Лемніскатна еліптична функція

У математиці лемніскатна еліптична функція — це еліптична функція, що пов'язана з довжиною дуги лемніскати Бернуллі.

Лемніскатна функція синуса (червона) та лемніскатна функція косинуса (фіолетова) дійсного аргументу ${\displaystyle x}$ у порівнянні з тригонометричною функцією синус ${\displaystyle y=\sin(\pi x\omega )}$ (блідно-червона пунктирна лінія).

Вперше вона була досліджена ^[en] у 1718 році, та пізніше Леонардом Ейлером, Карлом Фрідріхом Гаусом та іншими.

Лемніскатні функції синуса та косинуса, для позначення яких зазвичай використовують символи ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ й ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ (іноді ${\displaystyle \operatorname {sinlem} }$, ${\displaystyle \operatorname {coslem} }$ або ${\displaystyle \operatorname {sinlemn} }$ та ${\displaystyle \operatorname {coslemn} }$), є аналогами тригонометричних функцій синуса та косинуса. У той час як тригонометричний синус пов'язує довжину дуги з довжиною хорди в колі одиничного діаметра ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x}$, лемніскатний синус пов'язує довжину дуги з довжиною хорди лемніскати ${\displaystyle {\big (}x^{2}+y^{2}{\big )}^{2}=x^{2}-y^{2}}$.

Періоди лемніскатних функції пов'язані з числом ${\displaystyle \varpi =2{,}622057\dots }$, яке називають лемніскатною константою, що є відношенням лемніскатного периметра до його діаметра.

Функції ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ та ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ мають квадратну ^[en] (кратну гауссовим цілим числам) з ^[en]${\displaystyle {\big \{}(1+{\rm {i}})\varpi ,(1-{\rm {i}})\varpi {\big \}}}$, і є окремим випадком двох еліптичних функцій Якобі на цій ґратці, ${\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatorname {sn} (z;{\rm {i}})}$, ${\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {cd} (z;{\rm {i}})}$.

Аналогічно, гіперболічні лемніскатичні функції ${\displaystyle \operatorname {slh} }$ та ${\displaystyle \operatorname {clh} }$ мають квадратну періодичну ґратку з фундаментальними періодами ${\displaystyle {\big \{}{\sqrt {2}}\varpi ,{\sqrt {2}}\varpi {\rm {i}}{\big \}}}$.

Лемніскатні функції та гіперболічні функції пов'язані з еліптичною функцією Веєрштраса ${\displaystyle \wp (z;a,0)}$.

Лемніскатні функції синуса та косинуса

Означення

Лемніскатні функції ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ та ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ можна визначити відповідно як розв'язки задач Коші:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\operatorname {sl} z={\big (}1+\operatorname {sl} ^{2}z{\big )}\operatorname {cl} z,\quad \operatorname {sl} (0)=0,\\&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\operatorname {cl} z=-{\big (}1+\operatorname {cl} ^{2}z{\big )}\operatorname {sl} z,\quad \operatorname {cl} (0)=1,\end{aligned}}}$

або, еквівалентно, визначити як обернені функції для еліптичного інтеграла, тобто як ^[en] з одиничного круга комплексної площини у квадрат з кутами ${\displaystyle {\big \{}{\tfrac {1}{2}}\varpi ,{\tfrac {1}{2}}\varpi {\rm {i}},-{\tfrac {1}{2}}\varpi ,-{\tfrac {1}{2}}\varpi {\rm {i}}{\big \}}}$:

${\displaystyle z=\int _{0}^{\operatorname {sl} z}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=\int _{\operatorname {cl} z}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.}$

Поза цим квадратом функції можуть бути аналітично продовжені на всю комплексну площину за допомогою серій віддзеркалень.

