Гауссові цілі числа — комплексні числа вигляду де — звичайні цілі числа. Якщо дозволити раціональні значення для то одержимо поле гауссових раціональних чисел.
Гауссові цілі числа утворюють комутативне кільце, яке докладно дослідив Карл Гаусс. На гауссові цілі числа поширюється теорема про однозначність розкладу на прості множники, яка відома для звичайних цілих чисел з часів Евкліда. Це надає концептуальне пояснення результатам П. Ферма та Л. Ейлера відносно розв'язків рівняння у цілих числах і приводить до короткого доведення великої теореми Ферма для
Множина гауссових цілих чисел прийнято позначати їх властивості схожі на властивості множини звичайних цілих чисел , проте є й істотні відмінності .
У запроваджених Гауссом і Н. Абелем дослідженнях довжини дуги лемніскати, гауссові цілі числа було застосовано до питань теорії еліптичних функцій, так звана , і до обчислення середнього арифметико-геометричного.
Загальні властивості
Визначення і класифікація
Формальне визначення:
- .
Множина містить безліч звичайних цілих чисел і являє собою його розширення.Сума, різниця і добуток гауссових чисел є гауссовими числами; така структура алгебри називається кільцем.Ввести в цьому комплексному кільці впорядкованість неможливо. Відзначимо також, що спряжене до гауссового числа є також гауссове число
Кожне гауссове число задовольняє квадратному рівнянні:
Тому гауссове число є ціле алгебраїчне число.
Норма
Норма для гауссового числа визначається як квадрат його модуля:
Властивості норми:
- Норма дорівнює нулю тільки для нуля. В інших випадках норма — додатне ціле число.
- Норми спряжених чисел збігаються.
- Норма звичайного цілого числа дорівнює його квадрату.
- Якщо норма непарна, то вона має вигляд , тобто при діленні його на виходить залишок . Ніяке гауссове число не може мати норму виду
Норма, як і модуль, має важливу властивість мультиплікативності:
Звідси випливає, що зворотніми елементами кільця є ті елементи, у яких норма дорівнює , тобто .
Два гауссових числа називаються асоційованими, якщо одне виходить з іншого множенням на дільник одиниці. Легко побачити, що асоційованість — відношення еквівалентності. Приклад: гауссові числа и асоційовані, оскільки:
У кожного ненульового гауссового числа є три асоційованих з ним. Норми всіх чотирьох асоційованих між собою чисел збігаються.
Теорія подільності
Ділення націло
Ділення націло гауссових чисел визначається звичайним чином: Вимова: один з трьох рівносильних варіантів.
- ділиться на
- ділить
- — дільник
Використовуються традиційні терміни: ділене або кратне (), дільник () та частка від ділення (). Кількість дільників гауссового числа завжди скінчене, кількість кратних нескінченно.
Приклад: число ділиться націло на , тому що .
Всі гауссові числа діляться на дільники одиниці, тому будь-яке гауссове число, відмінне від дільників одиниці, має як мінімум дільників: дільника одиниці і їх добутку на саме це число. Ці подільники називаються тривіальними.
Ділення націло в за своїми властивостями схоже на аналогічне ділення цілих чисел. Деякі специфічні для гауссових чисел особливості:
- Якщо гауссове число ділиться націло на звичайне ціле число, то на це ціле число діляться як дійсна, так і уявна частина
- Якщо и , то ці числа асоційовані.
- Якщо , то будь-яке з 3 чисел, асоційованих з ділиться на будь-яке з чисел, асоційованих з .
- Якщо ділиться на , то спряжене до діленого числа ділиться на спряжене до дільника
- Всі дільники гауссового числа є також дільниками його норми
- Норма гауссового числа парна тоді і тільки тоді, коли це число ділиться на
- Якщо , то і норма діленого, в силу мультиплікативності, ділиться націло на норму дільника. При цьому:
Кажуть, що гауссове число ділиться (націло) на гауссове число , якщо існує третє гауссове число таке, що . Позначення: , |
Геометричне уявлення подільності
У кожного гауссового числа є кратних з тією ж нормою (і, відповідно, тим же модулем) — це саме та асоційовані з ним числа, які виходять послідовним множенням на :
Але множення на означає на комплексній площині поворот радіус-вектора числа на 90° проти годинникової стрілки, причому модуль результату буде тим же. Таким чином, всі 4 числа утворюють рівносторонній хрест (виділено червоним на малюнку), центр і вершини якого кратні . Послідовно зрушуючи цей хрест на всі боки на одну з 4 величин, асоційованих з , ми одержуємо на всій площині квадратну решітку, всі вузли якої (вершини квадратів) кратні . Зворотньо, будь яке кратне збігається з одним з вузлів решітки. Ширина кожного квадрата решітки дорівнює Далі для стислості ця решітка буде називатися «решіткою кратних» (або, якщо потрібне уточнення, «-решітка кратних»).
