Куб | |
---|---|
![]() Натисніть тут, щоб подивитися обертання моделі | |
Тип | Правильний багатогранник |
Властивості | Опуклий, рівносторонній,однорідний, вершинно-транзитивний, гране-транзитивний, зоноедр, багатогранник Ганнера |
Комбінаторика | |
Елементи | 6 граней {4}; 12 ребер; 8 вершин (3-го степеня). |
Грані | 6 квадратів![]() |
Характеристика Ейлера | |
Конфігурація вершини | 4.4.4 = 43 В кожній вершині сходяться 3 квадрати. |
(Конфігурація грані) | V 3.3.3.3 = V (3)4 |
Вершинна фігура | ![]() Правильний трикутник з довжиною сторони |
Класифікація | |
Позначення | • C (в [en] ) • P4 (в нотації Стюарта) • U06 (як однорідний багатогранник) • C18 (в нотації Г. Коксетера) • W3 (в нотації М. Веннінґера) |
Символ Шлефлі | |
Як квадратна призма: або Як прямокутний паралелепіпед: або | |
[en] | 3 | 2 4 |
Діаграма Коксетера-Динкіна | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Діаграма Шлегеля | ![]() |
Група симетрії | [en], B3, [4,3], (*432), порядок 48 (Повна симетрія правильного октаедра) |
Група обертань | O, [4,3]+, (432), порядок 24 |
Двоїстий багатогранник | Правильний октаедр ![]() |
Розгортка | ![]() |
Куб (від лат. cubus і далі від дав.-гр. κύβος, первісно — «кубічна кістка для гри») або правильний гекса́едр (від дав.-гр. ἑξα- — «шість» + ἕδρα — «грань, поверхня») — правильний шестигранник, поверхня якого складена з шести квадратів, є одним з п’яти опуклих правильних багатогранників (тіл Платона).
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTh5THpJMUwwTjFZbVZmUVc1cGJXRjBhVzl1TG1kcFpnPT0uZ2lm.gif)
Куб складений з 6 квадратних граней.
Має 12 ребер однакової довжини та 8 вершин (у кожній сходяться 3 ребра). Кожна вершина куба є вершиною трьох квадратів.
Куб також є квадратним паралелепіпедом, рівностороннім кубоїдом, прямим (правильногранним) ромбоедром, правильною квадратною призмою, прямокутним [en]. Куб є зоноедром та [en].
Куб є мірним багатогранником тривимірного простору. Тобто куб з довжиною ребра є одиницею виміру об'єму простору (так само як квадрат є одиницею вимірювання площі).
Куб має повну [en] Oh, групу Коксетера [4,3], порядку 48, з абстактною структурою групи S4 × Z2.
Підгрупа із 24 симетрій обертання (тих, що зберігають орієнтацію простору) ізоморфна групі S4 перестановок з 4 елементів.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelZsTHpBeFgxY2xRek1sUWtOeVptVnNMVk41YlcxbGRISnBaUzV6ZG1jdk1qVTFjSGd0TURGZlZ5VkRNeVZDUTNKbVpXd3RVM2x0YldWMGNtbGxMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
Куб має 13 осей обертової симетрії:
‒ 3 осі 4-го порядку — проходять через центри протилежних граней; (поворот на 90°, 180° і 270°);
‒ 4 осі 3-го порядку — проходять через протилежні вершини; (поворот на 120° і 240°);
‒ 6 осей 2-го порядку — проходять через середини протилежних паралельних ребер (поворот на 180°).
Має 9 площин дзеркальної симетрії: 3 з них проходять через середини паралельних реберта перпеддикулярні до них, а 6 — через діагоналі протилежних граней (через протилежні паралельні ребра куба).
Має центр симетрії (в ньому перетинаються всі осі та площини симетрії).
Сума плоских кутів при кожній з 8 вершин дорівнює 270°.
У різних дисциплінах використовуються значення терміну, що мають відношення до тих або інших властивостей геометричного прототипу. Зокрема, в алгебрі кубом числа називають значення цього числа, піднесене до 3-го степеня. В аналітиці (OLAP-аналіз) застосовуються так звані аналітичні багатовимірні куби, що дозволяють в наочному вигляді зіставити дані з різних таблиць.
Властивості
- Куб має найбільший об'єм серед прямокутних паралелепіпедів із такою ж площею поверхні. А також куб, має найбільший об'єм серед прямокутних паралелепіпедів із такими ж загальними лінійними розмірами (довжина+висота+ширина).
- Площини, що проходять перпендикулярно до осей симетрії куба, утворюють перерізи у вигляді правильних багатокутників.
Зокрема, переріз куба площиною, перпендикулярною до осей симетрії 4-го порядку, є квадратом. Перерізом куба площиною, перпендикулярною до осей симетрії 3-го порядку (діагоналей куба), може бути:
- правильний трикутник ; Найбільший за площею переріз у вигляді правильного трикутника (проходить через три вершини куба) ділить діагональ куба у співвідношенні 2:1;
- правильний шестикутник (якщо площина проходить також через центр куба; таких перерізів у куба є 4);
- напівправильний рівнокутний шестикутник (має два типи ребер, що чергуються між собою).
Також 12 перерізів куба площинами, перпендикулярними до осей симетрії 2-го порядку, є квадратами. Ці перерізи знаходяться на відстані від діагональних площин симетрії.
- Переріз куба у вигляді правильного трикутника
- Переріз куба у вигляді квадрата
- Переріз куба у вигляді правильного шестикутника
- Переріз куба у вигляді квадрата
- Куб утворює стільник, тобто кубами можна замостити тривимірний простір без проміжків та накладень. Куб є єдиним правильним багатогранником, що має таку властивість.
- Куб має 11 різних розгорток (так само як і правильний октаедр).
Тобто, існує одинадцять способів зробити із куба пласку розгортку, розрізаючи його по семи ребрах.
- Для того, щоб зафарбувати куб так, що сусідні грані не матимуть однакового кольору, необхідно принаймні три кольори.
Зв'язок з правильним октаедром
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlJtTDBSMVlXeGZZMjl0Y0c5MWJtUmZPRjl0WVhndWNHNW5Mekl5TUhCNExVUjFZV3hmWTI5dGNHOTFibVJmT0Y5dFlYZ3VjRzVuLnBuZw==.png)
Куб та правильний октаедр є взаємно двоїстими багатогранниками. Тобто центри граней куба відповідають вершинам правильного октаедра, і навпаки, центри граней правильного октаедра відповідають вершинам куба.