Для порівняння, функції синуса і косинуса на колі можна визначити, відповідно, як розв'язки задач Коші:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\sin z=\cos z,\quad \sin(0)=0,\\&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\cos z=-\sin z,\quad \cos(0)=1,\end{aligned}}}$

або як обернені функції для відображення з верхньої півплощини в напівнескінченну смугу з дійсними частинами між ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\pi }$ та ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$, і додатною уявною частиною:

${\displaystyle z=\int _{0}^{\sin z}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{2}}}}=\int _{\cos z}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{2}}}}.}$

Довжина кривої лемніскати Бернулі

Лемніскатні функції синуса та косинуса пов'язують довжину кривої лемніскати з відстанню від кінцевої точки до початку координат.

Тригонометричні функції синуса та косинуса аналогічно пов'язують довжину дуги кола одиничного діаметра з відстанню від кінцевої точки до початку координат.

Лемніската Бернулі з напівшириною 1 є геометричним місцем точок на площині таких, що добуток відстані від яких до двох фокусних точок ${\displaystyle F_{1}={\big (}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},0{\big )}}$ та ${\displaystyle F_{2}={\big (}{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},0{\big )}}$ є константа ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. Це є ^[en], що задовольняє рівняння ${\displaystyle r^{2}=\cos 2\theta }$ в полярних координатах або рівняння ${\displaystyle {\big (}x^{2}+y^{2}{\big )}^{2}=x^{2}-y^{2}}$ в декартових координатах. Точки на лемніскаті на відстані ${\displaystyle r}$ від початку координат є перетинами кола ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ та гіперболи ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=r^{4}}$. Точка перетину у першій чверті має наступні декартові координати:

${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}={\bigg (}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\big (}1+r^{2}{\big )}}},{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\big (}1-r^{2}{\big )}}}{\bigg )}.}$

Використовуючи параметризацію з ${\displaystyle r\in [0,1]}$ для чверті лемніскати, довжину кривої від початку координат до точки ${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}}$ дорівнює:

${\displaystyle \int _{0}^{r}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,{\rm {d}}t=\int _{0}^{r}{\sqrt {{\frac {(1+2t^{2})^{2}}{2(1+t^{2})}}+{\frac {(1-2t^{2})^{2}}{2(1-t^{2})}}}}\,{\rm {d}}t=\int _{0}^{r}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=\operatorname {arcsl} r.}$

Аналогічно, довжина кривої від точки ${\displaystyle (1,0)}$ до точки ${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}}$ дорівнює:

${\displaystyle \int _{r}^{1}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}{\rm {d}}t=\int _{r}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=\operatorname {arccl} r={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} r.}$

Або у зворотньому порядку, за допомогою лемніскатних функцій синуса та косинуса визначають відстань від початку координат як функції довжини кривої, відповідно від початку координат до точки ${\displaystyle (1,0)}$. Аналогічно, функції синуса та косинуса пов'язують довжину хорди з довжиною кривої в колі одиничного діаметра, яке задається рівнянням ${\displaystyle r=\cos \theta }$ в полярних координатах, або рівнянням ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x}$ в декартових координатах, використовуючи вищезгадані аргументи, але з параметризацією:

${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}r^{2},{\sqrt {r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}}}{\biggr )}.}$

Лемніскатний інтеграл та лемніскатні функції задовольняють тотожності подвійного аргументу, яку запропонував Фаньяно у 1718 році:

${\displaystyle \int _{0}^{z}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}=2\int _{0}^{u}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}},}$

якщо

${\displaystyle z={\frac {2u{\sqrt {1-u^{4}}}}{1+u^{4}}}\quad {\text{та}}\quad 0\leq u\leq {\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}.}$