Приклад: на малюнку одним з вузлів решітки є число , кратне :
Прості гауссові числа
Просте гауссове число — це ненульове число, яке не має інших дільників, крім тривіальних. Число, що не є простим, називається складовим. При цьому дільники одиниці, подібно натуральної одиниці, не вважаються ні простими, ні складовими числами.
Деякі властивості простих гауссових чисел:
- Якщо — просте гауссове число, то і спряжене до нього гауссове число також є простим.
- Якщо просте гауссове число є дільником добутку гауссових чисел, то воно є дільником принаймні одного із співмножників.
- Норма будь-якого простого гауссового числа, крім асоційованих з , завжди непарна і тому дорівнює
Натуральне просте число може не бути гауссовим простим числом. Наприклад, числа 2 і 5 в вже не прості:
Взаємно прості числа
Якщо гауссове число є дільником для двох гауссових чисел і , воно називається їх спільним дільником. Множина спільних дільників двох чисел завжди містить 4 дільники одиниці; якщо інших спільних дільників немає, ці числа називаються взаємно простими.
Відзначимо, що якщо норми гауссових чисел , взаємно прості як цілі числа, то і самі числа , взаємно прості як гауссові числа. Зворотнє невірно: норми взаємно простих гауссових чисел можуть мати спільні дільники — наприклад і взаємно прості, але їх норми збігаються і тому не взаємно прості.
Зазначимо дві властивості, аналогічні властивостям цілих чисел.
- Якщо кожне з двох гауссових чисел взаємно просто з гауссовим числом то і їх добуток теж взаємно просто з
- Якщо і при цьому взаємно просто з , то
Критерій Гауса
Гаус вказав визначальні ознаки простого числа в .
Гауссове число є простим тоді і тільки тоді, коли:
|
Наведемо приклади простих гауссових чисел.
- До першої частини критерію:
- До другої частини критерію:
Деякі джерела для більшої ясності поділяють другу частину критерію на дві:
- Числа, асоційовані з Їх норма дорівнює 2.
- Числа, норма яких є просте натуральне число вигляду
Сам Гаус такого поділу не робив.
Наслідки.
- Ніяке просте натуральне число вигляду не може бути простим гауссовим числом. Прості натуральні числа виду є і простими гауссовими числами.
- Норма простого гауссового числа є або простим натуральним числом, або квадратом простого натурального числа.
- Просте натуральне число вигляду можна представити як добуток спряжених простих гауссових чисел або, що те ж саме, як суму квадратів . Цей факт відомий як Теорема Ферма — Эйлера. Саме при дослідженні даної теми, а також теорії біквадратичних лишок, Гаус з успіхом застосував цілі комплексні числа. Навпаки, якщо просте натуральне число можна подати у вигляді суми натуральних квадратів, то в воно складене і розкладається на два спряжених гауссових простих.
- Кожне просте гауссове число є дільником одного і тільки одного простого натурального числа. Це означає, що розкладаючи натуральні прості на гауссові множники, ми отримаємо всі гауссові прості.
Розклад на прості множники
В має місце аналог основної теореми арифметики: кожне гауссове число, що не є нулем або дільником одиниці, розкладається на прості множники, причому це розкладання однозначно з точністю до порядку і асоційованості множників.
Приклад: Множники цих двох, по виду різних, розкладів попарно асоційовані: так що однозначність не порушується.
Щоб практично розкласти гауссове число на прості множники, можна використовувати наведену вищу властивість: всі дільники гауссового числа є також дільниками його норми. При цьому норма містить також «зайві» прості множники, відповідні спряжені до на прості множники, можна використовувати наведену вище властивість: всі дільники гауссового числа є також дільниками його норми.
Таким чином, почати слід з розкладання норми числа на прості натуральні множники.
- Множник 2, якщо він присутній в розкладанні норми, розкладається як. Слід включити в результуюче розкладання ті з цих множників (у відповідній мірі), на які ділиться націло.
- Крім 2, інші множники норми — непарні. Множник виду є простим гауссовим числом, тому він ділить не тільки норму, але і саме Але тоді цей множник ділить і спряжене число . Звідси випливає, що множник виду входить в розкладання норми завжди в парній степені, а в розкладання самого — в степені, вдвічі меншою.
- Множник виду можна розкласти на добуток спряжених простих гауссових чисел (або, що те ж саме, на суму квадратів натуральних чисел). І тут слід діленням з'ясувати, який із співмножників відноситься до початкового числа, а який — до спряженого.
Приклад. Розкладемо на прості множники Норма цього числа дорівнює 225, розкладемо її на прості натуральні множники: За попереднім, Перевіркою переконуємося, що ділиться тільки на и не ділиться на Частка від ділення на дорівнює тому остаточно отримуємо:
Теорія порівнянь
Порівняння по гауссовому модулю
Поняття порівняння по модулю визначається в аналогічно тому, як це робиться для цілих чисел:
Нехай — деяке гауссове число. Два гауссових числа називаються порівнянними по модулю , якщо різниця ділиться (націло) на . Запис: |
Властивості порівнянь в в основному такі ж, як у цілих чисел. Відношення порівнянності є відношення еквівалентності, тому розбивається на непересічні класи лишок — кожен такий клас містить всі порівнянні один з одним (по заданому модулю) гауссові числа. Для класів, як у випадку цілих чисел, можна визначити додавання і множення, так що виходить кільце лишок по гауссовому модулю.
Приклад. Візьмемо як модуль порівняння . Тоді розбивається на два класи лишок: числа , у яких , однакової парності, потраплять в один клас (що містить кратні модуля), а числа з різною парністю ,— в іншій.
У гауссового порівняння є деякі особливості. Наприклад, якщо для цілих чисел по модулю 3 існують 3 класу лишок з представниками то для гауссових чисел за тим же модулю кількість класів значно більше. Їх представники:
Як виявив Гаус, кільце лишок по модулю містить елементів. Цей факт змушує модифікувати деякі класичні теореми. Наприклад, мала теорема Ферма для цілих чисел стверджує, що ділиться на для будь-якого простого і натурального . Для гауссових чисел це невірно, навіть якщо обмежитися натуральними значеннями ; наприклад, для цілих чисел завжди ділиться на 3, а для гауссових , і це значення на 3 не ділиться. Модифікований аналог малої теореми Ферма формулюється в такий спосіб: Перевіримо на тому ж прикладі з Отримуємо: — ділиться на 3.
Нехай — деяке гауссове число. Два гауссових числа називаються порівнянними по модулю , якщо різниця ділиться (націло) на . Запис: |
|
Назвемо клас лишок по модулю містить число оборотним, якщо порівняння має рішення відносно Клас оборотний тоді і тільки тоді, коли гауссові числа и взаємно прості. Зокрема, якщо модуль порівнянь — гауссове просте число, то кожен ненульовий клас лишок має оборотний елемент, а це означає, що класи лишок по простому модулю в , як і в утворюють поле.
Функція Ейлера для гауссових чисел
Введемо аналог функції Ейлера для гауссових чисел. Визначення для цілих чисел не годиться хоча б тому, що міститься в ньому вираз «від до » не має сенсу для комплексних чисел. Нове визначення:
Функція Ейлера для гауссового числа визначається як число оборотних класів лишок по модулю |
Визначена таким чином функція, як і її прототип для цілих чисел, мультиплікативна, тому достатньо знати її значення для простих чисел і їх натуральних степенів. Якщо — просте гауссове число, то:
Приклад:
Тепер можна узагальнити наведену в попередньому розділі малу теорему Ферма на випадок довільного (не обов'язково простого) модуля порівняння, тобто привести аналог теореми Ейлера:
Якщо гауссове число взаємно просто з модулем , то: |
Геометричне уявлення порівняння по модулю
Розглянемо для прикладу порівняння по модулю Як сказано в розділі про геометричному поданні подільності, можна розбити комплексну площину на квадрати, так, що вузли цієї решітки (вершини квадратів) представляють всілякі комплексні кратні Тоді, за визначенням, числа можна порівняти по модулю, якщо їх різниця збігається з одним з вузлів решітки кратних.
Кожен квадрат решітки виходить з будь-якого іншого квадрата зрушенням (переносом) на величину, кратну тому різниця будь-якої точки квадрата і результату її зсуву теж кратна Звідси випливає остаточний висновок:
Гауссові числа порівняні по модулю тоді і тільки тоді, коли вони займають одне і теж відносне положення в своїх квадратах решітки кратних. |
Наприклад, можна порівняти всі центри квадратів, або всі середини їх відповідних сторін тощо
Ділення з залишком
Визначення
У кільці можна визначити ділення із залишком (на будь яке ненульове гауссове число), вимагаючи, щоб норма залишку була менше норми дільника:
Будь яке гауссове число можна поділити із залишком на будь яке ненульове гауссове число , тобто представити у вигляді: де частка і залишок — гауссові числа, причому |
Нескладно показати, що як частку від ділення із залишком можна взяти гауссове число, найближчим до частки від звичайного ділення комплексних чисел.
