Алгебрична геометрія — розділ математики, який об'єднує абстрактну алгебру з геометрією. Головним предметом вивчення класичної алгебричної геометрії, а також в широкому сенсі і сучасної алгебричної геометрії, є множини розв'язків систем рівнянь, що задаються многочленами.
Алгебрична геометрія зобов'язана своєю появою потребам теорії абелевих інтегралів, в якій були отримані чудові результати, що стосуються алгебричних кривих і мають суто геометричний сенс. Наприклад, використовуючи інтеграли першого роду, довів, що крива, що допускає неперервну групу біраціональних перетворень у себе, біраціонально еквівалентна або прямій або еліптичній кривій.
Сучасна алгебрична геометрія має множинні взаємозв'язки з різними галузями математики, такими як комплексний аналіз, топологія або теорія чисел. Вивчення конкретних систем рівнянь з декількома змінними призвело до розуміння важливості дослідження загальних внутрішніх властивостей множин розв'язків довільної системи алгебричних рівнянь і, як наслідок, до глибоких результатів у багатьох розділах математики.
У XX столітті алгебрична геометрія розділилася на декілька (взаємопов'язаних) дисциплін:
Основний потік досліджень в алгебричній геометрії XX століття йшов за активного використання понять загальної алгебри, з акцентом на «внутрішніх» властивостях алгебричних многовидів, що не залежать від конкретного способу вкладення многовиду в деякий простір. Ключовим досягненням стала теорія схемАлександра Гротендіка, що дозволила застосувати теорію пучків до дослідження алгебричних многовидів методами, подібних до вивчення диференційовних і комплексних многовидів. Це дало поштовх до розширення поняття точки: в класичній геометрії точку афінного многовиду можна було визначити як максимальний ідеал координатного кільця, тоді як всі точки відповідної афінної схеми є простими ідеалами цього кільця. Точку такої схеми можна розглядати і як звичайну точку, і як підмноговид, що дозволило уніфікувати мову та інструменти класичної геометрії. Доведення Великої теореми ФермаЕндрю Вайлсом стало одним з найяскравіших прикладів потужності такого підходу.
Історія
Передісторія: до XIX століття
Ознаки зародження алгебричної геометрії можна знайти ще в роботах греків V століття до н. е. Наприклад, проблема подвоєння куба зводиться до побудови куба, об'єм якого дорівнює обсягу «ящика» для даних a і b, Менехм інтерпретував цю задачу геометрично як побудову перетину двох коник: ay = x2 і xy = ab. В більш пізніх працях Архімеда і Аполлонія конічні перетини вивчаються більш систематично, зокрема з використанням координат. Арабські математики знали способи розв'язування певних кубічних рівнянь і могли проінтерпретувати отримані результати геометрично. Перський математик Омар Хаям (XI століття) відкрив спосіб розв'язування загального кубічного рівняння за допомогою перетину кола і параболи.
Французькі математики Франсуа Вієт і, пізніше, Рене Декарт і П'єр Ферма кардинально змінили способи геометричних побудов, створивши аналітичну геометрію. Їх основні цілі полягали у вивченні алгебричних кривих, таких як криві, задані діофантовими рівняннями (у разі Ферма), коніки і кубики (у разі Декарта). Приблизно в той самий період, Паскаль і Дезарг підійшли до проблеми з іншого боку, розвинувши проективну геометрію. Вони також досліджували властивості кривих, але тільки з геометричної точки зору, використовуючи побудови циркулем і лінійкою. Зрештою, аналітична геометрія, взяла верх над цим підходом, оскільки забезпечувала математиків XVIII століття конкретними обчислювальними інструментами, що дозволяють розв'язувати фізичні задачі з використанням нового аналізу. В результаті, до кінця XVIII століття використання алгебричних методів у геометрії зводилося до використання числення нескінченно малих (зокрема, його активно використовували Ейлер і Лагранж).
Розвиток теорії абелевих інтегралів привів Бернхарда Рімана до створення теорії ріманових многовидів. Використовуючи інтеграли першого роду, Герман Шварц довів, що крива, яка допускає безперервну групу біраціональних перетворень у себе, біраціонально еквівалентна прямій або еліптичній кривій. Алгебрична геометрія другої половини XIX століття представлена, головним чином, італійською школою від Кремони до Енріквеса.
У цей період почалася алгебризація геометрії з використанням комутативно алгебри: зокрема, Давід Гільберт довів свої теореми про базис і про нулі.
XX століття
Ідеї побудови алгебричної геометрії на основі комутативної алгебри, що інтенсивно розвивалася в 30-х і 40-х роках XX століття, сходять до О. Зариського і А. Вейля. Однією з їхніх цілей було доведення результатів італійської школи: італійські геометри того періоду використовували в доведеннях поняття «загальної точки», без якого-небудь суворого її визначення.
У 1950-х і 60-х роках Жан-П'єр Серр і Александр Гротендік повністю переробили основи алгебричної геометрії за допомогою технік теорії пучків, теорії схем і гомологічної алгебри. У 1970-х розвиток дещо стабілізувався, було знайдено застосування в теорії чисел і до більш класичних питань алгебричної геометрії: вивчення особливостей і модулів.
