Ряди Ейзенштейна, названі на честь німецького математика — спеціальні прості приклади модулярних форм, що задаються як сума явно виписаного ряду. Спочатку визначені для модулярної групи, ряди Ейзенштейна можуть бути узагальнені в теорії .
Означення
Ряд Ейзенштейна ваги
— функція, визначена на верхній комплексній півплощині
і задана як сума ряду
Цей ряд абсолютно збігається до голоморфної функції змінної .
Властивості
Модулярність
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMell4TDBkbFpWOTBhSEpsWlY5eVpXRnNMbXB3Wldjdk1qSXdjSGd0UjJWbFgzUm9jbVZsWDNKbFlXd3VhbkJsWnc9PS5qcGVn.jpeg)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWhMMkZqTDBkbFpWOTBhSEpsWlY5cGJXRm5MbXB3Wldjdk1qSXdjSGd0UjJWbFgzUm9jbVZsWDJsdFlXY3VhbkJsWnc9PS5qcGVn.jpeg)
Ряд Ейзенштейна задає модулярну форму ваги : для будь-яких цілих
з
маємо
Це випливає з того, що ряд Ейзенштейна можна представити як функцію від породженої 1 і ґратки
, продовживши його на весь простір ґраток:
Тоді Співвідношення модулярності тоді відповідає переходу від базису
до базису
тієї ж ґратки (що не змінює значення
) та нормуванню другого елементу нового базису на 1.
Представлення модулярних форм
Більш того, як виявляється, будь-яка модулярна форма (довільної ваги ) виражається як многочлен від
і
:
Зв'язок з еліптичними кривими
-функція Вейєрштрасса еліптичної кривої
розкладається в ряд Лорана в нулі як
Зокрема, модулярні інваріанти кривої E рівні
Рекурентне співвідношення
Будь-яку голоморфну модулярну форму для модулярної групи можна записати у вигляді многочлена від і
. Зокрема,
вищих порядків можна записати через рекурентне співвідношення, яке залежить від
і
. Нехай
. Тоді
задовільняють співвідношення
для всіх . Тут
— біноміальний коефіцієнт і
і
.
Вираз трапляється в розкладі в околі нуля функції Вейєрштрасса:
Ряди Фур'є
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMell5TDBWcGMyVnVjM1JsYVc1Zk5DNXFjR2N2TWpJd2NIZ3RSV2x6Wlc1emRHVnBibDgwTG1wd1p3PT0uanBn.jpg)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelU0TDBWcGMyVnVjM1JsYVc1Zk5pNXFjR2N2TWpJd2NIZ3RSV2x6Wlc1emRHVnBibDgyTG1wd1p3PT0uanBn.jpg)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHpMek5tTDBWcGMyVnVjM1JsYVc1Zk9DNXFjR2N2TWpJd2NIZ3RSV2x6Wlc1emRHVnBibDg0TG1wd1p3PT0uanBn.jpg)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMelkzTDBWcGMyVnVjM1JsYVc1Zk1UQXVhbkJuTHpJeU1IQjRMVVZwYzJWdWMzUmxhVzVmTVRBdWFuQm4uanBn.jpg)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkkxTDBWcGMyVnVjM1JsYVc1Zk1USXVhbkJuTHpJeU1IQjRMVVZwYzJWdWMzUmxhVzVmTVRJdWFuQm4uanBn.jpg)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHdMekEwTDBWcGMyVnVjM1JsYVc1Zk1UUXVhbkJuTHpJeU1IQjRMVVZwYzJWdWMzUmxhVzVmTVRRdWFuQm4uanBn.jpg)
Означимо . (Деякі старі книжки визначають q як
, але зараз в теорії чисел прийнято стандарт
.) Тоді розклад коефіцієнтів рядів Ейзенштейна в Ряди Фур'є має вигляд
де задані як
.
Тут Bn — числа Бернуллі, ζ(z) — дзета-функція Рімана і σp(n) — , сума p степенів дільників числа n. Зокрема, маємо
and
Зверніть увагу, що сума q може бути записана у формі вигляді ; тобто, маємо
для довільного комплексного |q| ≤ 1 і a. Працюючи з рядів Ейзенштейна, часто вводяться альтернативні позначення
.
Тотожності з рядами Ейзенштейна
Добутки рядів Ейзенштейна
Ряди Ейзенштейна утворюють найбільш явні приклади модулярних форм для повної модулярної групи Оскільки простір модулярних форм ваги
має розмірність 1 для
різних добутків рядів Ейзенштейна з цими вагами повинні бути пропорційні. Таким чином, ми отримаємо тотожності:
Використовуючи q-розклади рядів Ейзенштейна, наведені вище, вони можуть бути переформулювані як тотожності, пов'язані з сумами степенів дільників:
отже
і аналогічно для інших. Можливо, навіть більш цікаво, тета-функція з восьмивимірної парної унімодулярної ґратки Γ є модулярною формою ваги 4 для повної модулярної групи, що дає такі тотожності:
для числа векторів квадратної довжини 2n у .
Література
- А. Вейль, Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру, (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1976), пер.с англ. Ю. И. Манина, М.: «Мир», 1978:
- Серр Ж.-П., Курс арифметики. М.: Мир, 1972.
Ця стаття потребує додаткових для поліпшення її . (травень 2018) |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ryadi Ejzenshtejna nazvani na chest nimeckogo matematika specialni prosti prikladi modulyarnih form sho zadayutsya yak suma yavno vipisanogo ryadu Spochatku viznacheni dlya modulyarnoyi grupi ryadi Ejzenshtejna mozhut buti uzagalneni v teoriyi OznachennyaRyad Ejzenshtejna G 2 k displaystyle G 2k vagi 2 k displaystyle 2k funkciya viznachena na verhnij kompleksnij pivploshini I m t gt 0 C displaystyle Im tau gt 0 subset mathbb C i zadana yak suma ryadu G 2 k t m n 0 0 1 m n t 2 k displaystyle G 2k tau sum m n neq 0 0 frac 1 m n tau 2k Cej ryad absolyutno zbigayetsya do golomorfnoyi funkciyi zminnoyi t displaystyle tau VlastivostiModulyarnist Dijsna chastina G 6 yak funkciya vid q na odinichnomu kruzi Uyavna chastina G 6 yak funkciya vid q na odinichnomu kruzi Ryad Ejzenshtejna zadaye modulyarnu formu vagi 2 k displaystyle 2k dlya bud yakih cilih a b c d Z displaystyle a b c d in mathbb Z z a d b c 1 displaystyle ad bc 1 mayemo G 2 k a t b c t d c t d 2 k G 2 k t displaystyle G 2k left frac a tau b c tau d right c tau d 2k G 2k tau Ce viplivaye z togo sho ryad Ejzenshtejna mozhna predstaviti yak funkciyu vid porodzhenoyi 1 i t displaystyle tau gratki G 1 t displaystyle Gamma langle 1 tau rangle prodovzhivshi jogo na ves prostir gratok G 2 k G z G 0 z 2 k displaystyle G 2k Gamma sum z in Gamma setminus 0 z 2k Todi G 2 k l G l 2 k G 2 k G displaystyle G 2k lambda Gamma lambda 2k G 2k Gamma Spivvidnoshennya modulyarnosti todi vidpovidaye perehodu vid bazisu t 1 displaystyle tau 1 do bazisu a t b c t d displaystyle a tau b c tau d tiyeyi zh gratki sho ne zminyuye znachennya G 2 k G displaystyle G 2k Gamma ta normuvannyu drugogo elementu novogo bazisu na 1 Predstavlennya modulyarnih form Bilsh togo yak viyavlyayetsya bud yaka modulyarna forma dovilnoyi vagi 2 m displaystyle 2m virazhayetsya yak mnogochlen vid G 4 displaystyle G 4 i G 6 displaystyle G 6 f 4 k 6 l 2 m a k G 4 k G 6 l displaystyle f sum 4k 6l 2m a k G 4 k G 6 l Zv yazok z eliptichnimi krivimi displaystyle wp funkciya Vejyershtrassa eliptichnoyi krivoyi E C G displaystyle E mathbb C Gamma rozkladayetsya v ryad Lorana v nuli yak E z 1 z 2 k 1 2 k 1 G 2 k 2 G z 2 k displaystyle wp E z frac 1 z 2 sum k 1 infty 2k 1 G 2k 2 Gamma z 2k Zokrema modulyarni invarianti krivoyi E rivni g 2 60 G 4 g 3 140 G 6 displaystyle g 2 60G 4 quad g 3 140G 6 Rekurentne spivvidnoshennya Bud yaku golomorfnu modulyarnu formu dlya modulyarnoyi grupi mozhna zapisati u viglyadi mnogochlena vid G 4 displaystyle G 4 i G 6 displaystyle G 6 Zokrema G 2 k displaystyle G 2k vishih poryadkiv mozhna zapisati cherez rekurentne spivvidnoshennya yake zalezhit vid G 4 displaystyle G 4 i G 6 displaystyle G 6 Nehaj d k 2 k 3 k G 2 k 4 displaystyle d k 2k 3 k G 2k 4 Todi d k displaystyle d k zadovilnyayut spivvidnoshennya k 0 n n k d k d n k 2 n 9 3 n 6 d n 2 displaystyle sum k 0 n n choose k d k d n k frac 2n 9 3n 6 d n 2 dlya vsih n 0 displaystyle n geq 0 Tut n k displaystyle n choose k binomialnij koeficiyent i d 0 3 G 4 displaystyle