Теорема про ранг матриці

Теорема про базисний мінор

1. Рядки ненульової матриці ${\displaystyle \ A}$ (існує не нульовий елемент) на яких будується її базисний мінор ${\displaystyle \ \Delta _{r}}$ є лінійно незалежними.
2. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.

Доведення

1. Якби базисні рядки були лінійно залежними то з допомогою еквівалентних перетворень можна було б одержати нульовий рядок, що суперечить тому, що базовий мінор не дорівнює нулю.
2. За допомогою довільного не базисного рядка (нехай його номер ${\displaystyle \ k}$) та довільного стовбця матриці (нехай його номер ${\displaystyle \ j}$) утворимо оточуючий мінор для базисного. Він буде дорівнювати нулю. Розклавши його ${\displaystyle \ j}$-му стовпцю (теорема Лапласа), отримаємо:

${\displaystyle \ a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots +a_{rj}A_{rj}+a_{kj}A_{kj}=0}$

оскільки алгебраїчне доповнення ${\displaystyle \ A_{kj}}$ рівне нашому базовому мінору ${\displaystyle \ \Delta _{r}}$ з точністю до знака, отже ${\displaystyle \ A_{kj}\neq 0,}$ тому розділимо весь вираз на нього:

${\displaystyle \ a_{kj}=\lambda _{1}a_{1j}+\lambda _{2}a_{2j}+\ldots +\lambda _{r}a_{rj},\qquad \lambda _{j}=-{\frac {A_{ij}}{A_{kj}}},\quad \forall j\in [1,r].}$

Отже ${\displaystyle \ k}$-ий рядок є лінійною комбінацією базових рядків з коефіцієнтами ${\displaystyle \ \lambda _{j}}$.

Див. також

• Теорія матриць
• Матриця (математика)
• Визначник
• Ранг матриці
• Теорема Лапласа — розклад визначника по рядку (стовпцю)

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)