Пізніше математики узагальнили цей результат. За аналогією з ^[en] на колі лемніскату можна розділити на ${\displaystyle n}$ сегментів однакової довжини дуг, використовуючи тільки циркуль та лінійку тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle n}$ має вигляд ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}}$, де ${\displaystyle k}$ — натуральне число, а всі ${\displaystyle p_{j}}$ (якщо є) — різні числа Ферма. «Необхідність» в теоремі була доведена Нільсом Абелем в 1827—1828 роках, а «достатність» була доведена ^[en] в 1981 році. Еквівалентно, лемніскату можна розділити на ${\displaystyle n}$ сегментів рівної довжини дуг, використовуючи тільки циркуль та лінійку, тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle \log _{2}\varphi (n)}$ є натуральним числом (де ${\displaystyle \varphi (n)}$ є функцією Ейлера). Лемніската не вважається намальованою, а теорема відноситься лише до побудови точок поділу. Нехай ${\displaystyle r_{j}=\operatorname {sl} {\tfrac {2j\varpi }{n}}}$, тоді ${\displaystyle n}$ точками поділу для лемніскати ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=x^{2}-y^{2}}$ є

${\displaystyle \left(r_{j}{\sqrt {\frac {1+r_{j}^{2}}{2}}},(-1)^{\left\lfloor {\frac {1}{2}}-{\frac {2j}{n}}\right\rfloor }r_{j}{\sqrt {\frac {1-r_{j}^{2}}{2}}}\right),\quad j\in \{1,2,\ldots ,n\},}$

де ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ — функція підлоги. Нижче наведені деякі частинні значення для ${\displaystyle \operatorname {sl} {\tfrac {2\varpi }{n}}}$.

Довжина дуги кривої пружного деформування

Лемніскатна функція синуса пов'язує довжину дуги з координатою ${\displaystyle x}$ кривої пружного деформування.

Обернена функція лемніскати синуса описує довжину ${\displaystyle s}$ дуги відносно координати ${\displaystyle x}$ ^[en]. Ця крива має координату ${\displaystyle y}$ і довжину дуги:

${\displaystyle y=\int _{x}^{1}{\frac {t^{2}\,{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}},\quad s=\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.}$

Крива пружного деформування є розв'язком задачі, яку запропонував Якоб Бернуллі в 1691 для опису форм ідеалізованого гнучкого стержня, зафіксованого у вертикальному положенні у нижньому кінці і який відтягується від верхнього кінця до горизонтально положення. Запропонований Бернуллі розв'язок став основою теорії балки Ейлера--Бернуллі, яка була розроблена Ейлером в 18 столітті.

Лемніскатна константа

Функція ${\displaystyle \operatorname {sl} z}$ на комплексній площині. На рисунку видно, що фундаментальні періоди ${\displaystyle (1+{\rm {i}})\varpi }$ та ${\displaystyle (1-{\rm {i}})\varpi }$ є «мінімальними», тобто мають найменше абсолютне значення з всіх періодів, дійсна частина яких невід'ємна.

Лемніскатні функції мають мінімальний період ${\displaystyle 2\varpi }$ і фундаментальні комплексні періоди ${\displaystyle (1+{\rm {i}})\varpi }$ та ${\displaystyle (1-{\rm {i}})\varpi }$ для константи ${\displaystyle \varpi }$ (у позначеннях Гауса), яку називають лемніскатною константою,

${\displaystyle {\begin{aligned}\varpi &=2\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}t}{\sqrt {t-t^{3}}}}\\&=4\int _{0}^{\infty }\left({\sqrt[{4}]{1+t^{4}}}-t\right)\,{\rm {d}}t=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{1}{\sqrt[{4}]{1-t^{4}}}\mathop {{\rm {d}}t} =3\int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{4}}}\,{\rm {d}}t\\&=2K({\rm {i}})={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{2{\sqrt {2\pi }}}}={\sqrt {\pi }}{\rm {e}}^{\beta '(0)}={\frac {2-{\sqrt {2}}}{4}}{\frac {\zeta (3/4)^{2}}{\zeta (1/4)^{2}}}\\&=2{,}62205\;75542\;92119\;81046\;48395\;89891\;11941\ldots ,\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle K}$ — повний еліптичний інтеграл першого роду з модулем ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle {\rm {B}}}$ —— бета-функція, ${\displaystyle \gamma }$ — гамма-функція, ${\displaystyle \beta '}$ — похідна бета-функції Діріхле, ${\displaystyle \varsigma }$ — дзета-функція Рімана. Однак іноді величину ${\displaystyle 2\varpi }$ називають лемніскатною константою, і одна з «лемніскатних констант» Джона Тодда — це величина ${\displaystyle \varpi /2}$. Тут використовується лише позначення Гауса для опису лемніскатної константи. Геометрично, ${\displaystyle \varpi }$ є відношенням периметра лемніскати Бернуллі до її діаметра. Трансцендентність лемніскатної константи була доведена ^[en] в 1937 році. У 1975 році Григорій Чудновський довів, що ${\displaystyle \pi }$ і ${\displaystyle \varpi }$ є алгебраїчно незалежними над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Пов'язана константа ${\displaystyle G=\varpi /\pi =0{,}8346\ldots }$ є константою Гаусса.

Геометричне зображення констант ${\displaystyle \varpi /2}$ та ${\displaystyle \varpi /{\sqrt {2}}}$.

Лемніскатні функції задовольняють основне співвідношення${\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )}.}$

Крім того, константа ${\displaystyle \varpi }$ пов'язана з площею під кривою ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=1}$. Нехай ${\displaystyle \pi _{n}:={\rm {B}}{\bigl (}{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}}$, тоді подвійна площа в першій чверті під кривою ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$ дорівнює ${\displaystyle 2\int _{0}^{1}{\sqrt[{n}]{1-x^{n}}}\,{\rm {d}}x={\tfrac {1}{n}}\pi _{n}.}$ У випадку рівняння четвертого порядку: ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi _{4}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\varpi }$.

У 1738 році Ейлер відкрив, що для кривої пружного деформування:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arc} \operatorname {length} \cdot \operatorname {height} =\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{4}}}}\cdot \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}\,{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{4}}}}={\frac {\varpi }{2}}\cdot {\frac {\pi }{2\varpi }}={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}$

Формула Вієта для числа ${\displaystyle \pi }$ може бути записана як

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots .\end{aligned}}}$

Аналогічна формула для ${\displaystyle \varpi }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\varpi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\Bigg /}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}/{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots .\end{aligned}}}$

Формула Валіса для ${\displaystyle \pi }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{(-1)^{n+1}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\biggl (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\biggr )}\cdots .\end{aligned}}}$

Аналогічна формула для ${\displaystyle \varpi }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\varpi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)^{(-1)^{n+1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n-1}{4n-2}}\cdot {\frac {4n}{4n+1}}\right)=\\&={\biggl (}{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {7}{6}}\cdot {\frac {8}{9}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {11}{10}}\cdot {\frac {12}{13}}{\biggr )}\cdots .\end{aligned}}}$

Пов'язаною з цим результатом є формула:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\varpi }{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n-1}{4n}}\cdot {\frac {4n+2}{4n+1}}\right)={\biggl (}{\frac {3}{4}}\cdot {\frac {6}{5}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {7}{8}}\cdot {\frac {10}{9}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {11}{12}}\cdot {\frac {14}{13}}{\biggr )}\cdots .\end{aligned}}}$

Нескінченний ряд для ${\displaystyle \varpi /\pi }$ отриманий Гауссом має вигляд:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\varpi }{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\prod _{k=1}^{n}{\frac {(2k-1)^{2}}{(2k)^{2}}}=1-{\frac {1^{2}}{2^{2}}}+{\frac {1^{2}\cdot 3^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}}}-{\frac {1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}}{2^{2}\cdot 4^{2}\cdot 6^{2}}}+\cdots .\end{aligned}}}$

^[en] для ${\displaystyle \pi }$ має вигляд ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\operatorname {arctg} {\tfrac {1}{5}}-\operatorname {arctg} {\tfrac {1}{239}}}$, і декілька аналогічних формул для ${\displaystyle \pi }$ можна отримати з використанням тригонометричних формул для суми кутів, наприклад, формула Ейлера ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi =\operatorname {arctg} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arctg} {\tfrac {1}{3}}.}$ Аналогічні формули можна записати і для ${\displaystyle \varpi }$, включаючи ті, що знайшов Гаусс:${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi =2\operatorname {arcsl} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arcsl} {\tfrac {7}{23}}.}$ Лемніскатну константу можна швидко обчислити за допомогою ряду:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varpi =2^{-1/2}\pi \left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\rm {e}}^{-\pi n^{2}}\right)^{2}=2^{1/4}\pi {\rm {e}}^{-\pi /12}\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-\pi p_{n}}\right)^{2},\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle p_{n}=(3n^{2}-n)/2}$ (для ${\displaystyle n\geq 1}$, це п'ятикутне число), або з використанням середнього арифметико-геометричного ${\displaystyle \operatorname {M} }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varpi ={\frac {\pi }{\operatorname {M} {\big (}1,{\sqrt {2}}{\big )}}}.\end{aligned}}}$

У дусі аналогічному до базельської задачі можна записати наступну формулу:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{z\in \mathbb {Z} [{\rm {i}}]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}({\rm {i}})={\frac {\varpi ^{4}}{15}},\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\rm {i}}]}$ — гауссові числа, ${\displaystyle G_{4}(\tau )}$ — ряд Ейзенштейна з вагою 4.

Нулі, полюси і симетрії

При зсуві на ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi }$ лемніскатні функції ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ і ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ переходять одна в одну, а при зсуві на ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\rm {i}}\varpi }$ функції є додатково повернутими та взаємооберненими:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&\operatorname {cl} {\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}=\mp \operatorname {sl} z,\quad &&\operatorname {cl} {\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}{\rm {i}}\varpi {\bigr )}={\frac {\mp {\rm {i}}}{\operatorname {sl} z}},\\&\operatorname {sl} {\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}\varpi {\bigr )}=\pm \operatorname {cl} z,\quad &&\operatorname {sl} {\bigl (}z\pm {\tfrac {1}{2}}{\rm {i}}\varpi {\bigr )}={\frac {\pm {\rm {i}}}{\operatorname {cl} z}}.\end{alignedat}}}$

Подвоєння цих зсувів одиничними елементами гауссових цілих чисел кратних ${\displaystyle \varpi }$ (тобто ${\displaystyle \pm \varpi }$ або ${\displaystyle \pm {\rm {i}}\varpi }$) приводить до зміни знаку функцій (інволюції):

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} (z+\varpi )=\operatorname {cl} (z+{\rm {i}}\varpi )=-\operatorname {cl} z,\\\operatorname {sl} (z+\varpi )=\operatorname {sl} (z+{\rm {i}}\varpi )=-\operatorname {sl} z.\end{aligned}}}$

Як наслідок, обидві функції інваріантні відносно зсуву на парне гаусове ціле число кратне ${\displaystyle \varpi }$. Тобто, перестановка ${\displaystyle (a+b{\rm {i}})\varpi }$ ${\displaystyle a+b=2k}$ для цілих чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {cl} {\bigl (}z+(1+{\rm {i}})\varpi {\bigr )}=\operatorname {cl} {\bigl (}z+(1-{\rm {i}})\varpi {\bigr )}=\operatorname {cl} z,\\&\operatorname {sl} {\bigl (}z+(1+{\rm {i}})\varpi {\bigr )}=\operatorname {sl} {\bigl (}z+(1-{\rm {i}})\varpi {\bigr )}=\operatorname {sl} z.\end{aligned}}}$

Це робить їх еліптичними функціями (двічі періодичні мероморфні функції в комплексній площині) з діагонально-квадратною ^[en] фундаментальних періодів ${\displaystyle (1+{\rm {i}})\varpi }$ та ${\displaystyle (1-{\rm {i}})\varpi }$.

Еліптичні функції з періодичною квадратною ґраткою більш симетричні, ніж довільні еліптичні функції, що слідують симетрії ґратки.

Віддзеркалення і повороти на чверть обороту аргументів лемніскатної функції мають прості вирази:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {cl} {\bar {z}}={\overline {\operatorname {cl} z}},\\&\operatorname {sl} {\bar {z}}={\overline {\operatorname {sl} z}},\\&\operatorname {cl} {\rm {i}}z={\frac {1}{\operatorname {cl} z}},\\&\operatorname {sl} {\rm {i}}z={\rm {i}}\operatorname {sl} z.\end{aligned}}}$

Функція ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ має прості нулі в гаусових цілих числах кратних ${\displaystyle \varpi }$, комплексних числах вигляду ${\displaystyle a\varpi +b\varpi {\rm {i}}}$ для цілих чисел ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$. Вона має прості полюси у гаусових напівцілих числах кратних ${\displaystyle \varpi }$, комплексних числах вигляду ${\displaystyle {\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi {\rm {i}}}$ з лишком ${\displaystyle (-1)^{a-b+1}{\rm {i}}}$. Функція ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ віддзеркалюється і зміщується від функції ${\displaystyle \operatorname {sl} }$, ${\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {sl} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )}}$. Вона має нулі при аргументах ${\displaystyle {\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi +b\varpi {\rm {i}}}$ і полюси при аргументах ${\displaystyle a\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi {\rm {i}}}$ з лишками ${\displaystyle (-1)^{a-b}{\rm {i}}}$.

Оскільки лемніскатний синус є мероморфною функцією, то його можна записати як відношення голоморфних функцій. Гаусс показав, що функція ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ має наступний розклад через добутки, який відображає розподіл його нулів і полюсів:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} z={\frac {M(z)}{N(z)}},\end{aligned}}}$

де

${\displaystyle {\begin{aligned}M(z)=z\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {z^{4}}{\alpha ^{4}}}\right),\quad N(z)=\prod _{\beta }\left(1-{\frac {z^{4}}{\beta ^{4}}}\right).\end{aligned}}}$

Тут, ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ — відповідно нулі та полюси функції ${\displaystyle \operatorname {sl} }$, які знаходяться у першій чверті ${\displaystyle \operatorname {Re} z>0}$, ${\displaystyle \operatorname {Im} z\geq 0}$. Гаусс висунув гіпотезу, що ${\displaystyle \ln N(\varpi )=\pi /2}$ (пізніше це було доведено), і зауважив, що це «чудова властивість і її доведення обіцяє серйозний прогрес в аналізі».

Існують також нескінченні ряди, що відображають розподіл нулів і полюсів функції ${\displaystyle \operatorname {sl} }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{\operatorname {sl} z}}=\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+n\varpi +k\varpi {\rm {i}}}},\\&\operatorname {sl} z=-{\rm {i}}\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+(n+1/2)\varpi +(k+1/2)\varpi {\rm {i}}}}.\end{aligned}}}$

Тотожність піфагорійського типу

Криві ${\displaystyle x^{2}\bigoplus y^{2}=a}$ при різних значеннях ${\displaystyle a}$: для від'ємних ${\displaystyle a}$ — зелені, для додатних ${\displaystyle a}$ — сині, ${\displaystyle a=\pm }$ — червоні, ${\displaystyle a=\infty }$ — чорні.

Лемніскатні функції задовольняють тотожність піфагорійського типу:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} ^{2}z+\operatorname {sl} ^{2}z+\operatorname {cl} ^{2}z\operatorname {sl} ^{2}z=1.\end{aligned}}}$

Як результат, ${\displaystyle (x,y)=(\operatorname {cl} t,\operatorname {sl} t)}$ — параметричне рівняння для ^[en]${\displaystyle x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}=1}$.

Цю тотожність можна також представити як

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl (}1+\operatorname {cl} ^{2}z{\bigr )}{\bigl (}1+\operatorname {sl} ^{2}z{\bigr )}=2,\\&\operatorname {cl} ^{2}z={\frac {1-\operatorname {sl} ^{2}z}{1+\operatorname {sl} ^{2}z}},\quad \operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1-\operatorname {cl} ^{2}z}{1+\operatorname {cl} ^{2}z}}.\end{aligned}}}$

Позначивши оператор тангенса суми як ${\displaystyle a\oplus b:=\operatorname {tg} (\operatorname {arctg} a+\operatorname {arctg} b)}$, отримуємо

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} ^{2}z\oplus \operatorname {sl} ^{2}z=1.\end{aligned}}}$

Похідні та інтеграли

Похідні:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=\operatorname {cl} 'z=-{\bigl (}1+\operatorname {cl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {sl} z=-{\frac {2\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} ^{2}z+1}},\\&\operatorname {cl} '^{2}z=1-\operatorname {cl^{4}} z,\\&{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\operatorname {sl} z=\operatorname {sl} 'z={\bigl (}1+\operatorname {sl} ^{2}z{\bigr )}\operatorname {cl} z={\frac {2\operatorname {cl} z}{\operatorname {cl} ^{2}z+1}},\\&\operatorname {sl} '^{2}z=1-\operatorname {sl} ^{4}z.\end{aligned}}}$

Другі похідні лемніскатних функцій синуса і косинуса є їх від'ємними подвійними кубами:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}^{2}}{{\rm {d}}z^{2}}}\operatorname {cl} z=-2\operatorname {cl} ^{3}z,\\{\frac {{\rm {d}}^{2}}{{\rm {d}}z^{2}}}\operatorname {sl} z=-2\operatorname {sl} ^{3}z.\end{aligned}}}$

Інтеграли від лемніскатні функції виражаються через функцію арктангенс:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \operatorname {cl} z\,{\rm {d}}z=\operatorname {arctg} \operatorname {sl} z+C,\\&\int \operatorname {sl} z\,{\rm {d}}z=-\operatorname {arctg} \operatorname {cl} z+C.\end{aligned}}}$

Сума аргументів і деякі тотожності

Як і тригонометричні функції, леменіскатні функції задовольняють тотожності для суми і різниці аргументів. Оригінальна тотожність, яку використовував Фаньяно для поділу навпіл лемніскати, має наступний вигляд:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} (u+v)={\frac {\operatorname {sl} u\operatorname {sl} 'v+\operatorname {sl} v\operatorname {sl} 'u}{1+\operatorname {sl} ^{2}u\operatorname {sl} ^{2}v}}.\end{aligned}}}$

З використанням похідних і тотожності піфагорійсього типу можна записати тотожність Фаньяно в термінах функцій ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ і ${\displaystyle \operatorname {cl} }$. Визначаючи оператор тангенса суми ${\displaystyle a\oplus b:=\operatorname {tg} (\operatorname {arctg} a+\operatorname {arctg} b)}$ і оператор тангенса різниці ${\displaystyle a\ominus b:=a\oplus (-b)}$, формули для суми і різниці аргументів можуть бути представлені як

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {cl} (u+v)=\operatorname {cl} u\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {sl} u\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {cl} u\operatorname {cl} v-\operatorname {sl} u\operatorname {sl} v}{1+\operatorname {sl} u\operatorname {cl} u\operatorname {sl} v\operatorname {cl} v}},\\&\operatorname {cl} (u-v)=\operatorname {cl} u\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {sl} u\ \operatorname {sl} v,\\&\operatorname {sl} (u+v)=\operatorname {sl} u\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {cl} u\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {sl} u\operatorname {cl} v+\operatorname {cl} u\operatorname {sl} v}{1-\operatorname {sl} u\operatorname {cl} u\operatorname {sl} v\operatorname {cl} v}},\\&\operatorname {sl} (u-v)=\operatorname {sl} u\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {cl} u\operatorname {sl} v.\end{aligned}}}$

Вони нагадують відповідні тригонометричні аналоги:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp \sin u\sin v,\\\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm \cos u\sin v.\end{aligned}}}$

Формули половинного аргументу:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1+\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}+1}},\\\operatorname {sl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1-\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}+1}}.\end{aligned}}}$

Формули подвійного аргументу:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {cl} 2x={\frac {-1+2\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{4}x}{1+2\operatorname {cl} ^{2}x-\operatorname {cl} ^{4}x}},\\&\operatorname {sl} 2x=2\operatorname {sl} x\operatorname {cl} x{\frac {1+\operatorname {sl} ^{2}x}{1+\operatorname {sl} ^{4}x}}.\end{aligned}}}$

Формули потрійного аргументу:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {cl} 3x={\frac {-3\operatorname {cl} x+6\operatorname {cl} ^{5}x+\operatorname {cl} ^{9}x}{1+6\operatorname {cl} ^{4}x-3\operatorname {cl} ^{8}x}},\\&\operatorname {sl} 3x={\frac {3\operatorname {sl} x-6\operatorname {sl} ^{5}x-\operatorname {sl} ^{9}x}{1+6\operatorname {sl} ^{4}x-3\operatorname {sl} ^{8}x}}.\end{aligned}}}$

Лемнатомні многочлени

Нехай ${\displaystyle L}$ — ґратка вигляду:

${\displaystyle {\begin{aligned}L=\mathbb {Z} (1+{\rm {i}})\varpi +\mathbb {Z} (1-{\rm {i}})\varpi .\end{aligned}}}$

Крім того, нехай ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\rm {i}})}$, ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\mathbb {Z} [{\rm {i}}]}$, ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \beta =m+{\rm {i}}n}$, ${\displaystyle {\gamma }=m'+{\rm {i}}n'}$ (де ${\displaystyle m,n,m',n'\in \mathbb {Z} }$), ${\displaystyle m+n}$ та ${\displaystyle m'+n'}$ — непарні, ${\displaystyle {\gamma }\equiv 1\ {\rm {mod}}\ 2(1+{\rm {i}})}$ і ${\displaystyle \operatorname {sl} \beta z=M_{\beta }(\operatorname {sl} z)}$. Тоді

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\beta }(x)={\rm {i}}^{\varepsilon }x{\frac {P_{\beta }(x^{4})}{Q_{\beta }(x^{4})}}\end{aligned}}}$

для деяких взаємно простих многочленів ${\displaystyle P_{\beta }(x),Q_{\beta }(x)\in {\mathcal {O}}[x]}$ та деяких ${\displaystyle \varepsilon \in \{0,1,2,3\}}$, де

${\displaystyle {\begin{aligned}xP_{\beta }(x^{4})=\prod _{\gamma |\beta }\Lambda _{\gamma }(x),\end{aligned}}}$

та

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{\beta }(x)=\prod _{[\alpha ]\in ({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O}})^{\times }}(x-\operatorname {sl} \alpha \delta _{\beta }),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle \delta _{\beta }}$ — будь-який генератор ${\displaystyle \beta }$-скруту (тобто ${\displaystyle [\delta _{\beta }]\in (1/\beta )L}$, і ${\displaystyle [\delta _{\beta }]\in (1/\beta )L/L}$ породжує ${\displaystyle (1/\beta )L/L}$ як ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$-модуль). Прикладами генераторів ${\displaystyle \beta }$-скруту є ${\displaystyle 2\varpi /\beta }$ та ${\displaystyle (1+}$