Необхідно відзначити, що умова «норма залишку менше норми дільника» недостатньо для того, щоб гарантувати однозначність залишку від ділення. В , на відміну від , залишок неоднозначний. Наприклад, можна розділити на трьома способами:
Можна гарантувати тільки те, що всі залишки потрапляють в один клас залишок по модулю дільника.
Приклад. Поділимо із залишком на . Спочатку знайдемо частку від звичайного комплексного ділення:
Найближче до результату гауссове число є тоді залишок дорівнює В результаті отримуємо:
Геометричне представлення
З визначення поділу із залишком на слідує, що тобто модуль залишку є відстань між комплексними числами и Іншими словами, є відстань від діленого до одного з вузлів -решітки кратних. Вимога «норма залишку менше норми дільника» еквівалентно умові . Звідси випливає:
Ділення із залишком на має стільки рішень, скільки вузлів -решітки кратних знаходиться від діленого на відстані менше |
У наведеному вище прикладі ділення на найближчими до діленого є кратні дільника, що утворюють вершини квадрата решітки, що містить ділене:
Всі вони знаходяться від діленого на відстані менше, ніж Четверта вершина квадрата віддалена від діленого більше ніж на Тому дана задача поділу із залишком має три рішення.
У загальному випадку, провівши з вершин квадрата -решітки кратних дуги радіусом , ми отримали фігуру, показану на малюнку. Якщо ділене знаходиться в центральній області (червона зона), воно віддалене від усіх вершин менш ніж на , і поділ із залишком може бути виконано чотирма способами. Якщо ділене знаходиться в одному з «пелюсток» (синя зона), то одна з вершин відпадає, і число рішень дорівнює трьом. Для білої зони отримуємо два рішення. Нарешті, якщо ділене збігається з однією з вершин, то залишок дорівнює нулю, і рішення єдино.
Найбільший спільний дільник
Кільце гауссових чисел є евклідовим, і в ньому завжди можна визначити найбільший спільний дільник, визначений однозначно з точністю до дільників одиниці.
Найбільшим спільним дільником НСД для гауссових чисел і , хоча б одно з яких ненульове, називається їх спільний дільник , який ділиться на будь який інший спільний дільник і . |
Еквівалентне визначення: НСД є той загальний дільник , у якого норма максимальна.
- Властивості НСД
- Якщо відомий деякий НСД, то будь-яка з трьох чисел, асоційованих з ним, також буде НСД. Зокрема. якщо один з НСД — дільник одиниці, то такими ж будуть і інші три НСД.
- Гауссові числа взаємно прості тоді і тільки тоді, коли їх НСД є дільник одиниці.
- Має місце аналог співвідношення Безу:
Нехай — гауссові числа, і хоча б одно з них не нуль. Тоді існує такі гауссові числа , що виконується співвідношення:
|
- Іншими словами, найбільший спільний дільник двох гауссових чисел можна завжди уявити як лінійну комбінацію цих чисел з гауссовими коефіцієнтами.
- Слідство співвідношення Безу: якщо гауссові числа взаємно прості, то рівняння відносно має рішення в Замість 1 в наведеному рівнянні може стояти будь-який інший дільник одиниці, теорема при цьому залишиться вірною.
Алгоритм Евкліда і практичне обчислення НСД
Для визначення НСД в зручно використовувати алгоритм Евкліда, цілком аналогічний вживаному для цілих чисел. НСД виходить в цій схемі як останній ненульовий залишок. Алгоритм Евкліда можна також використовувати для знаходження коефіцієнтів в співвідношенні Безу.
Приклад 1. Знайдемо НСД для і
- Крок 1: (розділили з залишком перше число на друге): Крок 2: (розділили з залишком попередній дільник на залишок попереднього кроку): Крок 3: (та сама дія): Крок 4: (та сама дія, розподіл виконується без остачі)
Відзначимо, що на кожному кроці норма залишку монотонно зменшується. Останній ненульовий залишок дорівнює , це дільник одиниці, тому робимо висновок, що досліджувані числа взаємно прості.
