В інтегральному численні еліпти́чний інтегра́л з'явився у зв'язку із завданням обчислення довжини дуги еліпса і був вперше досліджений і Леонардом Ейлером.
Еліптичні інтеграли | |
Підтримується Вікіпроєктом | |
---|---|
Еліптичні інтеграли у Вікісховищі |
Еліптичні інтеграли є оберненими функціями до еліптичних функцій Якобі. З історичної точки зору спочатку були відкриті еліптичні інтеграли.
Визначення
Еліптичні інтеграли — це інтеграли виду
та
де — деяка раціональна функція, у випадку, коли ці інтеграли не виражаються через елементарні функції а — деяка стала. У результаті ряду перетворень можна кожен з таких інтегралів звести до елементарних функцій і до еліптичних інтегралів першого, другого та третього роду, відповідно:
Якщо зробити підстановку , одержимо запис еліптичних інтегралів у лежандровій формі:
Величина називається амплітудою, стала — модулем еліптичного інтегралу, а — параметром.
SEM-001
Еліптичні інтеграли першого роду
Еліптичні інтеграли першого роду | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0° | 10° | 20° | 30° | 40° | 50° | 60° | 70° | 80° | 90° | |
0° | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 |
10 | 0.1745 | 0.1746 | 0.1746 | 0.1748 | 0.1749 | 0.1751 | 0.1752 | 0.1753 | 0.1754 | 0.1754 |
20 | 0.3491 | 0.3493 | 0.3499 | 0.3508 | 0.3520 | 0.3533 | 0.3545 | 0.3555 | 0.3561 | 0.3564 |
30 | 0.5236 | 0.5243 | 0.5263 | 0.5294 | 0.5334 | 0.5379 | 0.5422 | 0.5459 | 0.5484 | 0.5493 |
40 | 0.6981 | 0.6997 | 0.7043 | 0.7116 | 0.7213 | 0.7323 | 0.7436 | 0.7535 | 0.7604 | 0.7629 |
50 | 0.8727 | 0.8756 | 0.8842 | 0.8982 | 0.9173 | 0.9401 | 0.9647 | 0.9876 | 1.0044 | 1.0107 |
60 | 1.0472 | 1.0519 | 1.0660 | 1.0896 | 1.1226 | 1.1643 | 1.2126 | 1.2619 | 1.3014 | 1.3170 |
70 | 1.2217 | 1.2286 | 1.2495 | 1.2853 | 1.3372 | 1.4068 | 1.4944 | 1.5959 | 1.6918 | 1.7354 |
80 | 1.3963 | 1.4056 | 1.4344 | 1.4846 | 1.5597 | 1.6660 | 1.8125 | 2.0119 | 2.2653 | 2.4362 |
90 | 1.5708 | 1.5828 | 1.6200 | 1.6858 | 1.7868 | 1.9356 | 2.1565 | 2.5046 | 3.1534 |
Еліптичні інтеграли другого роду
Еліптичні інтеграли другого роду | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0° | 10° | 20° | 30° | 40° | 50° | 60° | 70° | 80° | 90° | |
0° | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 |
10 | 0.1745 | 0.1745 | 0.1744 | 0.1743 | 0.1742 | 0.1740 | 0.1739 | 0.1738 | 0.1737 | 0.1736 |
20 | 0.3491 | 0.3489 | 0.3483 | 0.3473 | 0.3462 | 0.3450 | 0.3438 | 0.3429 | 0.3422 | 0.3420 |
30 | 0.5236 | 0.5229 | 0.5209 | 0.5179 | 0.5141 | 0.5100 | 0.5061 | 0.5029 | 0.5007 | 0.5000 |
40 | 0.6981 | 0.6966 | 0.6921 | 0.6851 | 0.6763 | 0.6667 | 0.6575 | 0.6497 | 0.6446 | 0.6428 |
50 | 0.8727 | 0.8698 | 0.8614 | 0.8483 | 0.8317 | 0.8134 | 0.7954 | 0.7801 | 0.7697 | 0.7660 |
60 | 1.0472 | 1.0426 | 1.0290 | 1.0076 | 0.9801 | 0.9493 | 0.9184 | 0.8914 | 0.8728 | 0.8660 |
70 | 1.2217 | 1.2149 | 1.1949 | 1.1632 | 1.1221 | 1.0750 | 1.0266 | 0.9830 | 0.9514 | 0.9397 |
80 | 1.3963 | 1.3870 | 1.3597 | 1.3161 | 1.2590 | 1.1926 | 1.1225 | 1.0565 | 1.0054 | 0.9848 |
90 | 1.5708 | 1.5589 | 1.5238 | 1.4675 | 1.3931 | 1.3055 | 1.2111 | 1.1184 | 1.0401 | 1.0000 |
Еліптичні інтеграли третього роду
Повні еліптичні інтеграли
Повні еліптичні інтеграли | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
° | ° | ° | ||||||
0 | 1.5708 | 1.5708 | 30 | 1.6858 | 1.4675 | 60 | 2.1565 | 1.2111 |
1 | 1.5709 | 1.5707 | 31 | 1.6941 | 1.4608 | 61 | 2.1842 | 1.2015 |
2 | 1.5713 | 1.5703 | 32 | 1.7028 | 1.4539 | 62 | 2.2132 | 1.1920 |
3 | 1.5719 | 1.5697 | 33 | 1.7119 | 1.4469 | 63 | 2.2435 | 1.1826 |
4 | 1.5727 | 1.5689 | 34 | 1.7214 | 1.4397 | 64 | 2.2754 | 1.1732 |
5 | 1.5738 | 1.5678 | 35 | 1.7312 | 1.4323 | 65 | 2.3088 | 1.1638 |
6 | 1.5751 | 1.5665 | 36 | 1.7415 | 1.4248 | 66 | 2.3439 | 1.1545 |
7 | 1.5767 | 1.5649 | 37 | 1.7522 | 1.4171 | 67 | 2.3809 | 1.1453 |
8 | 1.5785 | 1.5632 | 38 | 1.7633 | 1.4092 | 68 | 2.4198 | 1.1362 |
9 | 1.5805 | 1.5611 | 39 | 1.7748 | 1.4013 | 69 | 2.4610 | 1.1272 |
10 | 1.5828 | 1.5589 | 40 | 1.7868 | 1.3931 | 70 | 2.5046 | 1.1184 |
11 | 1.5854 | 1.5564 | 41 | 1.7992 | 1.3849 | 71 | 2.5507 | 1.1096 |
12 | 1.5882 | 1.5537 | 42 | 1.8122 | 1.3765 | 72 | 2.5998 | 1.1011 |
13 | 1.5913 | 1.5507 | 43 | 1.8256 | 1.3680 | 73 | 2.6521 | 1.0927 |
14 | 1.5946 | 1.5476 | 44 | 1.8396 | 1.3594 | 74 | 2.7081 | 1.0844 |
15 | 1.5981 | 1.5442 | 45 | 1.8541 | 1.3506 | 75 | 2.7681 | 1.0764 |
16 | 1.6020 | 1.5405 | 46 | 1.8691 | 1.3418 | 76 | 2.8327 | 1.0686 |
17 | 1.6061 | 1.5367 | 47 | 1.8848 | 1.3329 | 77 | 2.9026 | 1.0611 |
18 | 1.6105 | 1.5326 | 48 | 1.9011 | 1.3238 | 78 | 2.9786 | 1.0538 |
19 | 1.6151 | 1.5283 | 49 | 1.9180 | 1.3147 | 79 | 3.0617 | 1.0468 |
20 | 1.6200 | 1.5238 | 50 | 1.9356 | 1.3055 | 80 | 3.1534 | 1.0401 |
21 | 1.6252 | 1.5191 | 51 | 1.9539 | 1.2963 | 81 | 3.2553 | 1.0338 |
22 | 1.6307 | 1.5141 | 52 | 1.9729 | 1.2870 | 82 | 3.3699 | 1.0278 |
23 | 1.6365 | 1.5090 | 53 | 1.9927 | 1.2776 | 83 | 3.5004 | 1.0223 |
24 | 1.6426 | 1.5037 | 54 | 2.0133 | 1.2681 | 84 | 3.6519 | 1.0172 |
25 | 1.6490 | 1.4981 | 55 | 2.0347 | 1.2587 | 85 | 3.8317 | 1.0127 |
26 | 1.6557 | 1.4924 | 56 | 2.0571 | 1.2492 | 86 | 4.0528 | 1.0086 |
27 | 1.6627 | 1.4864 | 57 | 2.0804 | 1.2397 | 87 | 4.3387 | 1.0053 |
28 | 1.6701 | 1.4803 | 58 | 2.1047 | 1.2301 | 88 | 4.7427 | 1.0026 |
29 | 1.6777 | 1.4740 | 59 | 2.1300 | 1.2206 | 89 | 5.4349 | 1.0008 |
30 | 1.6858 | 1.4675 | 60 | 2.1565 | 1.2111 | 90 | 1.0000 |
Джерела
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V integralnomu chislenni elipti chnij integra l z yavivsya u zv yazku iz zavdannyam obchislennya dovzhini dugi elipsa i buv vpershe doslidzhenij i Leonardom Ejlerom Eliptichni integraliPidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt Matematika Eliptichni integrali u Vikishovishi Eliptichni integrali ye obernenimi funkciyami do eliptichnih funkcij Yakobi Z istorichnoyi tochki zoru spochatku buli vidkriti eliptichni integrali ViznachennyaEliptichni integrali ce integrali vidu CyR x ax3 bx2 cx e dx displaystyle int C y R left x sqrt ax 3 bx 2 cx e right dx ta CyR