Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
 Симетрії-інволюції Cs, (*) [ ] =  |  Cnv, (*nn) [n] =   |  Dnh, (*n22) [n,2] =  | |
| , [n,3], (*n32) | |||
|---|---|---|---|
 Td, (*332) [3,3] =  |  Oh, (*432) [4,3] =  |  Ih, (*532) [5,3] =  | |
Групи сферичної симетрії також називають , однак у цій статті розглянуто тільки скінченні симетрії. Існує п'ять фундаментальних класів симетрії, притаманних трикутним фундаментальним областям: діедрична, циклічна, , [en] та .
В статті перелічено групи згідно з символами Шенфліса, [en], [en] і порядком. Конвей використовував варіант запису Шенфліса, заснований на алгебраїчній структурі групи кватерніонів, з позначеннями однією або двома великими літерами і повним набором нижніх числових індексів. Порядок групи позначається індексом, якщо тільки він не подвоюється символом плюс-мінус («±»), який передбачає центральну симетрію .
Також наведено (міжнародна нотація). Групи кристалографії, загалом 32, є підмножиною з елементами порядку 2, 3, 4 і 6.
Симетрії-інволюції
Є чотири симетрії, які є оберненими собі, тобто інволюціями: тотожне перетворення (C1), дзеркальна симетрія (Cs), обертова симетрія (C2), і центральна симетрія (Ci).
| Геом.
| Шенф. | Конвей | Пор. | Фунд. область | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | C1 | C1 | ][ [ ]+ | 1 |  |
| 2 | 2 | 22 | D1 = C2 | D2 = C2 | [2]+ | 2 |  |
| Міжн. | Геом. | Орб. | Шенф. | Конвей | Кокс. | Пор. | Фунд. область |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 22 | × | Ci = S2 | CC2 | [2+,2+] | 2 |  |
| 2 = m | 1 | * | Cs = C1v = C1h | ±C1 = CD2 | [ ] | 2 | |
Циклічна симетрія
Існують чотири нескінченних сімейства [en] з n=2 і вище (n може дорівнювати 1 як особливий випадок немає симетрії).
| Гео | Шенф. | Конвей | Пор. | Фунд. | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 22 | C2 = D1 | C2 = D2 | [2]+ [2,1]+ | 2 | |
| mm2 | 2 | *22 | C2v = D1h | CD4 = DD4 | [2] [2,1] | 4 |  |
| 4 | 42 | 2× | S4 | CC4 | [2+,4+] | 4 |  |
| 2/m | 22 | 2* | C2h = D1d | ±C2 = ±D2 | [2,2+] [2+,2] | 4 |  |
| Міжн. | Геом. | Орб. | Шенф. | Конвей | Кокс. | Пор. | Фунд. область |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 4 5 6 n | 3 4 5 6 n | 33 44 55 66 nn | C3 C4 C5 C6 Cn | C3 C4 C5 C6 Cn | [3]+ [4]+ [5]+ [6]+ [n]+ | 3 4 5 6 n |  |
| 3m 4mm 5m 6mm - | 3 4 5 6 n | *33 *44 *55 *66 *nn | C3v C4v C5v C6v Cnv | CD6 CD8 CD10 CD12 CD2n | [3] [4] [5] [6] [n] | 6 8 10 12 2n | |
| 3 8 5 12 - | 62 82 10.2 12.2 2n.2 | 3× 4× 5× 6× n× | S6 S8 S10 S12 S2n | ±C3 CC8 ±C5 CC12 CC2n / ±Cn | [2+,6+] [2+,8+] [2+,10+] [2+,12+] [2+,2n+] | 6 8 10 12 2n |  |
| 3/m=6 4/m 5/m=10 6/m n/m | 32 42 52 62 n2 | 3* 4* 5* 6* n* | C3h C4h C5h C6h Cnh | CC6 ±C4 CC10 ±C6 ±Cn / CC2n | [2,3+] [2,4+] [2,5+] [2,6+] [2,n+] | 6 8 10 12 2n |  |
Діедрична симетрія
Існує три нескінченних сімейства з [en] з n рівним 2 і більше (n може дорівнювати 1 як особливий випадок).
