Існує єдине афінне перетворення яке переводить правильний трикутник у даний трикутник Образ вписаного кола правильного т

Існує єдине афінне перетворення, яке переводить правильний трикутник у даний трикутник. Образ вписаного кола правильного трикутника при такому перетворенні є еліпсом, який називають вписаним еліпсом Штейнера, а образ описаного кола також є еліпсом, який називають описаним еліпсом Штейнера.

Визначення вписаного еліпса Штейнера

У трикутник можна вписати нескінченно багато еліпсів.
Однак у трикутник можна вписати єдиний еліпс, який дотикається до сторін в їх серединах. Такий еліпс називається вписаним еліпсом Штейнера. Його перспектором буде центроїд трикутника.
Визначення перспектора коніки (включно з конікою-еліпсом) див. нижче.

Навколо трикутника можна описати нескінченно багато еліпсів.
Однак навколо трикутника можна описати єдиний еліпс, який дотикається до прямих, що проходять через вершини і паралельні сторонам. Такий еліпс називають описаним еліпсом Штейнера.
Фокуси описаного еліпса Штейнера називають точками Скутіна.
Чевіани, проведені через фокуси описаного еліпса Штейнера (точки Скутіна), рівні (теорема Скутина).

Якщо афінним перетворенням («перекосом») перевести довільний різнобічний трикутник у правильний трикутник, то його вписаний і описаний еліпси Штейнера перейдуть у вписане й описане кола.

У трикутник можна вписати нескінченно багато конік (еліпсів, парабол або гіпербол).
Якщо в трикутник вписати довільну конку і з'єднати точки дотику з протилежними вершинами, то отримані прямі перетнуться в одній точці, званій перспектором коніки.
Для будь-якої точки площини, що не лежить на стороні або на її продовженні існує вписана коніка з перспектором у цій точці.

Вписаний еліпс Штейнера має найбільшу площу серед усіх еліпсів, вписаних у даний трикутник, а описаний — найменшу серед усіх описаних.
Вписаний еліпс Штейнера - еліпс, вписаний у трикутник, який дотикається до середин його сторін.

(Теорема Мардена) фокуси вписаного еліпса Штейнера є екстремальними точками многочлена третього степеня з коренями у вершинах трикутника на комплексній площині.
Перспектори вписаних у трикутник парабол лежать на описаному еліпсі Штейнера. Фокус вписаної параболи лежить на описаному колі, а директриса проходить через ортоцентр. Параболу, вписану в трикутник, що має директрисою пряму Ейлера, називають параболою Кіперта. Її перспектор — четверта точка перетину описаного кола і описаного еліпса Штейнера, називана точкою Штейнера.

Weisstein, E. «Steiner Inellipse» — From MathWorld, A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html [ 7 серпня 2021 у Wayback Machine.].