d 0 3G 4 i d 1 5 G 6 displaystyle d 1 5G 6 Viraz d k displaystyle d k traplyayetsya v rozkladi v okoli nulya funkciyi Vejyershtrassa z 1 z 2 z 2 k 0 d k z 2 k k 1 z 2 k 1 2 k 1 G 2 k 2 z 2 k displaystyle wp z frac 1 z 2 z 2 sum k 0 infty frac d k z 2k k frac 1 z 2 sum k 1 infty 2k 1 G 2k 2 z 2k Ryadi Fur yeG 4 G 6 G 8 G 10 G 12 G 14 Oznachimo q e 2 p i t displaystyle q e 2 pi i tau Deyaki stari knizhki viznachayut q yak q e i p t displaystyle q e i pi tau ale zaraz v teoriyi chisel prijnyato standart q e 2 p i t displaystyle q e 2 pi i tau Todi rozklad koeficiyentiv ryadiv Ejzenshtejna v Ryadi Fur ye maye viglyad G 2 k t 2 z 2 k 1 c 2 k n 1 s 2 k 1 n q n displaystyle G 2k tau 2 zeta 2k left 1 c 2k sum n 1 infty sigma 2k 1 n q n right de c 2 k displaystyle c 2k zadani yak c 2 k 2 p i 2 k 2 k 1 z 2 k 4 k B 2 k 2 z 1 2 k displaystyle c 2k frac 2 pi i 2k 2k 1 zeta 2k frac 4k B 2k frac 2 zeta 1 2k Tut Bn chisla Bernulli z z dzeta funkciya Rimana i sp n suma p stepeniv dilnikiv chisla n Zokrema mayemo G 4 t p 4 45 1 240 n 1 s 3 n q n displaystyle G 4 tau frac pi 4 45 left 1 240 sum n 1 infty sigma 3 n q n right and G 6 t 2 p 6 945 1 504 n 1 s 5 n q n displaystyle G 6 tau frac 2 pi 6 945 left 1 504 sum n 1 infty sigma 5 n q n right Zvernit uvagu sho suma q mozhe buti zapisana u formi viglyadi tobto mayemo n 1 q n s a n n 1 n a q n 1 q n displaystyle sum n 1 infty q n sigma a n sum n 1 infty frac n a q n 1 q n dlya dovilnogo kompleksnogo q 1 i a Pracyuyuchi z ryadiv Ejzenshtejna chasto vvodyatsya alternativni poznachennya E 2 k t G 2 k t 2 z 2 k 1 2 z 1 2 k n 1 n 2 k 1 q n 1 q n displaystyle E 2k tau frac G 2k tau 2 zeta 2k 1 frac 2 zeta 1 2k sum n 1 infty frac n 2k 1 q n 1 q n Totozhnosti z ryadami EjzenshtejnaDobutki ryadiv Ejzenshtejna Ryadi Ejzenshtejna utvoryuyut najbilsh yavni prikladi modulyarnih form dlya povnoyi modulyarnoyi grupi S L 2 Z displaystyle SL 2 mathbb Z Oskilki prostir modulyarnih form vagi 2 k displaystyle 2k maye rozmirnist 1 dlya 2 k 4 6 8 10 14 displaystyle 2k 4 6 8 10 14 riznih dobutkiv ryadiv Ejzenshtejna z cimi vagami povinni buti proporcijni Takim chinom mi otrimayemo totozhnosti E 4 2 E 8 E 4 E 6 E 10 E 4 E 10 E 14 E 6 E 8 E 14 displaystyle E 4 2 E 8 quad E 4 E 6 E 10 quad E 4 E 10 E 14 quad E 6 E 8 E 14 Vikoristovuyuchi q rozkladi ryadiv Ejzenshtejna navedeni vishe voni mozhut buti pereformulyuvani yak totozhnosti pov yazani z sumami stepeniv dilnikiv 1 240 n 1 s 3 n q n 2 1 480 n 1 s 7 n q n displaystyle 1 240 sum n 1 infty sigma 3 n q n 2 1 480 sum n 1 infty sigma 7 n q n otzhe s 7 n s 3 n 120 m 1 n 1 s 3 m s 3 n m displaystyle sigma 7 n sigma 3 n 120 sum m 1 n 1 sigma 3 m sigma 3 n m i analogichno dlya inshih Mozhlivo navit bilsh cikavo teta funkciya z vosmivimirnoyi parnoyi unimodulyarnoyi gratki G ye modulyarnoyu formoyu vagi 4 dlya povnoyi modulyarnoyi grupi sho daye taki totozhnosti 8 G t 1 n 1 r G 2 n q n E 4 t r G n 240 s 3 n displaystyle theta Gamma tau 1 sum n 1 infty r Gamma 2n q n E 4 tau quad r Gamma n 240 sigma 3 n dlya chisla r G n displaystyle r Gamma n vektoriv kvadratnoyi dovzhini 2n u LiteraturaA Vejl Ellipticheskie funkcii po Ejzenshtejnu i Kronekeru Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1976 per s angl Yu I Manina M Mir 1978 Serr Zh P Kurs arifmetiki M Mir 1972 Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno traven 2018