Квадратна матриця з комплексними елементами називається проєкційною, якщо виконується
Якщо виконується то матриця називається ортогонально-проєкційною.
- Проєкційні матриці називаються ортогональними, якщо
З точки зору абстрактної алгебри проєкційні матриці — це ідемпотентні елементи кільця квадратних матриць.
Властивості
- Кожна ортогональна-проєкційна матриця є проєкційною і одночасно ермітовою матрицею, оскільки:
- Якщо матриця
є проєкційною, то матриці
теж будуть проєкційними.
- Якщо матриця
є ортогонально-проєкційною, то матриці
теж будуть ортогонально-проєкційними.
- Якщо матриця
є ортогонально-проєкційною, то
- Власні значення проєкційних матриць можуть приймати значення тільки +1 та 0, що легко побачити з розкладу матриці по її власних векторах.
- Ортогонально-проєкційні матриці є невід'ємноозначеними матрицями.
Ортогональні проєктори на підпростір
- Найпростішим випадком ортогональної проєкції є проєкція на лінію вектора. Якщо u є одиничним вектором, тоді проєктором на лінію вздовж вектора буде матриця
- Довільна прямокутна матриця
вводить дві ортогонально-проєкційні матриці:
— проєктор в просторі
на підпростір векторів-рядків матриці
— проєктор в просторі
на підпростір векторів-стовпців матриці
- Проєктори на ортогональне доповнення до даних підпросторів, позначаються:
Для ще використовують позначення
та
відповідно.
— псевдообернена матриця до матриці A.
Приклади
- Одинична матриця є проєктивною.
Застосування
- Застосовується при QR розкладі матриці в методах: Процес Грама — Шмідта, Перетворення Хаусхолдера.
- Застосовується при сингулярному розкладі матриці.
Див. також
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kvadratna matricya P displaystyle P z kompleksnimi elementami nazivayetsya proyekcijnoyu yaksho vikonuyetsya P P 2 displaystyle P P 2 Yaksho vikonuyetsya P P P displaystyle P P P to matricya P displaystyle P nazivayetsya ortogonalno proyekcijnoyu Proyekcijni matrici P 1 P 2 displaystyle P 1 P 2 nazivayutsya ortogonalnimi yaksho P 1 P 2 P 2 P 1 0 displaystyle P 1 P 2 P 2 P 1 0 Z tochki zoru abstraktnoyi algebri proyekcijni matrici ce idempotentni elementi kilcya kvadratnih matric VlastivostiKozhna ortogonalna proyekcijna matricya ye proyekcijnoyu i odnochasno ermitovoyu matriceyu oskilki P P P P P P P P P 2 displaystyle P P P quad Rightarrow quad P P P P quad Rightarrow quad P P 2 Yaksho matricya P displaystyle P ye proyekcijnoyu to matrici P n I P n P n N displaystyle P n I P n P quad forall n in mathbb N tezh budut proyekcijnimi Yaksho matricya P displaystyle P ye ortogonalno proyekcijnoyu to matrici P n I P n n N displaystyle P n I P n quad forall n in mathbb N tezh budut ortogonalno proyekcijnimi Yaksho matricya P displaystyle P ye ortogonalno proyekcijnoyu to x y P x I P y displaystyle forall x y quad Px perp I P y Vlasni znachennya proyekcijnih matric mozhut prijmati znachennya tilki 1 ta 0 sho legko pobachiti z rozkladu matrici po yiyi vlasnih vektorah Ortogonalno proyekcijni matrici ye nevid yemnooznachenimi matricyami Ortogonalni proyektori na pidprostirNajprostishim vipadkom ortogonalnoyi proyekciyi ye proyekciya na liniyu vektora Yaksho u ye odinichnim vektorom todi proyektorom na liniyu vzdovzh vektora bude matricya P u u u displaystyle P u uu top Dovilna pryamokutna matricya A C m n displaystyle A in mathbb C m times n vvodit dvi ortogonalno proyekcijni matrici P A A A C n n displaystyle P A A A in mathbb C n times n proyektor v prostori C n displaystyle mathbb C n na pidprostir vektoriv ryadkiv matrici A displaystyle A P A A A C m m displaystyle P A AA in mathbb C m times m proyektor v prostori C m displaystyle mathbb C m na pidprostir vektoriv stovpciv matrici A displaystyle A Proyektori na ortogonalne dopovnennya do danih pidprostoriv poznachayutsya Z A I n P A displaystyle Z A I n P A Z A I m P A displaystyle Z A I m P A Dlya P A Z A displaystyle P A Z A she vikoristovuyut poznachennya P A displaystyle P A parallel ta P A displaystyle P A perp vidpovidno A displaystyle A psevdoobernena matricya do matrici A PrikladiOdinichna matricya ye proyektivnoyu P 1 0 0 0 1 0 0 0 0 P x y z x y 0 displaystyle P begin bmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 end bmatrix quad Rightarrow quad P begin pmatrix x y z end pmatrix begin pmatrix x y 0 end pmatrix P 0 0 a 1 P 2 0 0 a 1 0 0 a 1 0 0 a 1 P displaystyle P begin bmatrix 0 amp 0 alpha amp 1 end bmatrix quad Rightarrow quad P 2 begin bmatrix 0 amp 0 alpha amp 1 end bmatrix begin bmatrix 0 amp 0 alpha amp 1 end bmatrix begin bmatrix 0 amp 0 alpha amp 1 end bmatrix P ZastosuvannyaZastosovuyetsya pri QR rozkladi matrici v metodah Proces Grama Shmidta Peretvorennya Hausholdera Zastosovuyetsya pri singulyarnomu rozkladi matrici Div takozhTeoriya matric Spektralna teorema ProyekciyiDzherelaGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros