Еліптичні функції Веєрштрасса — одні з найпростіших еліптичних функцій. Цей клас функцій названий на честь Карла Веєрштрасса. Також їх називають -функціями Веєрштрасса, і використовують для їх позначення символ (стилізоване P).
Еліптичні функції Веєрштрасса | |
Названо на честь | Карл Веєрштрасс |
---|---|
Формула | |
Нотація | d |
Підтримується Вікіпроєктом | |
Еліптичні функції Веєрштрасса у Вікісховищі |
Визначення
Нехай задана деяка ґратка в . Тоді -функцією Веєрштрасса на ній називається мероморфна функція, задана як сума ряду
Можна побачити, що така функція буде -періодичною на , і тому є мероморфною функцією на .
Ряд, що задає функцію Веєрштрасса є, в певному значенні, «регуляризованою версією» розбіжного ряду, — «наївної» спроби задати -періодичну функцію. Цей ряд є абсолютно розбіжним (а за відсутності природного порядку на має сенс говорити тільки про абсолютну збіжність) при всіх z, оскільки при фіксованому z і при великих w модулі його членів поводяться як , а сума по двовимірних ґратках є розбіжною.
Варіанти визначення
Задаючи ґратку її базисом , можна записати
Також, оскільки функція Веєрштрасса як функція трьох змінних однорідна , позначивши , має місце рівність:
Тому розглядають
Властивості
- Функція Веєрштрасса — парна мероморфна функція, з єдиним полюсом другого порядку в точці 0.
- Скориставшись розкладом і посумувавши по , можна одержати розклад в точці функції Веєрштрасса в ряд Лорана:
де — ряди Ейзенштейна для ґратки (відповідні непарні суми рівні нулю).
Проте, коефіцієнти при і часто записують в іншій, традиційній формі:
де і — модулярні інваріанти ґратки :
Диференціальні і інтегральні рівняння
Диференціальні рівняння
З визначеними раніше позначеннями, ℘ функція задовольняє наступне диференціальне рівняння:
- .
Інтегральні рівняння
Еліптичні функції Веєрштрасса можуть бути подані через обертання еліптичних інтегралів. Нехай
де g2 і g3 приймаються константами. Тоді
Модулярний дискримінант
Модулярний дискримінант еліптичної функції Веєрштрасса означується як дискримінант многочлена в правій частині диференціального рівняння наведеного вище:
Дискримінант є модулярною формою ваги 12. Це означає, що під дією модулярної групи він перетворюється за правилом
Справедлива рівність , де позначає [en].
Коефіцієнти Фур'є розкладу в ряд по степенях визначаються через [en].
Додаткові властивості
Для еліптичних функцій Веєрштрасса виконується:
(або в більш симетричній формі
де ).
Також
і
якщо не є періодом.
Вираження довільних еліптичних функцій через функції Веєрштрасса
Будь-яка еліптична функція з періодами і може бути представлена у вигляді де h, g — раціональні функції, — функція Веєрштрасса з тими ж періодами що і у . Якщо при цьому є парною функцією, то її можна представити у вигляді , де h раціональна. Іншими словами поле еліптичних функцій з фундаментальними періодами і є скінченним розширенням поля комплексних чисел, з породжуючими елементами і .
Див. також
Примітки
Література
- K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag
- Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley,
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Eliptichni funkciyi Veyershtrassa odni z najprostishih eliptichnih funkcij Cej klas funkcij nazvanij na chest Karla Veyershtrassa Takozh yih nazivayut displaystyle wp funkciyami Veyershtrassa i vikoristovuyut dlya yih poznachennya simvol displaystyle wp stilizovane P Eliptichni funkciyi Veyershtrassa Nazvano na chestKarl Veyershtrass Formula z w 1 w 2 1 z 2 n 2 m 2 0 1 z m w 1 n w 2 2 1 m w 1 n w 2 2 displaystyle wp z omega 1 omega 2 frac 1 z 2 sum n 2 m 2 neq 0 left frac 1 z m omega 1 n omega 2 2 frac 1 m omega 1 n omega 2 2 right Notaciyad Pidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt Matematika Eliptichni funkciyi Veyershtrassa u VikishovishiViznachennyaNehaj zadana deyaka gratka G displaystyle Gamma v C displaystyle mathbb C Todi displaystyle wp funkciyeyu Veyershtrassa na nij nazivayetsya meromorfna funkciya zadana yak suma ryadu E z 1 z 2 w G 0 1 z w 2 1 w 2 displaystyle wp E z frac 1 z 2 sum w in Gamma setminus 0 left frac 1 z w 2 frac 1 w 2 right Mozhna pobachiti sho taka funkciya bude G displaystyle Gamma periodichnoyu na C displaystyle mathbb C i tomu ye meromorfnoyu funkciyeyu na E displaystyle E Ryad sho zadaye funkciyu Veyershtrassa ye v pevnomu znachenni regulyarizovanoyu versiyeyu rozbizhnogo ryadu w G 1 z w 2 displaystyle sum w in Gamma frac 1 z w 2 nayivnoyi sprobi zadati G displaystyle Gamma periodichnu funkciyu Cej ryad ye absolyutno rozbizhnim a za vidsutnosti prirodnogo poryadku na G displaystyle Gamma maye sens govoriti tilki pro absolyutnu zbizhnist pri vsih z oskilki pri fiksovanomu z i pri velikih w moduli jogo chleniv povodyatsya yak 1 w 2 displaystyle frac 1 w 2 a suma w G 1 w 2 displaystyle sum w in Gamma frac 1 w 2 po dvovimirnih gratkah G displaystyle Gamma ye rozbizhnoyu Varianti viznachennya Zadayuchi gratku G displaystyle Gamma yiyi bazisom G m w 1 n w 2 m n Z displaystyle Gamma m omega 1 n omega 2 mid m n in mathbb Z mozhna zapisati z w 1 w 2 1 z 2 m n Z 2 0 0 1 z m w 1 n w 2 2 1 m w 1 n w 2 2 displaystyle wp z omega 1 omega 2 frac 1 z 2 sum m n in mathbb Z 2 setminus 0 0 left frac 1 z m omega 1 n omega 2 2 frac 1 m omega 1 n omega 2 2 right Takozh oskilki funkciya Veyershtrassa yak funkciya troh zminnih odnoridna a z a w 1 a w 2 a 2 w p z w 1 w 2 displaystyle wp az a omega 1 a omega 2 a 2 wp z omega 1 omega 2 poznachivshi t w 2 w 1 displaystyle tau omega 2 omega 1 maye misce rivnist z w 1 w 2 w 1 2 z w 1 1 t displaystyle wp z omega 1 omega 2 omega 1 2 wp z omega 1 1 tau Tomu rozglyadayut z t z 1 t 1 z 2 m n Z 2 0 0 1 z m n t 2 1 m n t 2 displaystyle wp z tau wp z 1 tau frac 1 z 2 sum m n in mathbb Z 2 setminus 0 0 left frac 1 z m n tau 2 frac 1 m n tau 2 right VlastivostiFunkciya Veyershtrassa E E C displaystyle wp E E mapsto widehat mathbb C parna meromorfna funkciya z yedinim polyusom drugogo poryadku v tochci 0 Skoristavshis rozkladom 1 w z 2 1 w 2 j 1 j 1 w j 2 z j displaystyle frac 1 w z 2 frac 1 w 2 sum nolimits j 1 infty frac j 1 w j 2 z j i posumuvavshi po w G 0 displaystyle w in Gamma setminus 0 mozhna oderzhati rozklad v tochci z 0 displaystyle z 0 funkciyi Veyershtrassa v ryad Lorana E z 1 z 2 k 2 2 k 1 G 2 k G z 2 k 2 displaystyle wp E z frac 1 z 2 sum k 2 infty 2k 1 G 2k Gamma z 2k 2 de G 2 k G w G 0 w 2 k displaystyle G 2k Gamma sum w in Gamma setminus 0 w 2k ryadi Ejzenshtejna dlya gratki G displaystyle Gamma vidpovidni neparni sumi rivni nulyu Prote koeficiyenti pri z 2 displaystyle z 2 i z 4 displaystyle z 4 chasto zapisuyut v inshij tradicijnij formi E z 1 z 2 1 20 g 2 G z 2 1 28 g 3 G z 4 displaystyle wp E z frac 1 z 2 frac 1 20 g 2 Gamma z 2 frac 1 28 g 3 Gamma z 4 dots de g 2 displaystyle g 2 i g 3 displaystyle g 3 modulyarni invarianti gratki G displaystyle Gamma g 2 G 60 G 4 G g 3 G 140 G 6 G displaystyle g 2 Gamma 60G 4 Gamma quad g 3 Gamma 140G 6 Gamma Diferencialni i integralni rivnyannyaDiferencialni rivnyannya Z viznachenimi ranishe poznachennyami funkciya zadovolnyaye nastupne diferencialne rivnyannya z 2 4 z 3 g 2 z g 3 displaystyle wp z 2 4 wp z 3 g 2 wp z g 3 Integralni rivnyannya Eliptichni funkciyi Veyershtrassa mozhut buti podani cherez obertannya eliptichnih integraliv Nehaj u y d s 4 s 3 g 2 s g 3 displaystyle u int y infty frac ds sqrt 4s 3 g 2 s g 3 de g2 i g3 prijmayutsya konstantami Todi y u displaystyle y wp u Modulyarnij diskriminantDijsna chastina diskriminanta yak funkciya vid q e p i t displaystyle q e pi i tau na odinichnomu kruzi Modulyarnij diskriminant D displaystyle Delta eliptichnoyi funkciyi Veyershtrassa oznachuyetsya yak diskriminant mnogochlena v pravij chastini diferencialnogo rivnyannya navedenogo vishe D g 2 3 27 g 3 2 displaystyle Delta g 2 3 27g 3 2 Diskriminant ye modulyarnoyu formoyu vagi 12 Ce oznachaye sho pid diyeyu modulyarnoyi grupi vin peretvoryuyetsya za pravilomD a t b c t d c t d 12 D t displaystyle Delta left frac a tau b c tau d right left c tau d right 12 Delta tau de a b d c Z displaystyle a b d c in mathbb Z taki sho a d b c 1 displaystyle ad bc 1 Spravedliva rivnist D 2 p 12 h 24 displaystyle Delta 2 pi 12 eta 24 de h displaystyle eta poznachaye en Koeficiyenti Fur ye rozkladu D displaystyle Delta v ryad po stepenyah q e p i t displaystyle q e pi i tau viznachayutsya cherez en Dodatkovi vlastivostiDlya eliptichnih funkcij Veyershtrassa vikonuyetsya det z z 1 y y 1 z y z y 1 0 displaystyle det begin bmatrix wp z amp wp z amp 1 wp y amp wp y amp 1 wp z y amp wp z y amp 1 end bmatrix 0 abo v bilsh simetrichnij formi det u u 1 v v 1 w w 1 0 displaystyle det begin bmatrix wp u amp wp u amp 1 wp v amp wp v amp 1 wp w amp wp w amp 1 end bmatrix 0 de u v w 0 displaystyle u v w 0 Takozh z y 1 4 z y z y 2 z y displaystyle wp z y frac 1 4 left frac wp z wp y wp z wp y right 2 wp z wp y i 2 z 1 4 z z 2 2 z displaystyle wp 2z frac 1 4 left frac wp z wp z right 2 2 wp z yaksho 2 z displaystyle 2z ne ye periodom Virazhennya dovilnih eliptichnih funkcij cherez funkciyi VeyershtrassaBud yaka eliptichna funkciya z periodami a displaystyle a i b displaystyle b mozhe buti predstavlena u viglyadi f z h z g z z displaystyle f z h wp z g wp z wp z de h g racionalni funkciyi z displaystyle wp z funkciya Veyershtrassa z timi zh periodami sho i u f z displaystyle f z Yaksho pri comu f z displaystyle f z ye parnoyu funkciyeyu to yiyi mozhna predstaviti u viglyadi f z h z displaystyle f z h wp z de h racionalna Inshimi slovami pole eliptichnih funkcij z fundamentalnimi periodami a displaystyle a i b displaystyle b ye skinchennim rozshirennyam polya C displaystyle mathbb C kompleksnih chisel z porodzhuyuchimi elementami z displaystyle wp z i z displaystyle wp z Div takozhEliptichna funkciya Eliptichna kriva Eliptichni funkciyi Yakobi Ryadi EjzenshtejnaPrimitkiApostol Tom M 1976 Modular functions and Dirichlet series in number theory New York Springer Verlag s 50 ISBN 0 387 90185 X OCLC 2121639 Chandrasekharan K Komaravolu 1920 1985 Elliptic functions Berlin Springer Verlag s 122 ISBN 0 387 15295 4 OCLC 12053023 LiteraturaK Chandrasekharan Elliptic functions 1980 Springer Verlag ISBN 0 387 15295 4 Serge Lang Elliptic Functions 1973 Addison Wesley ISBN 0 201 04162 6