x ax4 bx3 cx2 ex f dx displaystyle int C y R left x sqrt ax 4 bx 3 cx 2 ex f right dx de R displaystyle mathbb R deyaka racionalna funkciya u vipadku koli ci integrali ne virazhayutsya cherez elementarni funkciyi a C displaystyle C deyaka stala U rezultati ryadu peretvoren mozhna kozhen z takih integraliv zvesti do elementarnih funkcij i do eliptichnih integraliv pershogo drugogo ta tretogo rodu vidpovidno F f k 0sin fdt 1 t2 1 k2t2 E f k 0sin f 1 k2t2 dt 1 t2 1 k2t2 displaystyle F varphi k int 0 sin varphi dt over sqrt 1 t 2 1 k 2 t 2 quad E varphi k int 0 sin varphi 1 k 2 t 2 dt over sqrt 1 t 2 1 k 2 t 2 P f k h 0sin fdt 1 ht2 1 t2 1 k2t2 0 lt k lt 1 displaystyle quad Pi varphi k h int 0 sin varphi dt over sqrt 1 ht 2 1 t 2 1 k 2 t 2 qquad 0 lt k lt 1 Yaksho zrobiti pidstanovku t sin ps 0 lt ps lt p 2 displaystyle t sin psi quad 0 lt psi lt pi 2 oderzhimo zapis eliptichnih integraliv u lezhandrovij formi F f k 0fdps1 k2sin2 ps E f k 0f1 k2sin2 psdps displaystyle F varphi k int 0 varphi d psi over sqrt 1 k 2 sin 2 psi quad E varphi k int 0 varphi sqrt 1 k 2 sin 2 psi d psi P f k h 0fdps 1 hsin2 ps 1 k2sin2 ps displaystyle quad Pi varphi k h int 0 varphi d psi over 1 h sin 2 psi sqrt 1 k 2 sin 2 psi Velichina f displaystyle varphi nazivayetsya amplitudoyu stala k displaystyle k modulem eliptichnogo integralu a h displaystyle h parametrom SEM 001Eliptichni integrali pershogo roduF f k 0fdps1 k2sin2 ps 0sin fdt1 t21 k2t2 displaystyle F varphi k int limits 0 varphi d psi over sqrt 1 k 2 sin 2 psi int limits 0 sin varphi dt over sqrt 1 t 2 sqrt 1 k 2 t 2 Eliptichni integrali pershogo rodu F f k k sin a displaystyle F varphi k k sin alpha 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 000010 0 1745 0 1746 0 1746 0 1748 0 1749 0 1751 0 1752 0 1753 0 1754 0 175420 0 3491 0 3493 0 3499 0 3508 0 3520 0 3533 0 3545 0 3555 0 3561 0 356430 0 5236 0 5243 0 5263 0 5294 0 5334 0 5379 0 5422 0 5459 0 5484 0 549340 0 6981 0 6997 0 7043 0 7116 0 7213 0 7323 0 7436 0 7535 0 7604 0 762950 0 8727 0 8756 0 8842 0 8982 0 9173 0 9401 0 9647 0 9876 1 0044 1 010760 1 0472 1 0519 1 0660 1 0896 1 1226 1 1643 1 2126 1 2619 1 3014 1 317070 1 2217 1 2286 1 2495 1 2853 1 3372 1 4068 1 4944 1 5959 1 6918 1 735480 1 3963 1 4056 1 4344 1 4846 1 5597 1 6660 1 8125 2 0119 2 2653 2 436290 1 5708 1 5828 1 6200 1 6858 1 7868 1 9356 2 1565 2 5046 3 1534 displaystyle infty Eliptichni integrali drugogo roduE f k 0f1 k2sin2 psdps 0sin f1 k2t21 t2dt displaystyle E varphi k int limits 0 varphi sqrt 1 k 2 sin 2 psi d psi int limits 0 sin varphi sqrt 1 k 2 t 2 over 1 t 2 dt Eliptichni integrali drugogo rodu E f k k sin a displaystyle E varphi k k sin alpha 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 000010 0 1745 0 1745 0 1744 0 1743 0 1742 0 1740 0 1739 0 1738 0 1737 0 173620 0 3491 0 3489 0 3483 0 3473 0 3462 0 3450 0 3438 0 3429 0 3422 0 342030 0 5236 0 5229 0 5209 0 5179 0 5141 0 5100 0 5061 0 5029 0 5007 0 500040 0 6981 0 6966 0 6921 0 6851 0 6763 0 6667 0 6575 0 6497 0 6446 0 