| Геом. | Шенф. | Конвей | Пор. | Фунд. область | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 222 | 2.2 | 222 | D2 | D4 | [2,2]+ | 4 |  |
| 42m | 42 | 2*2 | D2d | DD8 | [2+,4] | 8 |  |
| mmm | 22 | *222 | D2h | ±D4 | [2,2] | 8 |  |
| Міжн. | Геом. | Орб. | Шенф. | Конвей | Кокс. | Пор. | Фунд. область |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 32 422 52 622 | 3.2 4.2 5.2 6.2 n.2 | 223 224 225 226 22n | D3 D4 D5 D6 Dn | D6 D8 D10 D12 D2n | [2,3]+ [2,4]+ [2,5]+ [2,6]+ [2,n]+ | 6 8 10 12 2n |  |
| 3m 82m 5m 12.2m | 62 82 10.2 12.2 n2 | 2*3 2*4 2*5 2*6 2*n | D3d D4d D5d D6d Dnd | ±D6 DD16 ±D10 DD24 DD4n / ±D2n | [2+,6] [2+,8] [2+,10] [2+,12] [2+,2n] | 12 16 20 24 4n |  |
| 6m2 4/mmm 10m2 6/mmm | 32 42 52 62 n2 | *223 *224 *225 *226 *22n | D3h D4h D5h D6h Dnh | DD12 ±D8 DD20 ±D12 ±D2n / DD4n | [2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n] | 12 16 20 24 4n | |
Симетрії багатогранників
Існує три типи [en]: , [en] і , названі за правильними багатогранниками з трикутними гранями, які мають відповідні симетрії.
| Геом. | Шенф. | Конвей | Пор. | Фунд. область | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 23 | 3.3 | 332 | T | T | [3,3]+ = [4,3+]+ | 12 |  |
| m3 | 43 | 3*2 | Th | ±T | [4,3+] | 24 |  |
| 43m | 33 | *332 | Td | TO | [3,3] = [1+,4,3] | 24 | |
| Міжн. | Геом. | Орб. | Шенф. | Конвей | Кокс. | Пор. | Фунд. область |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 432 | 4.3 | 432 | O | O | [4,3]+ = [[3,3]]+ | 24 |  |
| m3m | 43 | *432 | Oh | ±O | [4,3] = [[3,3]] | 48 | |
| Міжн. | Геом. | Орб. | Шенф. | Конвей | Кокс. | Пор. | Фунд. область |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 532 | 5.3 | 532 | I | I | [5,3]+ | 60 |  |
| 532/m | 53 | *532 | Ih | ±I | [5,3] | 120 | |
Див. також
- Кристалографічна точкова група симетрії
- [en]
- [en]
Примітки
Література
- Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Appendix I
- Donald E. Sands. Crystal Systems and Geometry // Introduction to Crystallography. — Mineola, New York : Dover Publications, Inc, 1993. — С. 165. — .
- Джон Х. Конвей, Дерек А. Смит. О кватернионах и октавах = On Quaternions and Octonions. — Москва : МЦНМО, 2009. — .
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — New-York : A K Peters/CRC Press,, 2008. — .
- H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. — Wiley-Interscience Publication,, 1995. — .
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380—407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559—591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- Norman Johnson. Chapter 11: Finite symmetry groups // Geometries and Transformations. — 2015.
- [en], J. Holt. The Crystallographic Space groups in Geometric algebra // Journal of Mathematical Physics. — 2007. — Вип. 48, 023514 (17 червня).
Посилання
- Finite spherical symmetry groups
- Weisstein, Eric W. Schoenflies symbol (англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Crystallographic point groups (англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- , by David I. McCooey
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Simetriyi involyuciyi Cs Cnv nn n Dnh n22 n 2 n 3 n32 Td 332 3 3 Oh 432 4 3 Ih 532 5 3 Grupi sferichnoyi simetriyi takozh nazivayut odnak u cij statti rozglyanuto tilki skinchenni simetriyi Isnuye p yat fundamentalnih klasiv simetriyi pritamannih trikutnim fundamentalnim oblastyam diedrichna ciklichna en ta V statti perelicheno grupi zgidno z simvolami Shenflisa en en i poryadkom Konvej vikoristovuvav variant zapisu Shenflisa zasnovanij na algebrayichnij strukturi grupi kvaternioniv z poznachennyami odniyeyu abo dvoma velikimi literami i povnim naborom nizhnih chislovih indeksiv Poryadok grupi poznachayetsya indeksom yaksho tilki vin ne podvoyuyetsya simvolom plyus minus yakij peredbachaye centralnu simetriyu Takozh navedeno mizhnarodna notaciya Grupi kristalografiyi zagalom 32 ye pidmnozhinoyu z elementami poryadku 2 3 4 i 6 Simetriyi involyuciyiYe chotiri simetriyi yaki ye obernenimi sobi tobto involyuciyami totozhne peretvorennya C1 dzerkalna simetriya Cs obertova simetriya C2 i centralna simetriya Ci Geom Shenf Konvej Por Fund oblast 1 1 11 C1 C1 1 2 2 22 D1 C2 D2 C2 2 2 Mizhn Geom Orb Shenf Konvej Koks Por Fund oblast 1 22 Ci S2 CC2 2 2 2 2 m 1 Cs C1v C1h C1 CD2 2Ciklichna simetriyaIsnuyut chotiri neskinchennih simejstva en z n 2 i vishe n mozhe dorivnyuvati 1 yak osoblivij vipadok nemaye simetriyi Geo Shenf Konvej Por Fund oblast 2 2 22 C2 D1 C2 D2 2 2 1 2 mm2 2 22 C2v D1h CD4 DD4 2 2 1 4 4 42 2 S4 CC4 2 4 4 2 m 2 2 2 C2h D1d C2 D2 2 2 2 2 4 Mizhn Geom Orb Shenf Konvej Koks Por Fund oblast 3 4 5 6 n 3 4 5 6 n 33 44 55 66 nn C3 C4 C5 C6 Cn C3 C4 C5 C6 Cn 3 4 5 6 n 3 4 5 6 n 3m 4mm 5m 6mm 3 4 5 6 n 33 44 55 66 nn C3v C4v C5v C6v Cnv CD6 CD8 CD10 CD12 CD2n 3 4 5 6 n 6 8 10 12 2n 3 8 5 12 62 82 10 2 12 2 2n 2 3 4 5 6 n S6 S8 S10 S12 S2n C3 CC8 C5 CC12 CC2n Cn 2 6 2 8 2 10 2 12 2 2n 6 8 10 12 2n 3 m 6 4 m 5 m 10 6 m n m 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2 3 4 5 6 n C3h C4h C5h C6h Cnh CC6 C4 CC10 C6 Cn CC2n 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 6 8 10 12 2nDiedrichna simetriyaDiv takozh Diedrichna grupa Isnuye tri neskinchennih simejstva z en z n rivnim 2 i bilshe n mozhe dorivnyuvati 1 yak osoblivij vipadok Geom Shenf Konvej Por Fund oblast 222 2 2 222 D2 D4 2 2 4 4 2m 42 2 2 D2d DD8 2 4 8 mmm 22 222 D2h D4 2 2 8 Mizhn Geom Orb Shenf Konvej Koks Por Fund oblast 32 422 52 622 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2 223 224 225 226 22n D3 D4 D5 D6 Dn D6 D8 D10 D12 D2n 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 6 8 10 12 2n 3 m 8 2m 5 m 12 2m 62 82 10 2 12 2 n2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n D3d D4d D5d D6d Dnd D6 DD16 D10 DD24 DD4n D2n 2 6 2 8 2 10 2 12 2 2n 12 16 20 24 4n 6 m2 4 mmm 10 m2 6 mmm 32 42 52 62 n2 223 224 225 226 22n D3h D4h D5h D6h Dnh DD12 D8 DD20 D12 D2n DD4n 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 12 16 20 24 4nSimetriyi bagatogrannikivIsnuye tri tipi en en i nazvani za pravilnimi bagatogrannikami z trikutnimi granyami yaki mayut vidpovidni simetriyi Geom Shenf Konvej Por Fund oblast 23 3 3 332 T T 3 3 4 3 12 m3 43 3 2 Th T 4 3 24 4 3m 33 332 Td TO 3 3 1 4 3 24 Mizhn Geom Orb Shenf Konvej Koks Por Fund oblast 432 4 3 432 O O 4 3 3 3 24 m3 m 43 432 Oh O 4 3 3 3 48 Mizhn Geom Orb Shenf Konvej Koks Por Fund oblast 532 5 3 532 I I 5 3 60 53 2 m 53 532 Ih I 5 3 120Div takozhKristalografichna tochkova grupa simetriyi en en PrimitkiJohnson 2015 Conway 2008 Conway 2009 Sands 1993 Hestenes Holt 2007 LiteraturaPeter R Cromwell Polyhedra 1997 Appendix I Donald E Sands Crystal Systems and Geometry Introduction to Crystallography Mineola New York Dover Publications Inc 1993 S 165 ISBN 0 486 67839 3 Dzhon H Konvej Derek A Smit O kvaternionah i oktavah On Quaternions and Octonions Moskva MCNMO 2009 ISBN 978 5 94057 517 7 John H Conway Heidi Burgiel Chaim Goodman Strass The Symmetries of Things New York A K Peters CRC Press 2008 ISBN 978 1 56881 220 5 H S M Coxeter Kaleidoscopes Selected Writings of H S M Coxeter F Arthur Sherk Peter McMullen Anthony C Thompson Asia Ivic Weiss Wiley Interscience Publication 1995 ISBN 978 0 471 01003 6 Paper 22 H S M Coxeter Regular and Semi Regular Polytopes I Math Zeit 46 1940 380 407 MR 2 10 Paper 23 H S M Coxeter Regular and Semi Regular Polytopes II Math Zeit 188 1985 559 591 Paper 24 H S M Coxeter Regular and Semi Regular Polytopes III Math Zeit 200 1988 3 45 Norman Johnson Chapter 11 Finite symmetry groups Geometries and Transformations 2015 en J Holt The Crystallographic Space groups in Geometric algebra Journal of Mathematical Physics 2007 Vip 48 023514 17 chervnya PosilannyaFinite spherical symmetry groups Weisstein Eric W Schoenflies symbol angl na sajti Wolfram MathWorld Weisstein Eric W Crystallographic point groups angl na sajti Wolfram MathWorld by David I McCooey