задає лінійне відображення (оператор) з простору в простір .
Рядки матриці A є елементами векторного простору , а стовпці — елементами .
Властивості
- Лінійна оболонка рядків матриці
є лінійним підпростором простору
.
- Лінійна оболонка стовпців матриці
є лінійним підпростором простору
.
Ранг матриці рівний найбільшому числу лінійно-незалежних рядків (або стовпців) матриці. Причому ранг по стовпцях збігається з рангом по рядках.
Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:
Назва Визначення Простір в якому існує Розмірність простір стовпців чи образ im(A) чи range(A) r нульпростір чи ядро ker(A) чи null(A) n — r простір рядків чи [en] im(AT) чи range(AT) r лівий нульпростір чи коядро ker(AT) чи null(AT) m — r
- В
, тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків.
- В
, тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.
Джерела
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)