Якщо куб має ребро довжиною 1, то його топологічно двоїстий октаедр (вершини знаходяться в центрах граней початкового куба) має ребро довжиною , а канонічно двоїстий октаедр (напіввписані сфери канонічно-двоїстої пари багатогранників збігаються) має ребро довжиною
- У куб можна вписати правильний октаедр таким чином, що всі шість вершин октаедра будуть суміщені з центрами шести граней куба.
- Куб можна вписати в правильний октаедр таким чином, що всі вісім вершин куба будуть розташовані в центрах восьми граней октаедра.
Зв'язок з іншими правильними багатогранниками
- У куб можна вписати правильний тетраедр двома способами таким чином, що чотири вершини тетраедра будуть суміщені з чотирма вершинами куба. Всі шість ребер тетраедра лежатимуть на всіх шести гранях куба і збігатимуться з його граневими діагоналями.
- Куб можна вписати в вершини правильного додекаедра. При цьому ребра куба будуть збігатися з граневими діагоналями додекаедра.
В вершини додекаедра можливо вписати п'ять різних кубів. При цьому буде утворено однорідне з'єднання багатогранників — [en].
- У куб можна вписати правильний ікосаедр, при цьому, шість взаємно паралельних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба, решта 24 ребра всередині куба, всі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба.
Формули
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemN4THpBeFgxY2xRek1sUWtOeVptVnNMVkpoZFcxM2FXNXJaV3d1Y0c1bkx6TXdOSEI0TFRBeFgxY2xRek1sUWtOeVptVnNMVkpoZFcxM2FXNXJaV3d1Y0c1bi5wbmc=.png)
Для куба, довжина ребер якого дорівнює :
Діагональ грані | Радіус вписаної сфери (дотична до всіх граней) | ||
Просторова діагональ | Радіус напіввписаної сфери (дотична до всіх ребер) | ||
Радіус описаної сфери (проходить через всі вершини) | |||
Площа поверхні | |||
Об'єм | Двогранний кут між гранями | ||
Тілесний кут при вершині | |||
Сферичність | Тілесний кут, під яким грань видно з центру куба |
Куб має найбільший об'єм серед прямокутних паралелепіпедів із такою ж площею поверхні. А також куб, має найбільший об'єм серед прямокутних паралелепіпедів, вписаних в задану сферу та серед прямокутних паралелепіпедів із такими ж загальними лінійними розмірами (довжина+висота+ширина).
Центр масс куба знаходиться в його геометричному центрі.
Момент інерції суцільного куба з масою m та довжиною ребра a (вісь обертання проходить через центри протилежних граней):
Точка в просторі
Нехай описана сфера куба має радіус R. Нехай дано довільну точку в просторі і відстані від неї до вершин куба дорівнюють di . Тоді виконується рівність:
Якщо точка знаходиться на описаній сфері куба, то виконується рівність:
Декартові координати вершин
Декартові координати восьми вершин куба з довжиною ребра , центр якого знаходиться в початку координат, мають значення:
Вісім вершин куба лежать по чотири у двох паралельних площинах (паралельних до площини Oxy), утворюючи в них два квадрати.
При цьому осі координат Ox, Oy та Oz збігаються з осями обертової симетрії 4-го порядку, а координатні площини Oxz, Oyz та Oxy є площинами дзеркальної симетрії куба. Центр багатогранника знаходиться в початку координат.
Для всіх внутрішніх точок (x0, x1, x2) цього куба виконується нерівність :
Граф куба
Граф куба | |
---|---|
![]() 4-fold symmetry | |
(Вершин) | 8 |
(Ребер) | 12 |
(Радіус) | 3 |
(Діаметр) | 3 |
(Обхват) | 4 |
(Автоморфізм) | 48 |
Хроматичне число | 2 |
Властивості | Регулярний, планарний, багатогранний, простий, зв'язний, симетричний Гамільтонів, граф Келі, циклічний , кубічний, вершинно-транзитивний, реберно-транзитивний, дистанційно-транзитивний, двочастковий, дистанційно-регулярний, 3-вершинно-зв'язний граф |
В теорії графів граф куба — це граф з 8 вершинами та 12 ребрами, що має кістяк куба.
Всі 8 вершин графа мають степінь 3, а отже, граф є кубічним.
Цей граф є окремим випадком графа гіперкуба. Також він є одним з 5 платонових графів, кістяк якого є багатогранником Платона.
Спектр графа :
Узагальненням графа куба є тривимірний k-ARY граф Геммінга, який для k = 2 є кубічним графом. Графи такого типу зустрічаються в теорії паралельних обчислень в комп'ютерах.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWpMMk16TDBnemFHRnRhV3gwYjI0dWNHNW5MekUzT1hCNExVZ3phR0Z0YVd4MGIyNHVjRzVuLnBuZw==.png)
Граф куба має 12 різних гамільтонових циклів. Гамільтонів цикл — замкнений шлях, що проходить через кожну вершину графа рівно один раз.
Граф куба не має ейлерових циклів.
Реберним графом для графа куба є (граф кубооктаедра).
Ортогональні проєкції
Куб має чотири спеціальні ортогональні проєкції, із центом, на одній з вершин, ребрі, грані і нормалі відносно її фігури вершин. Перша і друга відповідають A2 і B2площинам Коксетера.
Центровані по | Грані | Вершині |
---|---|---|
Площини Коксетера | B2![]() | A2![]() |
Проєктивна симетрія | [4] | [6] |
Фронтальний вид та вид під нахилом | ![]() | ![]() |
Сферичний багатогранник
Куб може бути представлений як сферичний багатогранник і спроектований на площину за допомогою стереографічної проекції. Ця проекція є конформною, тобто зберігає кути, але не площі чи довжини. Прямі лінії на сфері проєктуються на площину як дуги кола.
![]() | ![]() |
Ортографічна проєкція | Стереографічна проєкція |
---|
Стільники
Куб є єдиним правильним багатогранником, яким можна замостити тривимірний простір без проміжків та накладень.
Також тривимірний евклідів простір можна заповнити без проміжків за допомогою кубів в комбінації з багатогранниками Архімеда (і призмами) з однаковою довжиною ребра. Такі тривимірні паркети, що заповнюють простір, називаються стільниками. Наступні стільники містять куби:
- Стільник з кубів
-
-
- Стільник з ромбокубооктаедрів, зрізаних кубів, та кубів
-
Узагальнення на інші виміри
Куб в довільній розмірності простору n також називають n-вимірним кубом або гіперкубом, або просто n-кубом. Гіперкуби в кожній розмірності простору тако́ж є правильними політопами, а та́кож мірними політопами (по аналогії як у квадратах вимірюють площу, а в кубах — об'єм).
n-вимірний куб має гіперграней розмірності k , що його обмежують .
Наприклад:
- Нульвимірний куб (точка) має 1 вершину;
- Одновимірний куб (відрізок) має 2 вершини;
- Двовимірний куб (квадрат) має 4 вершини і 4 ребра;
- Чотиривимірний гіперкуб (тессеракт) має 16 вершин, 32 ребра, 24 грані (квадрати) і 8 комірок (куби);
- n-вимірний гіперкуб має:
Гіперплоща n-вимірного гіперкуба з довжиною ребра 2 дорівнює ;
Гіпероб'єм n-вимірного гіперкуба з довжиною ребра 2 дорівнює .
Моделлю для n-вимірного куба є одиничний куб у векторному просторі
. А саме, замкнений одиничний куб має вигляд
,
-кратний декартів добуток одиничного інтервалу
- Опукла оболонка
вершин з координатами
та
- (Перетин множин)
півпросторів
та
Одиничний куб — це паралельний координатним осям куб з довжиною ребра і вершиною у початку координат. Узагальненням цього поняття є кубоїди в
, які відіграють важливу роль у багатовимірному аналізі.
Пов'язані та споріднені багатогранники та мозаїки
Куб можна розглядати як окремі випадки інших типів багатогранників. В цьому випадку куб буде мати не повну [en] Oh , а симертії, які є підгрупами повної групи. Тобто куб, як частинний випадок призм, кубоїдів, трапецоедрів — є менш симетричним, ніж куб як правильний багатогранник. Це також можна побачити в розфарбовці його граней.
Куб має три однорідні розфарбування, названі за унікальними кольорами квадратних граней навколо кожної вершини: 111, 112, 123.
Куб має чотири класи симетрії, які можна представити за допомогою вершинно-транзитивного розфарбовування граней. Найвища октаедрична симетрія Oh має всі грані однакового кольору. [en] D4h походить від куба,що є тілом,всі шість граней якого забарвлені в різні кольори. Призматична підмножина D2d має таке ж забарвлення, як і попередня, а D2h має почергове забарвлення граней — попарно протилежні грані забарвлені в три кольори. Кожна форма симетрії має свій [en].
Назва | Правильний шестигранник | Прямокутна трапецієва призма | Прямокутний паралелепіпед | Прямокутна ромбічна призиа | Трикутний трапецоедр | |
---|---|---|---|---|---|---|
Діаграми Коксетера — Динкіна | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Символ Шлефлі | {4,3} | {4}×{ } rr{4,2} | s2{2,4} | { }3 tr{2,2} | { }×2{ } | |
[en] | 3 | 4 2 | 4 2 | 2 | 2 2 2 | | |||
Симетрія | Oh [4,3] (*432) | D4h [4,2] (*422) | D2d [4,2+] (2*2) | D2h [2,2] (*222) | D3d [6,2+] (2*3) | |
Порядок симетрії | 24 | 16 | 8 | 8 | 12 | |
Зображення (з однорідним розфарбуванням) | ![]() (111) | ![]() (112) | ![]() (112) | ![]() (123) | ![]() (112) | ![]() (111), (112) |
Куб можна розрізати на шість однакових квадратних пірамід. Якщо ці квадратні піраміди приєднати до граней іншого куба, то отримаємо багатогранник, візуально схожий на
ромбододекаедр (з парами компланарних трикутників, об'єднаних у ромбічні грані).
Однак багатогранник з таким способом побудови схожий лише візуально на ромбододекаедр, але топологічно він еквівалентний до [en] (одного з (напівправильних багатогранників Каталана)), оскільки має додаткові вершини і ребра, що належать цим пірамідам (дві бічні грані пірамід знаходяться в одній площині і візуально створюють враження однієї ромбічної грані).
Геометрична операція зрізання, застосована до куба, утворює чотири однорідних багатогранники на певних стадіях процесу зрізання.
Зрізаний куб є опуклим однорідним багатогранником U09, одним з напівправильних багатогранників Архімеда що має діаграму Коксетера — Динкіна та символ Шлефлі t{4,3}. Утворюється при зрізанні вершин куба до моменту, коли всі грані стають правильними багатокутниками. Має 14 граней (8 правильних трикутників та 6 правильних восьмикутників), 36 ребер та 24 вершини.
Кубооктаедр утворюється при [en] (ректифікації) куба, коли зрізання вершин проводиться до точок, що лежать на серединах ребер багатогранника, тобто ребра початкового багатогранника фактично зникають.Він є опуклим однорідним багатогранником U07, одним з напівправильних багатогранників Архімеда. Має 14 граней (8 правильних трикутників та 6 квадратів), 24 ребер та 12 вершин.
Подальше зрізання ([en] або бітрункація) призводить до появи зрізаного октаедра, Процес зрізання проводиться до моменту, коли грані від зрізаних вершин початкового куба (трикутні грані) стануть правильними шестикутниками. Зрізаний октаедр є опуклим однорідним багатогранником U08, одним з напівправильних багатогранників Архімеда. Має 14 граней (8 правильних шестикутників та 6 квадратів), 36 ребер та 24 вершини.
Процес зрізання куба завершується (при повному глибокому зрізанні або біректифікації) утворенням двоїстого до нього багатогранника — правильного октаедра, коли грані початкового багатогранника зменшуються до точок, тобто фактично зникають.
Назва | Куб | Зрізаний куб | Кубооктаедр | Зрізаний октаедр | Правильний октаедр |
---|---|---|---|---|---|
Діаграма Коксетера — Динкіна | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() x4o3o | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() x4x3o | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() o4x3o | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() o4x3x | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() x4x3o |
Символ Шлефлі | {4,3} | t{4,3} | r{4,3} | t{3,4} | {3,4} |
Зображення | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Однорідні октаедричні многогранники | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симетрія: [4,3], [en] | [4,3]+ (432) | [1+,4,3] = [3,3] [en] | [3+,4] | |||||||
{4,3} | t{4,3} | r{4,3} r{31,1} | t{3,4} t{31,1} | {3,4} {31,1} | rr{4,3} s2{3,4} | tr{4,3} | sr{4,3} | h{4,3} {3,3} | h2{4,3} t{3,3} | s{31,1} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() |
Двоїсті многогранники | ||||||||||
V43 | V3.82 | V(3.4)2 | V34 | V3.43 | V33 | V3.62 | V35 | |||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Деякі багатогранники Джонсона можна утворити шляхом нарощення граней куба квадратними пірамідами (J1):
- (J8 ) — нарощено одну грань;
- (J15) — нарощено дві протилежні грані.
При застосуванні щодо куба геометричної операції [en](снубифікація), отримаємо напівправильний багатогранник Архімеда — кирпатий куб.
При застосуванні щодо куба геометричної операції [en](зрізання ребер), отримаємо [en] — [en].
![]() | ![]() | ![]() |
Кирпатий куб | Куб з малою фаскою | [en] |
---|
Два однорідних з'єднання багатогранників складаються з кубів:
[en] | [en] |
---|---|
![]() | ![]() |
Симетрія | Сферична | Компактна гіперболічна | Паракомп. | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
Кирпаті фігури | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Конфігурація | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | ||||
Фігури | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
Конфігурація | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
Додатково
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemd4TDFCc1lYUnZibWxqWDFOdmJHbGtjMTlUZEdWeVpXOWZNbDh0WDBOMVltVXVaMmxtTHpJNU9IQjRMVkJzWVhSdmJtbGpYMU52Ykdsa2MxOVRkR1Z5Wlc5Zk1sOHRYME4xWW1VdVoybG0uZ2lm.gif)
[en] куба | ||||
---|---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Просторовими [en] куба є 4 просторових шестикутників. |
Див. також
- Шестигранники
- Блазенський ковпак
- (Кубічне число) — вид фігурних чисел.
- Подвоєння куба — одна з класичних задач давнини.
- Кубик Рубика — головоломка у вигляді куба.
- Кубічна піраміда
Примітки
- N. W. Johnson, 2018.
- Етимологічний словник української мови : в 7 т. / редкол.: О. С. Мельничук (гол. ред.) та ін. — К. : Наукова думка, 1989. — Т. 3 : Кора — М / Ін-т мовознавства ім. О. О. Потебні АН УРСР ; укл.: Р. В. Болдирєв та ін. — 552 с. — .
- Gérard Villemin. Section du cube. Процитовано 3 octobre 2019..
- Edkins, Jo (2007). . Solid shapes and their nets (англ.) . Архів оригіналу за 26 грудня 2019.
- Weisstein, Eric W. Cube(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Richard Goldstone, Robert Suzzi Valli, 2016.
- All 11 Folding Nets of the Cube - Wolfram Demonstrations Project. demonstrations.wolfram.com. Процитовано 30 травня 2024.
- Cube inertia tensor - Wolfram Alpha. www.wolframalpha.com (англ.) .
- Poo-Sung Park. Regular polytope distances. — Forum Geometricorum, 2016. — Т. 16. — С. 227-232. — ISSN 1534-1178. з джерела 10 жовтня 2016.
- Meskhishvili, Mamuka (2020). Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids. Communications in Mathematics and Applications. 11: 335—355. arXiv:2010.12340. doi:10.26713/cma.v11i3.1420.
- Read, R. C.; Wilson, R. J. (1998). An Atlas of Graphs (англ.) . Oxford University Press.
- Harary, Frank; Hayes, John P.; Wu, Horng-Jyh (1988). A survey of the theory of hypercube graphs (PDF). Computers & Mathematics with Applications. 15 (4): 277—289. doi:10.1016/0898-1221(88)90213-1. MR 0949280.
- Eric Weisstein. Cubical Graph. mathworld.wolfram.com (англ.) .
- Cubical Graph. wolframalpha.com (англ.) .
- Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert, 1999.
Література
- N. W. Johnson. Розділ 11: Finite symmetry groups — Дивись 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c. // Geometries and Transformations. — Cambridge University Press / United Kingdom, 2018. — P. 234. — .
Посилання
- Куб // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 114. — .
- Weisstein, Eric W. Cube(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Cube(англ.) на сайті Polytope Wiki.
- Cube (англ.) на сайті dmccooey.com.
- Klitzing, Richard. "cube".
- Quickfur. "The Cube"
- Wedd, N. "The Cube"
- Hi.gher.Space Wiki Contributors. "Cube"
- Paper Models of Polyhedra [ 26 лютого 2013 у Wayback Machine.]
- Paper Cube
- The Uniform Polyhedra [ 11 лютого 2008 у Wayback Machine.]
- Virtual Reality Polyhedra [ 23 лютого 2008 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Kub znachennya KubNatisnit tut shob podivitisya obertannya modeliTip Pravilnij bagatogrannikVlastivosti Opuklij rivnostoronnij odnoridnij vershinno tranzitivnij grane tranzitivnij zonoedr bagatogrannik GanneraKombinatorikaElementi 6 granej 4 12 reber 8 vershin 3 go stepenya Grani 6 kvadrativHarakteristika Ejlera x G P B 2 displaystyle chi Gamma hbox P hbox B 2 Konfiguraciya vershini 4 4 4 43 V kozhnij vershini shodyatsya 3 kvadrati Konfiguraciya grani V 3 3 3 3 V 3 4Vershinna figura Pravilnij trikutnik z dovzhinoyu storoni 2 displaystyle sqrt 2 KlasifikaciyaPoznachennya C v en P4 v notaciyi Styuarta U06 yak odnoridnij bagatogrannik C18 v notaciyi G Koksetera W3 v notaciyi M Venningera Simvol Shlefli 4 3 displaystyle 4 3 Yak kvadratna prizma t 2 4 displaystyle t 2 4 abo 4 displaystyle 4 times Yak pryamokutnij paralelepiped tr 2 2 displaystyle tr 2 2 abo 3 displaystyle times times 3 st 234 en 3 2 4Diagrama Koksetera Dinkina abo x4o3o Diagrama ShlegelyaGrupa simetriyi en B3 4 3 432 poryadok 48 Povna simetriya pravilnogo oktaedra Grupa obertan O 4 3 432 poryadok 24Dvoyistij bagatogrannik Pravilnij oktaedrRozgortka Kub vid lat cubus i dali vid dav gr kybos pervisno kubichna kistka dlya gri abo pravilnij geksa edr vid dav gr ἑ3a shist ἕdra gran poverhnya pravilnij shestigrannik poverhnya yakogo skladena z shesti kvadrativ ye odnim z p yati opuklih pravilnih bagatogrannikiv til Platona Kub skladenij z 6 kvadratnih granej Maye 12 reber odnakovoyi dovzhini ta 8 vershin u kozhnij shodyatsya 3 rebra Kozhna vershina kuba ye vershinoyu troh kvadrativ Kub takozh ye kvadratnim paralelepipedom rivnostoronnim kuboyidom pryamim pravilnogrannim romboedrom pravilnoyu kvadratnoyu prizmoyu pryamokutnim en Kub ye zonoedrom ta en Kub ye mirnim bagatogrannikom trivimirnogo prostoru Tobto kub z dovzhinoyu rebra 1 displaystyle 1 ye odiniceyu vimiru ob yemu prostoru tak samo yak kvadrat ye odiniceyu vimiryuvannya ploshi Kub maye povnu en Oh grupu Koksetera 4 3 poryadku 48 z abstaktnoyu strukturoyu grupi S4 Z2 Pidgrupa iz 24 simetrij obertannya tih sho zberigayut oriyentaciyu prostoru izomorfna grupi S4 perestanovok z 4 elementiv Kub maye 13 osej obertovoyi simetriyi 3 osi 4 go poryadku prohodyat cherez centri protilezhnih granej povorot na 90 180 i 270 4 osi 3 go poryadku prohodyat cherez protilezhni vershini povorot na 120 i 240 6 osej 2 go poryadku prohodyat cherez seredini protilezhnih paralelnih reber povorot na 180 Maye 9 ploshin dzerkalnoyi simetriyi 3 z nih prohodyat cherez seredini paralelnih reberta perpeddikulyarni do nih a 6 cherez diagonali protilezhnih granej cherez protilezhni paralelni rebra kuba Maye centr simetriyi v nomu peretinayutsya vsi osi ta ploshini simetriyi Suma ploskih kutiv pri kozhnij z 8 vershin dorivnyuye 270 U riznih disciplinah vikoristovuyutsya znachennya terminu sho mayut vidnoshennya do tih abo inshih vlastivostej geometrichnogo prototipu Zokrema v algebri kubom chisla nazivayut znachennya cogo chisla pidnesene do 3 go stepenya V analitici OLAP analiz zastosovuyutsya tak zvani analitichni bagatovimirni kubi sho dozvolyayut v naochnomu viglyadi zistaviti dani z riznih tablic VlastivostiKub maye najbilshij ob yem sered pryamokutnih paralelepipediv iz takoyu zh plosheyu poverhni A takozh kub maye najbilshij ob yem sered pryamokutnih paralelepipediv iz takimi zh zagalnimi linijnimi rozmirami dovzhina visota shirina Ploshini sho prohodyat perpendikulyarno do osej simetriyi kuba utvoryuyut pererizi u viglyadi pravilnih bagatokutnikiv Zokrema pereriz kuba ploshinoyu perpendikulyarnoyu do osej simetriyi 4 go poryadku ye kvadratom Pererizom kuba ploshinoyu perpendikulyarnoyu do osej simetriyi 3 go poryadku diagonalej kuba mozhe buti pravilnij trikutnik Najbilshij za plosheyu pereriz u viglyadi pravilnogo trikutnika prohodit cherez tri vershini kuba dilit diagonal kuba u spivvidnoshenni 2 1 pravilnij shestikutnik yaksho ploshina prohodit takozh cherez centr kuba takih pereriziv u kuba ye 4 napivpravilnij rivnokutnij shestikutnik maye dva tipi reber sho cherguyutsya mizh soboyu Takozh 12 pereriziv kuba ploshinami perpendikulyarnimi do osej simetriyi 2 go poryadku ye kvadratami Ci pererizi znahodyatsya na vidstani 2 12 a displaystyle frac sqrt 2 1 2 cdot a vid diagonalnih ploshin simetriyi Pereriz kuba u viglyadi pravilnogo trikutnika Pereriz kuba u viglyadi kvadrata Pereriz kuba u viglyadi pravilnogo shestikutnika Pereriz kuba u viglyadi kvadrataKub utvoryuye stilnik tobto kubami mozhna zamostiti trivimirnij prostir bez promizhkiv ta nakladen Kub ye yedinim pravilnim bagatogrannikom sho maye taku vlastivist Animaciya skladannya rozgortki kuba11 rozgortok kuba Kub maye 11 riznih rozgortok tak samo yak i pravilnij oktaedr Tobto isnuye odinadcyat sposobiv zrobiti iz kuba plasku rozgortku rozrizayuchi jogo po semi rebrah Dlya togo shob zafarbuvati kub tak sho susidni grani ne matimut odnakovogo koloru neobhidno prinajmni tri kolori Zv yazok z pravilnim oktaedrom Kub ta pravilnij oktaedr ye vzayemno dvoyistimi bagatogrannikami Tobto centri granej kuba vidpovidayut vershinam pravilnogo oktaedra i navpaki centri granej pravilnogo oktaedra vidpovidayut vershinam kuba Yaksho kub maye rebro dovzhinoyu 1 to jogo topologichno dvoyistij oktaedr vershini znahodyatsya v centrah granej pochatkovogo kuba maye rebro dovzhinoyu 22 0 7071067811 displaystyle frac sqrt 2 2 approx 0 7071067811 a kanonichno dvoyistij oktaedr napivvpisani sferi kanonichno dvoyistoyi pari bagatogrannikiv zbigayutsya maye rebro dovzhinoyu 2 1 414213562 displaystyle sqrt 2 approx 1 414213562 Oktaedr vpisanij v kubKub vpisanij v oktaedr U kub mozhna vpisati pravilnij oktaedr takim chinom sho vsi shist vershin oktaedra budut sumisheni z centrami shesti granej kuba Kub mozhna vpisati v pravilnij oktaedr takim chinom sho vsi visim vershin kuba budut roztashovani v centrah vosmi granej oktaedra Zv yazok z inshimi pravilnimi bagatogrannikami Dva tetraedra abo zirchastij oktaedr vpisani v kubKub vpisanij v pravilnij dodekaedrPravilnij ikosaedr vpisanij v kub U kub mozhna vpisati pravilnij tetraedr dvoma sposobami takim chinom sho chotiri vershini tetraedra budut sumisheni z chotirma vershinami kuba Vsi shist reber tetraedra lezhatimut na vsih shesti granyah kuba i zbigatimutsya z jogo granevimi diagonalyami Kub mozhna vpisati v vershini pravilnogo dodekaedra Pri comu rebra kuba budut zbigatisya z granevimi diagonalyami dodekaedra V vershini dodekaedra mozhlivo vpisati p yat riznih kubiv Pri comu bude utvoreno odnoridne z yednannya bagatogrannikiv en U kub mozhna