi prohodit cherez serednyu tochku z protilezhnoyi storoni Teorema Varinona stverdzhuye sho seredini storin dovilnogo chotirikutnika utvoryuyut vershini paralelograma a yaksho chotirikutnik bez samoperetiniv to plosha paralelograma dorivnyuye polovini ploshi chotirikutnika Pryama Nyutona pryama sho prohodit seredinami dvoh diagonalej opuklogo chotirikutnika vidminnogo vid paralelogramu Vidrizki sho z yednuyut seredni tochki protilezhnih storin opuklogo chotirikutnika peretinayutsya v tochci sho lezhit na pryamij Nyutona Mnogokutnik Pravilnij mnogokutnik maye vpisanu okruzhnist yaka ye dotichnoyu do kozhnoyi zi storin mnogokutnika na yiyi serednij tochci U pravilnogo mnogokutnika z parnim chislom storin centralna chastina diagonali mizh protilezhnimi vershinami ye centrom mnogokutnika en vpisanogo mnogokutnika R mnogokutnik vershini yakogo znahodyatsya na odnij okruzhnosti ye she odnim mnogokutnikom yakij vpisanij v tomu zh koli mnogokutnika vershini yakogo ye seredinami dug okruzhnosti mizh vershinami R UzagalnennyaSerednya tochka naspravdi ye afinnim invariantom Takim chinom zaznacheni vishe formuli dlya dekartovih koordinat zastosovni v bud yakij ru Serednya tochka ne viznachena v proektivnij geometriyi Bud yaka tochka vseredini en mozhe buti proektivno vidobrazhena v bud yaku inshu tochku togo zh abo inshogo proektivnogo vidrizku Odna z takih tochok naspravdi serednya tochka viznachaye afinnu strukturu na proektivnij pryamij sho mistit cej vidrizok Garmonijna chetvirka takoyi seredini po vidnoshennyu do dvoh kincevih tochok bude tochkoyu na neskinchennosti Viznachennya serednoyi tochki vidrizka mozhe buti poshireno na geodezichnu liniyu na rimanovomu mnogovidi Zvernit uvagu sho dlya rimanovogo mnogovidu na vidminu vid afinnogo vipadku serednya tochka mizh dvoma tochkami mozhe buti viznachena ne odnoznachno Primitki 29 veresnya 2010 Arhiv originalu za 25 listopada 2016 Procitovano 8 grudnya 2016 Altshiller Court Nathan College Geometry Dover Publ 2007 Din Dzhiu Hitt L Richard Chzhan Sin Min 1 lipnya 2003 g PDF Linijna algebra i yiyi zastosuvannya 367 255 270 doi 10 1016 S0024 3795 02 00634 1 arhiv originalu PDF za 3 bereznya 2016 procitovano 8 grudnya 2016 Gomes Martin Francisko Taslakian Perouz 2008 Pro zbizhnist tinovoyi poslidovnosti vpisanih mnogookutnikiv arhiv originalu za 6 kvitnya 2017 procitovano 8 grudnya 2016 Garold Kokseter 1949 The Real Projective Plane storinka 119Div takozh en Posilannya