Теорема про метелика — це класична теорема геометрії Евкліда, яку можна сформулювати так :
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOW1MMlpoTDBKMWRIUmxjbVpzZVY5MGFHVnZjbVZ0TG5OMlp5OHlNakJ3ZUMxQ2RYUjBaWEptYkhsZmRHaGxiM0psYlM1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Нехай M — середина хорди PQ кола, через яку проведено дві інші хорди AB і CD; хорди AD і BC перетинають хорду PQ у точках X і Y відповідно. Тоді M — середина відрізка XY.
Доведення
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOW1MMll6TDBKMWRIUmxjbVpzZVRFdWMzWm5Mekl5TUhCNExVSjFkSFJsY21ac2VURXVjM1puTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
Формальне доведення теореми таке:
Нехай з точки X опущено перпендикуляри XX′ і XX″ на прямі AM і DM відповідно. Аналогічно, нехай з точки Y опущено перпендикуляри YY′ і YY″ на прямі BM і CM відповідно.
Оскільки має місце подібність трикутників
за трьома кутами,
то
Аналогічно, будуть подібні трикутники
тому виконується
Також, будуть подібні трикутники
звідки
І, насамкінець, з подібності
тому
З попередніх рівнянь і теореми про відрізки хорд, що перетинаються, видно, що
оскільки PM = MQ.
Тому
Використавши основну властивість пропорції, маємо, що
Звівши подібні доданки
з обох сторін отриманого рівняння, отримаємо
Отже, MX = MY, оскільки довжини MX, MY та PM — це додатні дійсні числа.
Таким чином, M — середина XY .
Існують інші доведення, зокрема той, що використовує методи проективної геометрії.
Історія
Доведення теореми про метелика було представлено як розв'язок задачі [en] у «The Gentlemen's Mathematical Companion» (1803). Три рішення були опубліковані в 1804 році, і в 1805 році сер Вільям Гершель знову поставив задачу в листі до Уоллеса. Преподобний Томас Скарр знову поставив те саме запитання в 1814 році в Gentlemen's Diary or Mathematical Repository.
Примітки
- Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
- Martin Celli, «A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings», 16, 2016, 337—338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf [ 24 квітня 2018 у Wayback Machine.]
- [1] [ 6 липня 2017 у Wayback Machine.], problem 8.
- William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem [ 25 серпня 2018 у Wayback Machine.], cut-the-knot, retrieved 2015-05-07.
Посилання
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Теорема про метелика |
- Теорема про метелика [ 10 серпня 2020 у Wayback Machine.]
- Краща теорема про метелика [ 11 червня 2020 у Wayback Machine.]
- Доведення теореми про метелика [ 25 серпня 2002 у Wayback Machine.] на PlanetMath
- Теорема про метелика [ 23 грудня 2019 у Wayback Machine.] Джея Варендорфа
- Weisstein, Eric W. Теорема про метелика(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema pro metelika ce klasichna teorema geometriyi Evklida yaku mozhna sformulyuvati tak p 78 Teorema pro metelika Nehaj M seredina hordi PQ kola cherez yaku provedeno dvi inshi hordi AB i CD hordi AD i BC peretinayut hordu PQ u tochkah X i Y vidpovidno Todi M seredina vidrizka XY DovedennyaDovedennya teoremi pro metelika Formalne dovedennya teoremi take Nehaj z tochki X opusheno perpendikulyari XX i XX na pryami AM i DM vidpovidno Analogichno nehaj z tochki Y opusheno perpendikulyari YY i YY na pryami BM i CM vidpovidno Oskilki maye misce podibnist trikutnikiv MXX MYY displaystyle triangle MXX sim triangle MYY za troma kutami to MXMY XX YY displaystyle MX over MY XX over YY Analogichno budut podibni trikutniki MXX MYY displaystyle triangle MXX sim triangle MYY tomu vikonuyetsya MXMY XX YY displaystyle MX over MY XX over YY Takozh budut podibni trikutniki AXX CYY displaystyle triangle AXX sim triangle CYY zvidki XX YY AXCY displaystyle XX over YY AX over CY I nasamkinec z podibnosti DXX BYY displaystyle triangle DXX sim triangle BYY tomu XX YY DXBY displaystyle XX over YY DX over BY Z poperednih rivnyan i teoremi pro vidrizki hord sho peretinayutsya vidno sho MXMY 2 XX YY XX YY displaystyle left MX over MY right 2 XX over YY XX over YY AX DXCY BY displaystyle AX cdot DX over CY cdot BY PX QXPY QY displaystyle PX cdot QX over PY cdot QY PM XM MQ XM PM MY QM MY displaystyle PM XM cdot MQ XM over PM MY cdot QM MY PM 2 MX 2 PM 2 MY 2 displaystyle PM 2 MX 2 over PM 2 MY 2 oskilki PM MQ Tomu MX 2 MY 2 PM 2 MX 2 PM 2 MY 2 displaystyle MX 2 over MY 2 PM 2 MX 2 over PM 2 MY 2 Vikoristavshi osnovnu vlastivist proporciyi mayemo sho MX 2 PM 2 MX 2 MY 2 MY 2 PM 2 MX 2 MY 2 displaystyle MX 2 cdot PM 2 MX 2 cdot MY 2 MY 2 cdot PM 2 MX 2 cdot MY 2 Zvivshi podibni dodanki MX 2 MY 2 displaystyle MX 2 cdot MY 2 z oboh storin otrimanogo rivnyannya otrimayemo MX 2 PM 2 MY 2 PM 2 displaystyle MX 2 cdot PM 2 MY 2 cdot PM 2 Otzhe MX MY oskilki dovzhini MX MY ta PM ce dodatni dijsni chisla Takim chinom M seredina XY Isnuyut inshi dovedennya zokrema toj sho vikoristovuye metodi proektivnoyi geometriyi IstoriyaDovedennya teoremi pro metelika bulo predstavleno yak rozv yazok zadachi en u The Gentlemen s Mathematical Companion 1803 Tri rishennya buli opublikovani v 1804 roci i v 1805 roci ser Vilyam Gershel znovu postaviv zadachu v listi do Uollesa Prepodobnij Tomas Skarr znovu postaviv te same zapitannya v 1814 roci v Gentlemen s Diary or Mathematical Repository PrimitkiJohnson Roger A Advanced Euclidean Geometry Dover Publ 2007 orig 1929 Martin Celli A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings 16 2016 337 338 http forumgeom fau edu FG2016volume16 FG201641 pdf 24 kvitnya 2018 u Wayback Machine 1 6 lipnya 2017 u Wayback Machine problem 8 William Wallace s 1803 Statement of the Butterfly Theorem 25 serpnya 2018 u Wayback Machine cut the knot retrieved 2015 05 07 PosilannyaVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Teorema pro metelikaTeorema pro metelika 10 serpnya 2020 u Wayback Machine Krasha teorema pro metelika 11 chervnya 2020 u Wayback Machine Dovedennya teoremi pro metelika 25 serpnya 2002 u Wayback Machine na PlanetMath Teorema pro metelika 23 grudnya 2019 u Wayback Machine Dzheya Varendorfa Weisstein Eric W Teorema pro metelika angl na sajti Wolfram MathWorld