642850 0 8727 0 8698 0 8614 0 8483 0 8317 0 8134 0 7954 0 7801 0 7697 0 766060 1 0472 1 0426 1 0290 1 0076 0 9801 0 9493 0 9184 0 8914 0 8728 0 866070 1 2217 1 2149 1 1949 1 1632 1 1221 1 0750 1 0266 0 9830 0 9514 0 939780 1 3963 1 3870 1 3597 1 3161 1 2590 1 1926 1 1225 1 0565 1 0054 0 984890 1 5708 1 5589 1 5238 1 4675 1 3931 1 3055 1 2111 1 1184 1 0401 1 0000Eliptichni integrali tretogo roduP f k h 0fdps 1 hsin2 ps 1 k2sin2 ps 0sin fdt 1 ht2 1 t2 1 k2t2 displaystyle quad Pi varphi k h int 0 varphi d psi over 1 h sin 2 psi sqrt 1 k 2 sin 2 psi int 0 sin varphi dt over sqrt 1 ht 2 1 t 2 1 k 2 t 2 Povni eliptichni integraliK k F p2 k 0p2dps1 k2sin2 ps 01dt1 t21 k2t2 displaystyle mathbf K k F left pi over 2 k right int limits 0 pi over 2 d psi over sqrt 1 k 2 sin 2 psi int limits 0 1 dt over sqrt 1 t 2 sqrt 1 k 2 t 2 E k E p2 k 0p21 k2sin2 psdps 011 k2t21 t2dt displaystyle mathbf E k E left pi over 2 k right int limits 0 pi over 2 sqrt 1 k 2 sin 2 psi d psi int limits 0 1 sqrt 1 k 2 t 2 over 1 t 2 dt Povni eliptichni integrali k sin a displaystyle k sin alpha a displaystyle alpha K displaystyle mathbf K E displaystyle mathbf E a displaystyle alpha K displaystyle mathbf K E displaystyle mathbf E a displaystyle alpha K displaystyle mathbf K E displaystyle mathbf E 0 1 5708 1 5708 30 1 6858 1 4675 60 2 1565 1 21111 1 5709 1 5707 31 1 6941 1 4608 61 2 1842 1 20152 1 5713 1 5703 32 1 7028 1 4539 62 2 2132 1 19203 1 5719 1 5697 33 1 7119 1 4469 63 2 2435 1 18264 1 5727 1 5689 34 1 7214 1 4397 64 2 2754 1 17325 1 5738 1 5678 35 1 7312 1 4323 65 2 3088 1 16386 1 5751 1 5665 36 1 7415 1 4248 66 2 3439 1 15457 1 5767 1 5649 37 1 7522 1 4171 67 2 3809 1 14538 1 5785 1 5632 38 1 7633 1 4092 68 2 4198 1 13629 1 5805 1 5611 39 1 7748 1 4013 69 2 4610 1 127210 1 5828 1 5589 40 1 7868 1 3931 70 2 5046 1 118411 1 5854 1 5564 41 1 7992 1 3849 71 2 5507 1 109612 1 5882 1 5537 42 1 8122 1 3765 72 2 5998 1 101113 1 5913 1 5507 43 1 8256 1 3680 73 2 6521 1 092714 1 5946 1 5476 44 1 8396 1 3594 74 2 7081 1 084415 1 5981 1 5442 45 1 8541 1 3506 75 2 7681 1 076416 1 6020 1 5405 46 1 8691 1 3418 76 2 8327 1 068617 1 6061 1 5367 47 1 8848 1 3329 77 2 9026 1 061118 1 6105 1 5326 48 1 9011 1 3238 78 2 9786 1 053819 1 6151 1 5283 49 1 9180 1 3147 79 3 0617 1 046820 1 6200 1 5238 50 1 9356 1 3055 80 3 1534 1 040121 1 6252 1 5191 51 1 9539 1 2963 81 3 2553 1 033822 1 6307 1 5141 52 1 9729 1 2870 82 3 3699 1 027823 1 6365 1 5090 53 1 9927 1 2776 83 3 5004 1 022324 1 6426 1 5037 54 2 0133 1 2681 84 3 6519 1 017225 1 6490 1 4981 55 2 0347 1 2587 85 3 8317 1 012726 1 6557 1 4924 56 2 0571 1 2492 86 4 0528 1 008627 1 6627 1 4864 57 2 0804 1 2397 87 4 3387 1 005328 1 6701 1 4803 58 2 1047 1 2301 88 4 7427 1 002629 1 6777 1 4740 59 2 1300 1 2206 89 5 4349 1 000830 1 6858 1 4675 60 2 1565 1 2111 90 displaystyle infty 1 0000DzherelaBronshtejn I N Semendyaev K A Spravochnik po matematike dlya inzhenerov i uchashihsya vtuzov M Nauka 1980 976 s il Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr