Еліптичні функції

У комплексному аналізі еліптична функція — мероморфна періодична в двох напрямах функція, задана на комплексній площині. Еліптичні функції можна розглядати як аналоги тригонометричних (що мають тільки один період). Історично, еліптичні функції були відкриті як функції, обернені до еліптичних інтегралів.

Еліптична функція
Першовідкривач або винахідник	Нільс Генрік Абель
Формула	${\displaystyle \wp \left(z\right)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\omega \in \Lambda \smallsetminus \left\{0\right\}}\left({\frac {1}{\left(z-\omega \right)^{2}}}-{\frac {1}{\omega ^{2}}}\right)}$
Підтримується Вікіпроєктом
Еліптична функція у Вікісховищі

Визначення

Еліптичною функцією називають таку мероморфну функцію ${\displaystyle f}$, визначену на області ${\displaystyle \mathbb {C} }$, для якої існують два ненульові комплексні числа ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$, таких що:

${\displaystyle f(z+a)=f(z+b)=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C} }$

а також частка ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ не є дійсним числом.

З цього виходить, що для будь-яких цілих ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle f(z+ma+nb)=f(z)\forall z\in \mathbb {C} }$.

Будь-яке комплексне число ${\displaystyle \omega }$, таке що

${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)\forall z\in \mathbb {C} }$,

називають періодом функції ${\displaystyle f}$. Якщо еліптична функція ${\displaystyle f(z)}$ не рівна константі, то усі її періоди утворюють адитивну дискретну підгрупу комплексних чисел:

Дійсно якщо ${\displaystyle \omega _{1}}$ і ${\displaystyle \omega _{2}}$ два періоди еліптичної функції то ${\displaystyle -\omega _{1},\omega _{1}+\omega _{2},0\,}$ теж є періодами, отже періоди утворюють адитивну групу. Щоб довести, що дана група є дискретною достатньо знайти константу ${\displaystyle C>0}$ таку, що єдиним періодом, що задовольняє нерівність ${\displaystyle |\omega |<C\,}$ є ${\displaystyle \omega =0\,}$. Нехай ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ — деяка неособлива точка. Тоді в деякому околі цієї точки функція ${\displaystyle f(z)}$ рівна сумі свого ряду Тейлора:

${\displaystyle f(z)=c_{0}+c_{1}(z-z_{0})+c_{2}(z-z_{0})^{2}+\ldots }$

В достатньо малому околі ця сума домінується першим ненульовим членом, тож для деякої константи ${\displaystyle C>0}$ маємо:

${\displaystyle 0<|z-z_{0}|<C\Longrightarrow f(z)\neq c_{0}}$

що й доводить твердження.

Усі дискретні адитивні підгрупи комплексних чисел ізоморфні ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ або ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$. Еліптичним функціям відповідає другий випадок. Такі групи називаються ґратками. Відповідно для кожної еліптичної функції не рівної константі існують фундаментальні періоди, тобто періоди ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ такі, що будь-який період ${\displaystyle \omega }$ може бути записано як:

${\displaystyle \omega =ma+nb\,}$.

Дана пара не є єдиною. Якщо a і b — фундаментальні періоди, що визначають деяку ґратку, то таку ж ґратку визначають і фундаментальні періоди d' і c' де d' = p a + q b і c' = r a + s b де p, q, r і s — цілі числа, що задовольняють рівність p s − q r = 1. Тобто детермінант матриці:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}}$

рівний одиниці.

Паралелограм: ${\displaystyle \{\mu a+\lambda b\mid 0\leq \mu ,\lambda \leq 1\}}$ називається фундаментальним паралелограмом. На даному паралелограмі еліптична функція набуває всіх своїх значень.

Властивості

• Будь-яка еліптична функція має скінченну кількість полюсів в межах фундаментального паралелограма.

Дане твердження випливає з того, що за означенням усі особливі точки цієї функції є ізольованими. Відповідно множина полюсів не має граничної точки, оскільки в усіх точках крім полюсів функція є неперервною. Оскільки фундаментальний паралелограм є компактною множиною з теореми Больцано-Вейєрштраса випливає, що множина полюсів є скінченною.

• Еліптична функція, що не має жодного полюсу рівна константі:

Якщо еліптична функція ${\displaystyle f(z)}$ не має полюсів то вона неперервна в усій множині ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Оскільки фундаментальний паралелограм є компактною множиною, то для всіх його точок виконується нерівність ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ для деякого дійсного числа M. Зважаючи на періодичність дана нерівність виконуватиметься в усій комплексній площині. Отже ${\displaystyle f(z)}$ — обмежена, аналітична функція і згідно з теоремою Ліувіля вона рівна константі.

• Якщо еліптична функція ${\displaystyle f(z)}$ не має полюсів на межі паралелограма ${\displaystyle \alpha +\Pi }$, то сума лишків ${\displaystyle f(z)}$ у всіх полюсах, що знаходяться всередині ${\displaystyle \alpha +\Pi }$ рівна нулю. (Друга теорема Ліувілля)

• Будь-яка еліптична функція з періодами ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ може бути представлена у вигляді

${\displaystyle f(z)=h(\wp (z))+g(\wp (z)){\wp }'(z)}$

Де h, g — раціональні функції, ${\displaystyle \wp (z)}$ — функція Вейєрштрасса з тими ж періодами що і у ${\displaystyle f(z)}$. Якщо при цьому ${\displaystyle f(z)}$ є парною функцією, то її можна представити у вигляді ${\displaystyle f(z)=h(\wp (z))}$, де h раціональна.

• Еліптичні функції не є елементарними, це було доведено Якобі в 1830-х роках.

• Множина еліптичних функцій з однаковими періодами утворює поле.

• Похідна еліптичної функції теж є еліптичною функцією з тими ж періодами.

Див. також

• Еліптичні функції Вейєрштрасса
• Еліптичні функції Якобі

Література

• «Эллиптические кривые», Э. Кнэпп, Москва, издательство «Факториал Пресс», 2004 год. §6.2 Эллиптические функции.
• «Введение в теорию функций комплексного переменного», И. И. Привалов, Москва, Государственное издание физико-математической литературы, 1960 год. Глава 11.