Теорема про метелика

Теорема про метелика — це класична теорема геометрії Евкліда, яку можна сформулювати так^{:p. 78}:

Теорема про метелика

Нехай M — середина хорди PQ кола, через яку проведено дві інші хорди AB і CD; хорди AD і BC перетинають хорду PQ у точках X і Y відповідно. Тоді M — середина відрізка XY.

Доведення

Доведення теореми про метелика

Формальне доведення теореми таке:
Нехай з точки X опущено перпендикуляри XX′ і XX″ на прямі AM і DM відповідно. Аналогічно, нехай з точки Y опущено перпендикуляри YY′ і YY″ на прямі BM і CM відповідно.

Оскільки має місце подібність трикутників

${\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY'}$ за трьома кутами,

то

${\displaystyle {MX \over MY}={XX' \over YY'}.}$

Аналогічно, будуть подібні трикутники

${\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY'',}$

тому виконується

${\displaystyle {MX \over MY}={XX'' \over YY''}.}$

Також, будуть подібні трикутники

${\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY'',}$

звідки

${\displaystyle {XX' \over YY''}={AX \over CY}.}$

І, насамкінець, з подібності

${\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY',}$

тому

${\displaystyle {XX'' \over YY'}={DX \over BY}.}$

З попередніх рівнянь і теореми про відрізки хорд, що перетинаються, видно, що

${\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''}=}$

${\displaystyle {}={AX\cdot DX \over CY\cdot BY}=}$

${\displaystyle {}={PX\cdot QX \over PY\cdot QY}=}$

${\displaystyle {}={(PM-XM)\cdot (MQ+XM) \over (PM+MY)\cdot (QM-MY)}=}$

${\displaystyle {}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},}$

оскільки PM = MQ.
Тому

${\displaystyle {(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.}$

Використавши основну властивість пропорції, маємо, що

${\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}.}$

Звівши подібні доданки

${\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}}$

з обох сторін отриманого рівняння, отримаємо

${\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}}.}$

Отже, MX = MY, оскільки довжини MX, MY та PM — це додатні дійсні числа.
Таким чином, M — середина XY .

Існують інші доведення, зокрема той, що використовує методи проективної геометрії.

Історія

Доведення теореми про метелика було представлено як розв'язок задачі ^[en] у «The Gentlemen's Mathematical Companion» (1803). Три рішення були опубліковані в 1804 році, і в 1805 році сер Вільям Гершель знову поставив задачу в листі до Уоллеса. Преподобний Томас Скарр знову поставив те саме запитання в 1814 році в Gentlemen's Diary or Mathematical Repository.

Примітки

1. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
2. Martin Celli, «A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings», 16, 2016, 337—338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf [ 24 квітня 2018 у Wayback Machine.]
3. [1] [ 6 липня 2017 у Wayback Machine.], problem 8.
4. William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem [ 25 серпня 2018 у Wayback Machine.], cut-the-knot, retrieved 2015-05-07.

Посилання

• Теорема про метелика [ 10 серпня 2020 у Wayback Machine.]
• Краща теорема про метелика [ 11 червня 2020 у Wayback Machine.]
• Доведення теореми про метелика [ 25 серпня 2002 у Wayback Machine.] на PlanetMath
• Теорема про метелика [ 23 грудня 2019 у Wayback Machine.] Джея Варендорфа
• Weisstein, Eric W. Теорема про метелика(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.