Чевіана

Чевіа́на — будь-який відрізок, що сполучає вершину трикутника та одну з точок на протилежній їй стороні. Частковими випадками є медіана, симедіана, бісектриса та висота. Назва походить від імені італійського інженера Джованні Чеви, який 1678 року сформулював і довів відому теорему Чеви, що також названа його іменем.

Довжина

Трикутник з чевіаною

Довжина чевіани визначається з теореми Стюарта. Довжина відрізка ${\displaystyle d}$ з малюнку визначається як:

${\displaystyle \,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}$

Якщо чевіана є медіаною, маємо

${\displaystyle \,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})}$

або

${\displaystyle \,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}}$

оскільки

${\displaystyle \,a=2m.}$

Якщо чевіана є бісектрисою, то формула перетворюється на

${\displaystyle \,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right).}$

Якщо чевіана є висотою:

${\displaystyle \,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}.}$

Див. також

• Теорема Стюарта
• Теорема Чеви
• Бісектриса
• Медіана
• Висота

Література

• Ross Honsberger (1995) Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, pages 13 and 137, Mathematical Association of America. (англ.)
• Vladimir Karapetoff (1929) "Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle", American Mathematical Monthly 36:476–9. (англ.)