Перш за все треба зафіксувати основне полеk. У класичній алгебричній геометрії, як правило, використовується поле комплексних чисел, проте багато результатів залишаються правильними для будь-якого алгебрично замкнутого поля (в подальшому викладі мається на увазі алгебрична замкненість). Розглянемо n-вимірний афінний простір (Причина, з якої розглядають не векторний простір над k, полягає в тому, щоб підкреслити незалежність властивостей многовиду від структури векторного простору. Елементи основного простору розглядаються як точки, а не як вектори). Зафіксуємо в афінному просторі який-небудь базис (зокрема, виберемо початок координат). Тоді кожному сімейству S многочленів з кільцяk[x1,…,xn] можна зіставити множину V(S) точок, координати яких задовольняють всім многочленам з множини:
Насправді, властивість функції бути [ru] не залежить від вибору базису, тому можна говорити просто про поліноміальні функції на і про множину спільних нулів сімейства таких функцій. Множини, які можна подати у вигляді V(S), називаються алгебричними множинами.
Будь-якій підмножині афінного простору U можна зіставити множину I(U) многочленів, рівних нулю у всіх точках цієї множини. Неважко перевірити, що ця множина є ідеалом у кільці многочленів. Виникають два природні питання:
Для яких U виконується U = V(I(U))?
Для яких множин многочленів S виконується S = I(V(S))?
Очевидно, що для виконання першої рівності необхідно, щоб U було алгебричною множиною; неважко також перевірити, що ця умова достатня. Пошук відповіді на друге питання викликає великі труднощі, Давидом Гільбертом була доведена відома теорема Гільберта про нулі, згідно з якою I(V(S)) збігається з радикалом ідеалу в кільці многочленів, породженого елементами S; це означає, що існує бієктивна відповідність між алгебричними множинами і радикальними ідеалами кільця многочленів. Теорема Гільберта про базис стверджує, що всі ідеали в кільці многочленів є [ru], тобто будь-яку алгебричну множину можна задати скінченним числом рівнянь.
Алгебрична множина називається незвідною, якщо її не можна подати у вигляді об'єднання двох менших алгебричних множин. Афінний алгебричний многовид — це незвідна алгебрична множина; алгебричною мовою афінним многовидам відповідають прості ідеали кільця многочленів. Будь-яку алгебричну множину можна подати у вигляді об'єднання скінченного числа алгебричних многовидів (жодний з яких не є підмножиною іншого), і притому єдиним чином.
Деякі автори не проводять термінологічного розрізнення між «алгебричними множинами» і «алгебричними многовидами» і замість цього використовують термін «незвідна алгебрична множина» (або «незвідний многовид»).
Регулярна функція на алгебричній множині — це функція, яка є обмеженням на V деякої поліноміальної функції. Регулярні функції на V утворюють кільце k[V], зване координатним кільцем цієї множини. Це кільце ізоморфне факторкільцю кільця многочленів з I(V) (дійсно, якщо f і g мають одне і те ж обмеження на V, то f − g належить I(V).
Природним чином визначаються регулярні відображення між алгебричними множинами. А саме, регулярне відображення має вигляд , де — регулярні функції. Регулярне відображення в алгебричну множину — це регулярна функція , така що .
Якщо задано регулярне відображення , будь регулярної функції можна зіставити регулярну функцію на за правилом . Відображення є гомоморфізмом кілецьтак само і кожен гомоморфізм координатних кілець визначає регулярне відображення алгебричних множин (у зворотному напрямку). З цих відповідностей можна вивести, що категорія алгебричних множин (морфізми якої — регулярні функції) двоїста категорії скінечннопороджених k-алгебр без нільпотентів. Виявлення цієї еквівалентності стало початковою точкою теорії схем.
Раціональні функції
На відміну від попереднього пункту, тут буде розглянуто тільки (незвідні) алгебричні многовиди. З іншого боку, ці визначення можна поширити на проективні многовиди.
Якщо V — афінний многовид, його координатне кільце цілісне, і отже, має поле часток. Це поле позначається k(V) і називається полем раціональних функцій на V. Область визначення раціональної функції не обов'язково дорівнює всьому V, а дорівнює доповненню множини, на якій її знаменник дорівнює нулю. Аналогічно випадку регулярних функцій визначається раціональне відображення між многовидами, аналогічно, раціональні відображення взаємно-однозначно відповідають гомоморфізмам полів раціональних функцій.
Два афінні многовиди називаються біраціонально еквівалентними, якщо існують два раціональних відображення між ними, які взаємно обернені на областях визначення (еквівалентно, поля раціональних функцій цих многовидів ізоморфні).
Афінний многовид називається раціональним многовидом, якщо він біраціонально еквівалентний афінному простору. Іншими словами, його можна раціонально параметризувати. Наприклад, одиничне коло є раціональною кривою, оскільки існують функції
які задають раціональне відображення з прямої в коло. Можна перевірити, що й зворотне відображення раціональне (див. також Стереографічна проєкція).
Схеми
В кінці 1950-х років Олександр Гротендік дав визначення схеми, що узагальнює поняття алгебричного многовиду. Афінна схема — це спектр деякого кільця (в класичній геометрії — кільця многочленів) разом з пучком кілець на ньому (кожній відкритій множині зіставляються раціональні функції, визначені в кожній точці множини). Афінні схеми утворюють категорію, яка двоїста категорії комутативних кілець, це розширює двоїстість алгебричних множин та алгебри без нільпотентів. Загальні схеми є результатом об'єднання кількох афінних схем (як топологічних просторів з топологією Зариського).
Дійсна алгебрична геометрія
Дійсна алгебрична геометрія — вивчення дійсних алгебричних множин, тобто дійсних розв'язків алгебричних рівнянь з дійсними коефіцієнтами та відображень між ними.
Напівалгебрична геометрія — вивчення напівалгебричних множин, тобто множин дійсних розв'язків алгебричних рівнянь і нерівностей з дійсними коефіцієнтами, а також відображень між ними.
Обчислювальна алгебрична геометрія
Базис Грьобнера
Базис Грьобнера — це система елементів, що породжують даний ідеал у кільці многочленів над полем (не обов'язково алгебрично замкнутим); обчислення базису Грьобнера дозволяє визначити деякі властивості алгебричної множини V, визначеної цим ідеалом у алгебрично замкнутому розширенні (наприклад, система рівнянь з дійсними коефіцієнтами природним чином визначає множину комплексних чисел, що задовольняють всім рівнянням).
Vпорожня (в алгебрично замкнутому розширенні початкового поля) тоді і тільки тоді, коли базис Грьобнера складається з однієї одиниці.
Ряди Гільберта дозволяють обчислити розмірність многовиду V.
Якщо розмірність дорівнює нулю, існує спосіб обчислити кількість (завжди скінченну) точок многовиду.
Для даного раціонального відображення V в інший алгебричний многовид базис Грьобнера дозволяє обчислити замикання образу V (в топології Зариського) та критичні точки відображення.
Інформації про базис Грьобнера недостатньо для обчислення розкладу цієї множини на незвідні компоненти, проте існують алгоритми розв'язувння цієї задачі, що використовують зокрема і його.
У деяких випадках обчислення базису Грьобнера є досить складним: у гіршому випадку він може містити многочлени, степінь яких залежить як подвійна експонента (вираз виду ) від числа змінних у кільці многочленів; число елементів базису може зростати з тією ж швидкістю. Втім, це верхня межа складності, і в багатьох випадках за допомогою цих алгоритмів можна працювати з кільцями многочленів від декількох десятків змінних.
Дрозд, Ю. А. (2004). . Львів: ВНТЛ–Класика. ISBN . Архів оригіналу за 27 серпня 2016. Процитовано 16 червня 2016. (PDF [ 22 травня 2011 у Wayback Machine.]) (укр.)
Іншими мовами
Harris, Joe (1995). Algebraic Geometry A First Course. . ISBN . (англ.)
Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. Комплексные проективные многообразия / пер. с англ. Ю. И. Манина. — Мир. — М., 1979.(рос.)
Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах / пер. с англ. С. М. Львовского. — М. : МЦНМО, 2007.(рос.)
Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс / пер. с англ. под ред. Ф. Л. Зака. — М. : МЦНМО, 2005.
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М. : Мир, 1981.(рос.)
Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. (в 3 томах) — М.: ИЛ, 1954—1955.
Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — 3-е, испр. и доп.. — М. : МЦНМО, 2007.(рос.)
Dickenstein, Alicia; Schreyer, Frank-Olaf; Sommese, Andrew J., ред. (2008). Algorithms in Algebraic Geometry. The IMA Volumes in Mathematics and its Applications. Т. 146. . ISBN . LCCN 2007938208.
Навчальні матеріали
Юрій Дрозд (2001), Вступ до алгебричної геометрії [ 22 травня 2011 у Wayback Machine.], Київський Університет імені Тараса Шевченка (Курс лекцій). (укр.)
Юрій Дрозд (2001), Алгебрична геометрія і її застосування [ 22 травня 2011 у Wayback Machine.], Київський Університет імені Тараса Шевченка (Курс лекцій). (укр.)
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 1) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 2) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 3) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 4) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 5) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 6) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 7) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 8) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 9) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 10) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 11) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 12) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 13) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 14) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 15) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 16) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 17) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 18) на YouTube
Вступ до алгебричної геометрії (Лекція 19) на YouTube
Посилання
Andreas Gathmann (2014), , Technische Universität Kaiserslautern (Курс лекцій). (англ.)
Lee A. Butler (2007—2009), Algebraic geometry notes[недоступне посилання з червня 2019], Mathematics department, University of Bristol (Курс лекцій). (англ.)
Ravi Vakil. The Rising Sea: Foundations Of Algebraic Geometry Notes [ 30 березня 2013 у Wayback Machine.] — записки курсу алгебричної геометрії в Стенфордському університеті.
Alexander Grothendieck. (фр.)
Примітки
Dieudonné, Jean (1972). The historical development of algebraic geometry. The American Mathematical Monthly. 79 (8): 827—866. doi:10.2307/2317664. JSTOR 2317664.
Kline, M. (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Volume 1). Oxford University Press. pp. 193—195.
Mathias Drton, Bernd Sturmfels, Seth Sullivant (2009), Lectures on Algebraic Statistics [ 20 лютого 2014 у Wayback Machine.] Springer,
Peter L. Falb (1990), [1] [ 27 червня 2014 у Wayback Machine.], Birkhäuser,
J. M. Selig (205), Geometric fundamentals of robotics [ 20 лютого 2014 у Wayback Machine.], Springer,
Michael A. Tsfasman, Serge G. Vlăduț, Dmitry Nogin (2007), Algebraic geometric codes: basic notions [ 20 лютого 2014 у Wayback Machine.], AMS Bookstore,
Bert Jüttler, Ragni Piene (2007) Geometric modeling and algebraic geometry [ 20 лютого 2014 у Wayback Machine.], Springer,
David A. Cox, Sheldon Katz (1999) Mirror symmetry and algebraic geometry [ 20 лютого 2014 у Wayback Machine.], AMS Bookstore,
IM Krichever and PG Grinevich, Algebraic geometry methods in soliton theory, Chapter 14 of Soliton theory [ 20 лютого 2014 у Wayback Machine.], Allan P. Fordy, Manchester University Press ND, 1990,
Blume, L. E.; Zame, W. R. (1994). The algebraic geometry of perfect and sequential equilibrium (PDF). [ru]. 62 (4): 783—794. JSTOR 2951732.[недоступне посилання з травня 2019]
Richard Kenyon; Andrei Okounkov; Scott Sheffield (2003). Dimers and Amoebae. arXiv:math-ph/0311005. {{}}: Проігноровано |class= ()
Algebrichna geometriya rozdil matematiki yakij ob yednuye abstraktnu algebru z geometriyeyu Golovnim predmetom vivchennya klasichnoyi algebrichnoyi geometriyi a takozh v shirokomu sensi i suchasnoyi algebrichnoyi geometriyi ye mnozhini rozv yazkiv sistem rivnyan sho zadayutsya mnogochlenami Poverhnya Tolyatti algebrichna poverhnya zadana rivnyannyam p yatogo stepenya Nazvana na chest ru Algebrichna geometriya zobov yazana svoyeyu poyavoyu potrebam teoriyi abelevih integraliv v yakij buli otrimani chudovi rezultati sho stosuyutsya algebrichnih krivih i mayut suto geometrichnij sens Napriklad vikoristovuyuchi integrali pershogo rodu doviv sho kriva sho dopuskaye neperervnu grupu biracionalnih peretvoren u sebe biracionalno ekvivalentna abo pryamij abo eliptichnij krivij Osnovnij ob yekt vivchennya algebrichnoyi geometriyi algebrichni mnogovidi tobto geometrichni ob yekti zadani yak mnozhini rozv yazkiv sistem algebrichnih rivnyan Najkrashe vivcheni algebrichni krivi pryami konichni pererizi kubiki taki yak eliptichna kriva i krivi bilsh visokih poryadkiv prikladi takih krivih lemniskati Bazovi pitannya teoriyi algebrichnih krivih stosuyutsya vivchennya specialnih tochok na krivij takih yak osoblivi tochki abo tochki pereginu Bilsh rozvineni pitannya stosuyutsya topologiyi krivih i vidnoshen mizh krivimi zadanimi diferencialnimi rivnyannyami Suchasna algebrichna geometriya maye mnozhinni vzayemozv yazki z riznimi galuzyami matematiki takimi yak kompleksnij analiz topologiya abo teoriya chisel Vivchennya konkretnih sistem rivnyan z dekilkoma zminnimi prizvelo do rozuminnya vazhlivosti doslidzhennya zagalnih vnutrishnih vlastivostej mnozhin rozv yazkiv dovilnoyi sistemi algebrichnih rivnyan i yak naslidok do glibokih rezultativ u bagatoh rozdilah matematiki U XX stolitti algebrichna geometriya rozdililasya na dekilka vzayemopov yazanih disciplin Osnovnij napryamok algebrichnoyi geometriyi vivchennya vlastivostej algebrichnih mnogovidiv nad algebrichno zamknenim polem zokrema nad polem kompleksnih chisel Vivchennya algebrichnih mnogovidiv nad algebrichnim chislovim polem abo navit nad kilcem predmet arifmetichnoyi abo ru geometriyi rozdilu algebrichnoyi teoriyi chisel Vivchennyam dijsnih tochok kompleksnogo mnogovidu zajmayetsya dijsna algebrichna geometriya Velika chastina teoriyi osoblivostej nalezhit do vivchennya osoblivostej algebrichnih mnogovidiv Na peretini algebrichnoyi geometriyi i komp yuternoyi algebri lezhit obchislyuvalna algebrichna geometriya Yiyi osnovne zavdannya stvorennya algoritmiv i programnogo zabezpechennya dlya vivchennya vlastivostej yavno zadanih algebrichnih mnogovidiv Osnovnij potik doslidzhen v algebrichnij geometriyi XX stolittya jshov za aktivnogo vikoristannya ponyat zagalnoyi algebri z akcentom na vnutrishnih vlastivostyah algebrichnih mnogovidiv sho ne zalezhat vid konkretnogo sposobu vkladennya mnogovidu v deyakij prostir Klyuchovim dosyagnennyam stala teoriya shem Aleksandra Grotendika sho dozvolila zastosuvati teoriyu puchkiv do doslidzhennya algebrichnih mnogovidiv metodami podibnih do vivchennya diferencijovnih i kompleksnih mnogovidiv Ce dalo poshtovh do rozshirennya ponyattya tochki v klasichnij geometriyi tochku afinnogo mnogovidu mozhna bulo viznachiti yak maksimalnij ideal koordinatnogo kilcya todi yak vsi tochki vidpovidnoyi afinnoyi shemi ye prostimi idealami cogo kilcya Tochku takoyi shemi mozhna rozglyadati i yak zvichajnu tochku i yak pidmnogovid sho dozvolilo unifikuvati movu ta instrumenti klasichnoyi geometriyi Dovedennya Velikoyi teoremi Ferma Endryu Vajlsom stalo odnim z najyaskravishih prikladiv potuzhnosti takogo pidhodu IstoriyaPeredistoriya do XIX stolittya Oznaki zarodzhennya algebrichnoyi geometriyi mozhna znajti she v robotah grekiv V stolittya do n e Napriklad problema podvoyennya kuba zvoditsya do pobudovi kuba ob yem yakogo dorivnyuye obsyagu yashika a a b displaystyle a times a times b dlya danih a i b Menehm interpretuvav cyu zadachu geometrichno yak pobudovu peretinu dvoh konik ay x2 i xy ab V bilsh piznih pracyah Arhimeda i Apolloniya konichni peretini vivchayutsya bilsh sistematichno zokrema z vikoristannyam koordinat Arabski matematiki znali sposobi rozv yazuvannya pevnih kubichnih rivnyan i mogli prointerpretuvati otrimani rezultati geometrichno Perskij matematik Omar Hayam XI stolittya vidkriv sposib rozv yazuvannya zagalnogo kubichnogo rivnyannya za dopomogoyu peretinu kola i paraboli Francuzki matematiki Fransua Viyet i piznishe Rene Dekart i P yer Ferma kardinalno zminili sposobi geometrichnih pobudov stvorivshi analitichnu geometriyu Yih osnovni cili polyagali u vivchenni algebrichnih krivih takih yak krivi zadani diofantovimi rivnyannyami u razi Ferma koniki i kubiki u razi Dekarta Priblizno v toj samij period Paskal i Dezarg pidijshli do problemi z inshogo boku rozvinuvshi proektivnu geometriyu Voni takozh doslidzhuvali vlastivosti krivih ale tilki z geometrichnoyi tochki zoru vikoristovuyuchi pobudovi cirkulem i linijkoyu Zreshtoyu analitichna geometriya vzyala verh nad cim pidhodom oskilki zabezpechuvala matematikiv XVIII stolittya konkretnimi obchislyuvalnimi instrumentami sho dozvolyayut rozv yazuvati fizichni zadachi z vikoristannyam novogo analizu V rezultati do kincya XVIII stolittya vikoristannya algebrichnih metodiv u geometriyi zvodilosya do vikoristannya chislennya neskinchenno malih zokrema jogo aktivno vikoristovuvali Ejler i Lagranzh XIX stolittya U XIX stolitti rozvitok neevklidovoyi geometriyi j teoriyi abelevih integraliv spriyalo povernennyu algebrichnih idej v geometriyu Keli vpershe doslidzhuvav odnoridni mnogochleni na proektivnomu prostori zokrema kvadratichni formi Piznishe Feliks Klyajn doslidzhuvav proektivnu geometriyu yak i inshi rozdili geometriyi z tochki zoru sho geometriya prostoru zadayetsya grupoyu jogo peretvoren Do kincya XIX stolittya geometri vivchali ne tilki proektivni linijni peretvorennya ale i biracionalni peretvorennya bilsh visokogo stepenya Rozvitok teoriyi abelevih integraliv priviv Bernharda Rimana do stvorennya teoriyi rimanovih mnogovidiv Vikoristovuyuchi integrali pershogo rodu German Shvarc doviv sho kriva yaka dopuskaye bezperervnu grupu biracionalnih peretvoren u sebe biracionalno ekvivalentna pryamij abo eliptichnij krivij Algebrichna geometriya drugoyi polovini XIX stolittya predstavlena golovnim chinom italijskoyu shkoloyu vid Kremoni do Enrikvesa U cej period pochalasya algebrizaciya geometriyi z vikoristannyam komutativno algebri zokrema David Gilbert doviv svoyi teoremi pro bazis i pro nuli XX stolittya Ideyi pobudovi algebrichnoyi geometriyi na osnovi komutativnoyi algebri sho intensivno rozvivalasya v 30 h i 40 h rokah XX stolittya shodyat do O Zariskogo i A Vejlya Odniyeyu z yihnih cilej bulo dovedennya rezultativ italijskoyi shkoli italijski geometri togo periodu vikoristovuvali v dovedennyah ponyattya zagalnoyi tochki bez yakogo nebud suvorogo yiyi viznachennya U 1950 h i 60 h rokah Zhan P yer Serr i Aleksandr Grotendik povnistyu pererobili osnovi algebrichnoyi geometriyi za dopomogoyu tehnik teoriyi puchkiv teoriyi shem i gomologichnoyi algebri U 1970 h rozvitok desho stabilizuvavsya bulo znajdeno zastosuvannya v teoriyi chisel i do bilsh klasichnih pitan algebrichnoyi geometriyi vivchennya osoblivostej i moduliv Vazhlivij klas algebrichnih mnogovidiv yaki skladno opisati za dopomogoyu odnih tilki viznachalnih rivnyan abelevi mnogovidi Osnovnij yih priklad eliptichni krivi yaki mayut duzhe shiroku teoriyu Voni stali instrumentom dovedennya Velikoyi teoremi Ferma i vikoristovuyutsya v eliptichnij kriptografiyi Osnovni ponyattyaAfinni mnogovidi Persh za vse treba zafiksuvati osnovne pole k U klasichnij algebrichnij geometriyi yak pravilo vikoristovuyetsya pole kompleksnih chisel prote bagato rezultativ zalishayutsya pravilnimi dlya bud yakogo algebrichno zamknutogo polya v podalshomu vikladi mayetsya na uvazi algebrichna zamknenist Rozglyanemo n vimirnij afinnij prostir A n displaystyle mathbb A n Prichina z yakoyi rozglyadayut ne vektornij prostir nad k polyagaye v tomu shob pidkresliti nezalezhnist vlastivostej mnogovidu vid strukturi vektornogo prostoru Elementi osnovnogo prostoru rozglyadayutsya yak tochki a ne yak vektori Zafiksuyemo v afinnomu prostori yakij nebud bazis zokrema viberemo pochatok koordinat Todi kozhnomu simejstvu S mnogochleniv z kilcya k x1 xn mozhna zistaviti mnozhinu V S tochok koordinati yakih zadovolnyayut vsim mnogochlenam z mnozhini V S t 1 t n p S p t 1 t n 0 displaystyle V S t 1 dots t n forall p in S p t 1 dots t n 0 Naspravdi vlastivist funkciyi buti ru ne zalezhit vid viboru bazisu tomu mozhna govoriti prosto pro polinomialni funkciyi na A n displaystyle mathbb A n i pro mnozhinu spilnih nuliv simejstva takih funkcij Mnozhini yaki mozhna podati u viglyadi V S nazivayutsya algebrichnimi mnozhinami Bud yakij pidmnozhini afinnogo prostoru U mozhna zistaviti mnozhinu I U mnogochleniv rivnih nulyu u vsih tochkah ciyeyi mnozhini Nevazhko pereviriti sho cya mnozhina ye idealom u kilci mnogochleniv Vinikayut dva prirodni pitannya Dlya yakih U vikonuyetsya U V I U Dlya yakih mnozhin mnogochleniv S vikonuyetsya S I V S Ochevidno sho dlya vikonannya pershoyi rivnosti neobhidno shob U bulo algebrichnoyu mnozhinoyu nevazhko takozh pereviriti sho cya umova dostatnya Poshuk vidpovidi na druge pitannya viklikaye veliki trudnoshi Davidom Gilbertom bula dovedena vidoma teorema Gilberta pro nuli zgidno z yakoyu I V S zbigayetsya z radikalom idealu v kilci mnogochleniv porodzhenogo elementami S ce oznachaye sho isnuye biyektivna vidpovidnist mizh algebrichnimi mnozhinami i radikalnimi idealami kilcya mnogochleniv Teorema Gilberta pro bazis stverdzhuye sho vsi ideali v kilci mnogochleniv ye ru tobto bud yaku algebrichnu mnozhinu mozhna zadati skinchennim chislom rivnyan Algebrichna mnozhina nazivayetsya nezvidnoyu yaksho yiyi ne mozhna podati u viglyadi ob yednannya dvoh menshih algebrichnih mnozhin Afinnij algebrichnij mnogovid ce nezvidna algebrichna mnozhina algebrichnoyu movoyu afinnim mnogovidam vidpovidayut prosti ideali kilcya mnogochleniv Bud yaku algebrichnu mnozhinu mozhna podati u viglyadi ob yednannya skinchennogo chisla algebrichnih mnogovidiv zhodnij z yakih ne ye pidmnozhinoyu inshogo i pritomu yedinim chinom Deyaki avtori ne provodyat terminologichnogo rozriznennya mizh algebrichnimi mnozhinami i algebrichnimi mnogovidami i zamist cogo vikoristovuyut termin nezvidna algebrichna mnozhina abo nezvidnij mnogovid Regulyarni funkciyi Dokladnishe Golomorfna funkciya Regulyarna funkciya na algebrichnij mnozhini V A n displaystyle V subset mathbb A n ce funkciya yaka ye obmezhennyam na V deyakoyi polinomialnoyi funkciyi Regulyarni funkciyi na V utvoryuyut kilce k V zvane koordinatnim kilcem ciyeyi mnozhini Ce kilce izomorfne faktorkilcyu kilcya mnogochleniv z I V dijsno yaksho f i g mayut odne i te zh obmezhennya na V to f g nalezhit I V Prirodnim chinom viznachayutsya regulyarni vidobrazhennya mizh algebrichnimi mnozhinami A same regulyarne vidobrazhennya f X A n displaystyle f X to mathbb A n maye viglyad f 1 f 2 f n displaystyle f 1 f 2 ldots f n de f i displaystyle f i regulyarni funkciyi Regulyarne vidobrazhennya v algebrichnu mnozhinu Y A n displaystyle Y in mathbb A n ce regulyarna funkciya f X A n displaystyle f X to mathbb A n taka sho f X Y displaystyle f X subseteq Y Yaksho zadano regulyarne vidobrazhennya f X Y displaystyle f X to Y bud regulyarnoyi funkciyi f Y A 1 displaystyle varphi Y to mathbb A 1 mozhna zistaviti regulyarnu funkciyu na f f X A 1 displaystyle f varphi X to mathbb A 1 za pravilom f f f f displaystyle f varphi varphi circ f Vidobrazhennya f f f displaystyle varphi mapsto varphi circ f ye gomomorfizmom kilec f k Y k X displaystyle f k Y to k X tak samo i kozhen gomomorfizm koordinatnih kilec viznachaye regulyarne vidobrazhennya algebrichnih mnozhin u zvorotnomu napryamku Z cih vidpovidnostej mozhna vivesti sho kategoriya algebrichnih mnozhin morfizmi yakoyi regulyarni funkciyi dvoyista kategoriyi skinechnnoporodzhenih k algebr bez nilpotentiv Viyavlennya ciyeyi ekvivalentnosti stalo pochatkovoyu tochkoyu teoriyi shem Racionalni funkciyi Na vidminu vid poperednogo punktu tut bude rozglyanuto tilki nezvidni algebrichni mnogovidi Z inshogo boku ci viznachennya mozhna poshiriti na proektivni mnogovidi Yaksho V afinnij mnogovid jogo koordinatne kilce cilisne i otzhe maye pole chastok Ce pole poznachayetsya k V i nazivayetsya polem racionalnih funkcij na V Oblast viznachennya racionalnoyi funkciyi ne obov yazkovo dorivnyuye vsomu V a dorivnyuye dopovnennyu mnozhini na yakij yiyi znamennik dorivnyuye nulyu Analogichno vipadku regulyarnih funkcij viznachayetsya racionalne vidobrazhennya mizh mnogovidami analogichno racionalni vidobrazhennya vzayemno odnoznachno vidpovidayut gomomorfizmam poliv racionalnih funkcij Dva afinni mnogovidi nazivayutsya biracionalno ekvivalentnimi yaksho isnuyut dva racionalnih vidobrazhennya mizh nimi yaki vzayemno oberneni na oblastyah viznachennya ekvivalentno polya racionalnih funkcij cih mnogovidiv izomorfni Afinnij mnogovid nazivayetsya racionalnim mnogovidom yaksho vin biracionalno ekvivalentnij afinnomu prostoru Inshimi slovami jogo mozhna racionalno parametrizuvati Napriklad odinichne kolo ye racionalnoyu krivoyu oskilki isnuyut funkciyi x 2 t 1 t 2 displaystyle x frac 2 t 1 t 2 y 1 t 2 1 t 2 displaystyle y frac 1 t 2 1 t 2 yaki zadayut racionalne vidobrazhennya z pryamoyi v kolo Mozhna pereviriti sho j zvorotne vidobrazhennya racionalne div takozh Stereografichna proyekciya Shemi V kinci 1950 h rokiv Oleksandr Grotendik dav viznachennya shemi sho uzagalnyuye ponyattya algebrichnogo mnogovidu Afinna shema ce spektr deyakogo kilcya v klasichnij geometriyi kilcya mnogochleniv razom z puchkom kilec na nomu kozhnij vidkritij mnozhini zistavlyayutsya racionalni funkciyi viznacheni v kozhnij tochci mnozhini Afinni shemi utvoryuyut kategoriyu yaka dvoyista kategoriyi komutativnih kilec ce rozshiryuye dvoyistist algebrichnih mnozhin ta algebri bez nilpotentiv Zagalni shemi ye rezultatom ob yednannya kilkoh afinnih shem yak topologichnih prostoriv z topologiyeyu Zariskogo Dijsna algebrichna geometriyaDijsna algebrichna geometriya vivchennya dijsnih algebrichnih mnozhin tobto dijsnih rozv yazkiv algebrichnih rivnyan z dijsnimi koeficiyentami ta vidobrazhen mizh nimi Napivalgebrichna geometriya vivchennya napivalgebrichnih mnozhin tobto mnozhin dijsnih rozv yazkiv algebrichnih rivnyan i nerivnostej z dijsnimi koeficiyentami a takozh vidobrazhen mizh nimi Obchislyuvalna algebrichna geometriyaBazis Grobnera Bazis Grobnera ce sistema elementiv sho porodzhuyut danij ideal u kilci mnogochleniv nad polem ne obov yazkovo algebrichno zamknutim obchislennya bazisu Grobnera dozvolyaye viznachiti deyaki vlastivosti algebrichnoyi mnozhini V viznachenoyi cim idealom u algebrichno zamknutomu rozshirenni napriklad sistema rivnyan z dijsnimi koeficiyentami prirodnim chinom viznachaye mnozhinu kompleksnih chisel sho zadovolnyayut vsim rivnyannyam V porozhnya v algebrichno zamknutomu rozshirenni pochatkovogo polya todi i tilki todi koli bazis Grobnera skladayetsya z odniyeyi odinici Ryadi Gilberta dozvolyayut obchisliti rozmirnist mnogovidu V Yaksho rozmirnist dorivnyuye nulyu isnuye sposib obchisliti kilkist zavzhdi skinchennu tochok mnogovidu Dlya danogo racionalnogo vidobrazhennya V v inshij algebrichnij mnogovid bazis Grobnera dozvolyaye obchisliti zamikannya obrazu V v topologiyi Zariskogo ta kritichni tochki vidobrazhennya Informaciyi pro bazis Grobnera nedostatno dlya obchislennya rozkladu ciyeyi mnozhini na nezvidni komponenti prote isnuyut algoritmi rozv yazuvnnya ciyeyi zadachi sho vikoristovuyut zokrema i jogo U deyakih vipadkah obchislennya bazisu Grobnera ye dosit skladnim u girshomu vipadku vin mozhe mistiti mnogochleni stepin yakih zalezhit yak podvijna eksponenta viraz vidu a b x displaystyle a b x vid chisla zminnih u kilci mnogochleniv chislo elementiv bazisu mozhe zrostati z tiyeyu zh shvidkistyu Vtim ce verhnya mezha skladnosti i v bagatoh vipadkah za dopomogoyu cih algoritmiv mozhna pracyuvati z kilcyami mnogochleniv vid dekilkoh desyatkiv zminnih ZastosuvannyaAlgebrichna geometriya znahodit zastosuvannya v statistici teoriyi upravlinnya robototehnici teoriyi kodiv sho vipravlyayut pomilki i modelyuvanni Vidomi takozh zastosuvannya v teoriyi strun teoriyi solitoniv teoriyi igor i teoriyi paruvan Div takozhAnalitichna geometriya Algebrichnij mnogovid Diferencialna geometriya Komutativna algebra Proektivnij prostir Prostir moduliv Golomorfna funkciya Shema matematika Algebrichna geometriya nad algebrichnimi sistemami Algebrichna teoriya grafiv Algebrichna poverhnya Racionalna poverhnyaLiteraturaUkrayinskoyu Drozd Yu A 2004 Lviv VNTL Klasika ISBN 9667493539 Arhiv originalu za 27 serpnya 2016 Procitovano 16 chervnya 2016 PDF 22 travnya 2011 u Wayback Machine ukr Inshimi movami Harris Joe 1995 Algebraic Geometry A First Course Springer Verlag ISBN 0 387 97716 3 angl Reid Miles 1988 Undergraduate Algebraic Geometry Cambridge University Press ISBN 0 521 35662 8 angl Cox David A Little John O Shea Donal 1997 Ideals Varieties and Algorithms vid 2nd Springer Verlag ISBN 0 387 94680 2 angl Elkadi Mohamed Mourrain Bernard Piene Ragni red 2006 Algebraic geometry and geometric modeling Springer Verlag angl Alexander Grothendieck Publications mathematiques de l IHES 1960 fr Mamford D Algebraicheskaya geometriya Kompleksnye proektivnye mnogoobraziya per s angl Yu I Manina Mir M 1979 ros Mamford D Krasnaya kniga o mnogoobraziyah i shemah per s angl S M Lvovskogo M MCNMO 2007 ros Harris Dzh Algebraicheskaya geometriya Nachalnyj kurs per s angl pod red F L Zaka M MCNMO 2005 Hartshorn R Algebraicheskaya geometriya per s angl V A Iskovskih M Mir 1981 ros Hodzh V Pido D Metody algebraicheskoj geometrii v 3 tomah M IL 1954 1955 Shafarevich I R Osnovy algebraicheskoj geometrii 3 e ispr i dop M MCNMO 2007 ros Dickenstein Alicia Schreyer Frank Olaf Sommese Andrew J red 2008 Algorithms in Algebraic Geometry The IMA Volumes in Mathematics and its Applications T 146 Springer ISBN 9780387751559 LCCN 2007938208 Navchalni materialiYurij Drozd 2001 Vstup do algebrichnoyi geometriyi 22 travnya 2011 u Wayback Machine Kiyivskij Universitet imeni Tarasa Shevchenka Kurs lekcij ukr Yurij Drozd 2001 Algebrichna geometriya i yiyi zastosuvannya 22 travnya 2011 u Wayback Machine Kiyivskij Universitet imeni Tarasa Shevchenka Kurs lekcij ukr Yurij Drozd Institut matematiki NAN Ukrayini kurs video lekcij ukr Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 1 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 2 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 3 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 4 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 5 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 6 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 7 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 8 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 9 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 10 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 11 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 12 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 13 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 14 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 15 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 16 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 17 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 18 na YouTube Vstup do algebrichnoyi geometriyi Lekciya 19 na YouTubePosilannyaAndreas Gathmann 2014 Technische Universitat Kaiserslautern Kurs lekcij angl Lee A Butler 2007 2009 Algebraic geometry notes nedostupne posilannya z chervnya 2019 Mathematics department University of Bristol Kurs lekcij angl ALGEBRI ChNA GEOME TRIYa 21 kvitnya 2016 u Wayback Machine ESU Ravi Vakil The Rising Sea Foundations Of Algebraic Geometry Notes 30 bereznya 2013 u Wayback Machine zapiski kursu algebrichnoyi geometriyi v Stenfordskomu universiteti Alexander Grothendieck fr PrimitkiDieudonne Jean 1972 The historical development of algebraic geometry The American Mathematical Monthly 79 8 827 866 doi 10 2307 2317664 JSTOR 2317664 Kline M 1972 Mathematical Thought from Ancient to Modern Times Volume 1 Oxford University Press pp 193 195 Hartshorn 1981 s 18 Hartshorn 1981 s 22 Mathias Drton Bernd Sturmfels Seth Sullivant 2009 Lectures on Algebraic Statistics 20 lyutogo 2014 u Wayback Machine Springer ISBN 978 3 7643 8904 8 Peter L Falb 1990 1 27 chervnya 2014 u Wayback Machine Birkhauser ISBN 978 3 7643 3454 3 J M Selig 205 Geometric fundamentals of robotics 20 lyutogo 2014 u Wayback Machine Springer ISBN 978 0 387 20874 9 Michael A Tsfasman Serge G Vlăduț Dmitry Nogin 2007 Algebraic geometric codes basic notions 20 lyutogo 2014 u Wayback Machine AMS Bookstore ISBN 978 0 8218 4306 2 Bert Juttler Ragni Piene 2007 Geometric modeling and algebraic geometry 20 lyutogo 2014 u Wayback Machine Springer ISBN 978 3 540 72184 0 David A Cox Sheldon Katz 1999 Mirror symmetry and algebraic geometry 20 lyutogo 2014 u Wayback Machine AMS Bookstore ISBN 978 0 8218 2127 5 IM Krichever and PG Grinevich Algebraic geometry methods in soliton theory Chapter 14 of Soliton theory 20 lyutogo 2014 u Wayback Machine Allan P Fordy Manchester University Press ND 1990 ISBN 978 0 7190 1491 8 Blume L E Zame W R 1994 The algebraic geometry of perfect and sequential equilibrium PDF ru 62 4 783 794 JSTOR 2951732 nedostupne posilannya z travnya 2019 Richard Kenyon Andrei Okounkov Scott Sheffield 2003 Dimers and Amoebae arXiv math ph 0311005 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite arXiv title Shablon Cite arXiv cite arXiv a Proignorovano class dovidka