vpisati pravilnij ikosaedr pri comu shist vzayemno paralelnih reber ikosaedra budut roztashovani vidpovidno na shesti granyah kuba reshta 24 rebra vseredini kuba vsi dvanadcyat vershin ikosaedra lezhatimut na shesti granyah kuba FormuliTilesnij kutl W displaystyle Omega v centri M displaystyle mathrm M 0 tochka odinichnoyi sferi r 1 displaystyle r 1 Dlya kuba dovzhina reber yakogo dorivnyuye a displaystyle a Diagonal grani d1 2 a displaystyle d 1 sqrt 2 cdot a Radius vpisanoyi sferi dotichna do vsih granej r a2 displaystyle r frac a 2 Prostorova diagonal d2 3 a displaystyle d 2 sqrt 3 cdot a Radius napivvpisanoyi sferi dotichna do vsih reber r 22 a displaystyle rho frac sqrt 2 2 cdot a Radius opisanoyi sferi prohodit cherez vsi vershini R 32 a displaystyle R frac sqrt 3 2 cdot a Plosha poverhni S 6a2 displaystyle S 6a 2 Ob yem V a3 displaystyle V a 3 Dvogrannij kut mizh granyami p2 displaystyle frac pi 2 radian Tilesnij kut pri vershini p2 displaystyle frac pi 2 steradian Sferichnist PS p63 0 805995 displaystyle Psi sqrt 3 frac pi 6 approx 0 805995 Tilesnij kut pid yakim gran vidno z centru kuba 2p3 displaystyle frac 2 pi 3 steradian Kub maye najbilshij ob yem sered pryamokutnih paralelepipediv iz takoyu zh plosheyu poverhni A takozh kub maye najbilshij ob yem sered pryamokutnih paralelepipediv vpisanih v zadanu sferu ta sered pryamokutnih paralelepipediv iz takimi zh zagalnimi linijnimi rozmirami dovzhina visota shirina Centr mass kuba znahoditsya v jogo geometrichnomu centri Moment inerciyi sucilnogo kuba z masoyu m ta dovzhinoyu rebra a vis obertannya prohodit cherez centri protilezhnih granej I 16 m a2 0 1666666667 m a2 displaystyle I frac 1 6 cdot m cdot a 2 approx 0 1666666667 cdot m cdot a 2 Tochka v prostori Nehaj opisana sfera kuba maye radius R Nehaj dano dovilnu tochku v prostori i vidstani vid neyi do vershin kuba dorivnyuyut di Todi vikonuyetsya rivnist stor 353 teor 7 2 i 18di48 16R49 i 18di28 2R23 2 displaystyle frac sum i 1 8 d i 4 8 frac 16R 4 9 left frac sum i 1 8 d i 2 8 frac 2R 2 3 right 2 Yaksho tochka znahoditsya na opisanij sferi kuba to vikonuyetsya rivnist stor 354 teor 7 6 i 18di2 6 i 18di4 displaystyle sum i 1 8 d i 2 6 cdot sum i 1 8 d i 4 Dekartovi koordinati vershinDekartovi koordinati vosmi vershin kuba z dovzhinoyu rebra a 1 displaystyle a 1 centr yakogo znahoditsya v pochatku koordinat mayut znachennya 12 12 12 displaystyle left pm frac 1 2 pm frac 1 2 pm frac 1 2 right Visim vershin kuba lezhat po chotiri u dvoh paralelnih ploshinah paralelnih do ploshini Oxy utvoryuyuchi v nih dva kvadrati Pri comu osi koordinat Ox Oy ta Oz zbigayutsya z osyami obertovoyi simetriyi 4 go poryadku a koordinatni ploshini Oxz Oyz ta Oxy ye ploshinami dzerkalnoyi simetriyi kuba Centr bagatogrannika znahoditsya v pochatku koordinat Dlya vsih vnutrishnih tochok x0 x1 x2 cogo kuba vikonuyetsya nerivnist 12 lt xi lt 12 displaystyle frac 1 2 lt x i lt frac 1 2 Graf kubaGraf kuba4 fold symmetryVershin8Reber12Radius3Diametr3Obhvat4Avtomorfizm48Hromatichne chislo2VlastivostiRegulyarnij planarnij bagatogrannij prostij zv yaznij simetrichnijGamiltoniv graf Keli ciklichnij kubichnij vershinno tranzitivnij reberno tranzitivnij distancijno tranzitivnij dvochastkovij distancijno regulyarnij 3 vershinno zv yaznij graf V teoriyi grafiv graf kuba ce graf z 8 vershinami ta 12 rebrami sho maye kistyak kuba Vsi 8 vershin grafa mayut stepin 3 a otzhe graf ye kubichnim Cej graf ye okremim vipadkom grafa giperkuba Takozh vin ye odnim z 5 platonovih grafiv kistyak yakogo ye bagatogrannikom Platona Spektr grafa Spec G 3 1 1 31331 displaystyle Spec G 3 1 1 3 1 3 3 1 Uzagalnennyam grafa kuba ye trivimirnij k ARY graf Gemminga yakij dlya k 2 ye kubichnim grafom Grafi takogo tipu zustrichayutsya v teoriyi paralelnih obchislen v komp yuterah Priklad gamiltonovogo ciklu na rebrah kuba Graf kuba maye 12 riznih gamiltonovih cikliv Gamiltoniv cikl zamknenij shlyah sho prohodit cherez kozhnu vershinu grafa rivno odin raz Graf kuba ne maye ejlerovih cikliv Rebernim grafom dlya grafa kuba ye graf kubooktaedra Ortogonalni proyekciyiKub maye chotiri specialni ortogonalni proyekciyi iz centom na odnij z vershin rebri grani i normali vidnosno yiyi figuri vershin Persha i druga vidpovidayut A2 i B2ploshinam Koksetera Ortogonalni proyekciyi Centrovani po Grani VershiniPloshini Koksetera B2 A2Proyektivna simetriya 4 6 Frontalnij vid ta vid pid nahilomSferichnij bagatogrannikKub mozhe buti predstavlenij yak sferichnij bagatogrannik i sproektovanij na ploshinu za dopomogoyu stereografichnoyi proekciyi Cya proekciya ye konformnoyu tobto zberigaye kuti ale ne ploshi chi dovzhini Pryami liniyi na sferi proyektuyutsya na ploshinu yak dugi kola Ortografichna proyekciya Stereografichna proyekciyaStilnikiKub ye yedinim pravilnim bagatogrannikom yakim mozhna zamostiti trivimirnij prostir bez promizhkiv ta nakladen Takozh trivimirnij evklidiv prostir mozhna zapovniti bez promizhkiv za dopomogoyu kubiv v kombinaciyi z bagatogrannikami Arhimeda i prizmami z odnakovoyu dovzhinoyu rebra Taki trivimirni parketi sho zapovnyuyut prostir nazivayutsya stilnikami Nastupni stilniki mistyat kubi Stilnik z kubiv Stilnik z rombokubooktaedriv kubooktaedriv ta kubiv Stilnik z rombokubooktaedriv kubiv ta tetraedriv Stilnik z rombokubooktaedriv zrizanih kubiv ta kubiv Stilnik zi zrizanih kubooktaedriv zrizanih oktaedriv ta kubivUzagalnennya na inshi vimiriDokladnishe div Giperkub Kub v dovilnij rozmirnosti prostoru n takozh nazivayut n vimirnim kubom abo giperkubom abo prosto n kubom Giperkubi v kozhnij rozmirnosti prostoru tako zh ye pravilnimi politopami a ta kozh mirnimi politopami po analogiyi yak u kvadratah vimiryuyut ploshu a v kubah ob yem n vimirnij kub maye 2n k nk displaystyle 2 n k cdot tbinom n k gipergranej rozmirnosti k sho jogo obmezhuyut stor 262 tabl 15 2 1 Napriklad Nulvimirnij kub tochka maye 1 vershinu Odnovimirnij kub vidrizok maye 2 vershini Dvovimirnij kub kvadrat maye 4 vershini i 4 rebra Chotirivimirnij giperkub tesserakt maye 16 vershin 32 rebra 24 grani kvadrati i 8 komirok kubi n vimirnij giperkub maye 2n displaystyle 2 n vershin gipergran rozmirnistyu k 0 displaystyle k 0 tochka n 2n 1 displaystyle n cdot 2 n 1 reber gipergran rozmirnistyu k 1 displaystyle k 1 vidrizok n n 1 2n 3 displaystyle n cdot n 1 cdot 2 n 3 granej gipergran rozmirnistyu k 2 displaystyle k 2 kvadrat 13 n n 1 n 2 2n 4 displaystyle tfrac 1 3 cdot n cdot n 1 cdot n 2 cdot 2 n 4 komirok gipergran rozmirnistyu k 3 displaystyle k 3 trivimirnij kub 2 n displaystyle 2 cdot n fasetiv rozmirnistyu n 1 displaystyle n 1 gipergran rozmirnistyu k n 1 displaystyle k n 1 n 1 vimirnij giperkub Giperplosha n vimirnogo giperkuba z dovzhinoyu rebra 2 dorivnyuye 2n 2n 1 displaystyle 2n cdot 2 n 1 Giperob yem n vimirnogo giperkuba z dovzhinoyu rebra 2 dorivnyuye 2n displaystyle 2 n stor 262 tabl 15 2 1 Modellyu dlya n vimirnogo kuba ye odinichnij kub In displaystyle I n u vektornomu prostori Rn displaystyle mathbb R n A same zamknenij odinichnij kub maye viglyad In x1 xn 0 xi 1 displaystyle I n left x 1 dots x n mid 0 leq x i leq 1 right In 0 1 0 1 displaystyle I n 0 1 times cdots times 0 1 n displaystyle n kratnij dekartiv dobutok odinichnogo intervalu Opukla obolonka 2n displaystyle 2 n vershin z koordinatami 0 displaystyle 0 ta 1 displaystyle 1 Peretin mnozhin 2n displaystyle 2n pivprostoriv xi 0 displaystyle x i geq 0 ta xi 1 displaystyle x i leq 1 Odinichnij kub ce paralelnij koordinatnim osyam kub z dovzhinoyu rebra 1 displaystyle 1 i vershinoyu u pochatku koordinat Uzagalnennyam cogo ponyattya ye kuboyidi v Rn displaystyle mathbb R n yaki vidigrayut vazhlivu rol u bagatovimirnomu analizi Pov yazani ta sporidneni bagatogranniki ta mozayikiKub mozhna rozglyadati yak okremi vipadki inshih tipiv bagatogrannikiv V comu vipadku kub bude mati ne povnu en Oh a simertiyi yaki ye pidgrupami povnoyi grupi Tobto kub yak chastinnij vipadok prizm kuboyidiv trapecoedriv ye mensh simetrichnim nizh kub yak pravilnij bagatogrannik Ce takozh mozhna pobachiti v rozfarbovci jogo granej Kub maye tri odnoridni rozfarbuvannya nazvani za unikalnimi kolorami kvadratnih granej navkolo kozhnoyi vershini 111 112 123 Kub maye chotiri klasi simetriyi yaki mozhna predstaviti za dopomogoyu vershinno tranzitivnogo rozfarbovuvannya granej Najvisha oktaedrichna simetriya Oh maye vsi grani odnakovogo koloru en D4h pohodit vid kuba sho ye tilom vsi shist granej yakogo zabarvleni v rizni kolori Prizmatichna pidmnozhina D2d maye take zh zabarvlennya yak i poperednya a D2h maye pochergove zabarvlennya granej poparno protilezhni grani zabarvleni v tri kolori Kozhna forma simetriyi maye svij en Nazva Pravilnij shestigrannik Pryamokutna trapeciyeva prizma Pryamokutnij paralelepiped Pryamokutna rombichna prizia Trikutnij trapecoedrDiagrami Koksetera DinkinaSimvol Shlefli 4 3 4 rr 4 2 s2 2 4 3 tr 2 2 2 en 3 4 2 4 2 2 2 2 2 Simetriya Oh 4 3 432 D4h 4 2 422 D2d 4 2 2 2 D2h 2 2 222 D3d 6 2 2 3 Poryadok simetriyi 24 16 8 8 12Zobrazhennya z odnoridnim rozfarbuvannyam 111 112 112 123 112 111 112 Uktvorennya rombododekaedra z kuba Tetrakis kub Kub mozhna rozrizati na shist odnakovih kvadratnih piramid Yaksho ci kvadratni piramidi priyednati do granej inshogo kuba to otrimayemo bagatogrannik vizualno shozhij na rombododekaedr z parami komplanarnih trikutnikiv ob yednanih u rombichni grani Odnak bagatogrannik z takim sposobom pobudovi shozhij lishe vizualno na rombododekaedr ale topologichno vin ekvivalentnij do en odnogo z napivpravilnih bagatogrannikiv Katalana oskilki maye dodatkovi vershini i rebra sho nalezhat cim piramidam dvi bichni grani piramid znahodyatsya v odnij ploshini i vizualno stvoryuyut vrazhennya odniyeyi rombichnoyi grani Geometrichna operaciya zrizannya zastosovana do kuba utvoryuye chotiri odnoridnih bagatogranniki na pevnih stadiyah procesu zrizannya Zrizanij kub ye opuklim odnoridnim bagatogrannikom U09 odnim z napivpravilnih bagatogrannikiv Arhimeda sho maye diagramu Koksetera Dinkina ta simvol Shlefli t 4 3 Utvoryuyetsya pri zrizanni vershin kuba do momentu koli vsi grani stayut pravilnimi bagatokutnikami Maye 14 granej 8 pravilnih trikutnikiv ta 6 pravilnih vosmikutnikiv 36 reber ta 24 vershini Kubooktaedr utvoryuyetsya pri en rektifikaciyi kuba koli zrizannya vershin provoditsya do tochok sho lezhat na seredinah reber bagatogrannika tobto rebra pochatkovogo bagatogrannika faktichno znikayut Vin ye opuklim odnoridnim bagatogrannikom U07 odnim z napivpravilnih bagatogrannikiv Arhimeda Maye 14 granej 8 pravilnih trikutnikiv ta 6 kvadrativ 24 reber ta 12 vershin Podalshe zrizannya en abo bitrunkaciya prizvodit do poyavi zrizanogo oktaedra Proces zrizannya provoditsya do momentu koli grani vid zrizanih vershin pochatkovogo kuba trikutni grani stanut pravilnimi shestikutnikami Zrizanij oktaedr ye opuklim odnoridnim bagatogrannikom U08 odnim z napivpravilnih bagatogrannikiv Arhimeda Maye 14 granej 8 pravilnih shestikutnikiv ta 6 kvadrativ 36 reber ta 24 vershini Proces zrizannya kuba zavershuyetsya pri povnomu glibokomu zrizanni abo birektifikaciyi utvorennyam dvoyistogo do nogo bagatogrannika pravilnogo oktaedra koli grani pochatkovogo bagatogrannika zmenshuyutsya do tochok tobto faktichno znikayut Nazva Kub Zrizanij kub Kubooktaedr Zrizanij oktaedr Pravilnij oktaedrDiagrama Koksetera Dinkina x4o3o x4x3o o4x3o o4x3x x4x3oSimvol Shlefli 4 3 t 4 3 r 4 3 t 3 4 3 4 ZobrazhennyaOdnoridni oktaedrichni mnogogrannikiSimetriya 4 3 en 4 3 432 1 4 3 3 3 en 3 4 4 3 t 4 3 r 4 3 r 31 1 t 3 4 t 31 1 3 4 31 1 rr 4 3 s2 3 4 tr 4 3 sr 4 3 h 4 3 3 3 h2 4 3 t 3 3 s 31 1 or or Dvoyisti mnogogrannikiV43 V3 82 V 3 4 2 V34 V3 43 V33 V3 62 V35 Deyaki bagatogranniki Dzhonsona mozhna utvoriti shlyahom naroshennya granej kuba kvadratnimi piramidami J1 J8 narosheno odnu gran J15 narosheno dvi protilezhni grani Pri zastosuvanni shodo kuba geometrichnoyi operaciyi en snubifikaciya otrimayemo napivpravilnij bagatogrannik Arhimeda kirpatij kub Pri zastosuvanni shodo kuba geometrichnoyi operaciyi en zrizannya reber otrimayemo en en Kirpatij kub Kub z maloyu faskoyu en Dva odnoridnih z yednannya bagatogrannikiv skladayutsya z kubiv en en n32 simetriyi kirpatih mozayik 3 3 3 3 n Simetriya Sferichna Kompaktna giperbolichna Parakomp 232 332 432 532 632 732 832 32Kirpati figuriKonfiguraciya 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 5FiguriKonfiguraciya V3 3 3 3 2 V3 3 3 3 3 V3 3 3 3 7 V3 3 3 3 8 V3 3 3 3 DodatkovoBudova kuba u stereoproyekciyi en kubaProstorovimi en kuba ye 4 prostorovih shestikutnikiv Div takozhShestigranniki Blazenskij kovpak Kubichne chislo vid figurnih chisel Podvoyennya kuba odna z klasichnih zadach davnini Kubik Rubika golovolomka u viglyadi kuba Kubichna piramidaPrimitkiN W Johnson 2018 Etimologichnij slovnik ukrayinskoyi movi v 7 t redkol O S Melnichuk gol red ta in K Naukova dumka 1989 T 3 Kora M In t movoznavstva im O O Potebni AN URSR ukl R V Boldiryev ta in 552 s ISBN 5 12 001263 9 Gerard Villemin Section du cube Procitovano 3 octobre 2019 Edkins Jo 2007 Solid shapes and their nets angl Arhiv originalu za 26 grudnya 2019 Weisstein Eric W Cube angl na sajti Wolfram MathWorld Richard Goldstone Robert Suzzi Valli 2016 All 11 Folding Nets of the Cube Wolfram Demonstrations Project demonstrations wolfram com Procitovano 30 travnya 2024 Cube inertia tensor Wolfram Alpha www wolframalpha com angl Poo Sung Park Regular polytope distances Forum Geometricorum 2016 T 16 S 227 232 ISSN 1534 1178 z dzherela 10 zhovtnya 2016 Meskhishvili Mamuka 2020 Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids Communications in Mathematics and Applications 11 335 355 arXiv 2010 12340 doi 10 26713 cma v11i3 1420 Read R C Wilson R J 1998 An Atlas of Graphs angl Oxford University Press Harary Frank Hayes John P Wu Horng Jyh 1988 A survey of the theory of hypercube graphs PDF Computers amp Mathematics with Applications 15 4 277 289 doi 10 1016 0898 1221 88 90213 1 MR 0949280 Eric Weisstein Cubical Graph mathworld wolfram com angl Cubical Graph wolframalpha com angl Martin Henk Jurgen Richter Gebert 1999 LiteraturaN W Johnson Rozdil 11 Finite symmetry groups Divis 11 3 Pyramids Prisms and Antiprisms Figure 11 3c Geometries and Transformations Cambridge University Press United Kingdom 2018 P 234 ISBN 978 1 107 10340 5 Richard Goldstone Robert Suzzi Valli Unfoldings of the Cube 2016 S 17 DOI 10 48550 arXiv 1604 05004 Martin Henk Jurgen Richter Gebert Gunter M Ziegler Basic properties of convex polytopes Technische Universitat Berlin 1999 S 243 270 DOI 10 1201 9781420035315 pt2 PosilannyaKub Terminologichnij slovnik dovidnik z budivnictva ta arhitekturi R A Shmig V M Boyarchuk I M Dobryanskij V M Barabash za zag red R A Shmiga Lviv 2010 S 114 ISBN 978 966 7407 83 4 Weisstein Eric W Cube angl na sajti Wolfram MathWorld Cube angl na sajti Polytope Wiki Cube angl na sajti dmccooey com Klitzing Richard cube Quickfur The Cube Wedd N The Cube Hi gher Space Wiki Contributors Cube Paper Models of Polyhedra 26 lyutogo 2013 u Wayback Machine Paper Cubehttps www mathros net ua cube definition htmlThe Uniform Polyhedra 11 lyutogo 2008 u Wayback Machine Virtual Reality Polyhedra 23 lyutogo 2008 u Wayback Machine