Приклад 2. Знайдемо НСД для и
- Крок 1:
- Крок 2:
- Крок 3: (розподіл виконується без остачі)
Останній ненульовий залишок дорівнює , це і є шуканий НСД. Послідовно підставляючи замість лівих частин рівностей праві (починаючи з передостанньої рівності, від низу до верху), ми отримаємо співвідношення Безу для НСД:
Деякі додатки
Гаус використовував відкриту їм алгебраїчну структуру для глибокого дослідження біквадратних залишків. Можна вказати і інші області успішного застосування гауссових чисел. Примітно, що значна їх частина відноситься до теорії не комплексних, а натуральних чисел.
Розкладання натуральних чисел на суму двох квадратів
З критерію Гауса випливає, що просте натуральне число вигляду можна представити у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел, причому єдиним способом. Приклад:
Розкладання натуральних чисел іншого виду не завжди можливо — наприклад, і інші числа виду можна представити у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел. Складові числа можуть також мати більше одного варіанту розкладу, наприклад: Загальна теорема: натуральне число можна подати у вигляді суми двох квадратів тоді і тільки тоді, коли в його канонічному розкладанні всі прості множники виду входять в парних степенях.
Приклад: можна представити у вигляді суми квадратів, тому що число 3 (як і 7) входить в нього з непарним степенем. Але уявити можна:
Підрахунок числа представленого у вигляді суми двох квадратів
Число представлень натурального числа у вигляді суми квадратів (але, що те ж саме, число гауссових чисел з нормою ) можна визначити наступним чином. Розкладемо на прості натуральні множники:
Тут — множники виду а — множники виду Тоді можливі 3 випадки .
- Якщо хоча б один показник степеня непарний, число не може бути представлено у вигляді суми квадратів.
- Нехай всі парні. Остаточна формула залежить від парності Якщо всі вони теж парні, то формула має вигляд:
- Якщо не всі парні, то формула трохи відрізняється:
Теорія піфагорових трійок
Піфагорова трійка — це одне з цілочисельних рішень рівняння:
Загальне рішення рівняння залежить від двох цілих параметрів :
Для генерації піфагорових трійок можна використовувати такий прийом. Нехай — довільне гауссове число, у якого обидва компонента ненульові. Звівши це число в квадрат, одержимо деяке інше гауссове число Тоді трійка буде піфагоровою.
Приклад: для вихідного числа отримаємо пифагорову трійку:
Розв’язування діофантових рівнянь
Розв’язання багатьох діофантових рівнянь вдається знайти, якщо залучити апарат гауссових чисел. Наприклад, для рівняння нескладні перетворення дають два типи цілих взаємно простих рішень, залежать від цілих параметрів:
У 1850 році Віктор Лебег, використовуючи гауссові числа, досліджував рівняння і довів його нерозв'язність в натуральних числах. Іншими словами, серед натуральних чисел виду немає жодного повного куба чи іншого степеня вище другого.
Невирішені проблеми
- Знайти кількість гауссових чисел, норма яких менше заданої натуральної константи. В еквівалентному формулюванні ця тема відома як «проблема кола Гауса» у геометрії чисел.
- Знайти прямі на комплексній площині, що містять нескінченно багато простих гауссових чисел. Дві такі прямі очевидні — це координатні осі; невідомо, чи існують інші.
- Питання, відомий під назвою [en]»: чи можна дійти до нескінченності, переходячи від одного простого гауссового числа до іншого стрибками заздалегідь обмеженої довжини? Завдання поставлене в 1962 році і до цих пір не вирішена.
Варіації і узагальнення
Ще одним історично важливим евклідовим кільцем, за схожими властивостями на цілі, числа Стали «цілі числа Ейзенштейна».
Гауссові раціональні числа, що позначаються — це комплексні числа виду , де — раціональні числа. Ця множина замкнута щодо всіх 4 арифметичних операцій, включаючи ділення, і тому є полем, розширюють кільце гауссових чисел.
Історія
У 1820-х годах Карл Фрідріх Гаус досліджував біквадратичний закон взаємності, результатом стала монографія «Теорія біквадратичних залишків» (1828—1832). Саме в цій праці цілі комплексні числа довели свою корисність для вирішення завдань теорії чисел, хоча формулювання цих завдань ніяк не пов'язана з комплексними числами. Гаус писав, що «природне джерело загальної теорії слід шукати в розширенні області арифметики».
У книзі Гауса було показано, що нові числа за своїми властивостями багато в чому нагадують звичайні цілі числа. Автор описав чотири дільник одиниці, визначив ставлення асоційованості, поняття простого числа, дало критерій простоти і довів аналоги основної теореми арифметики, малої теореми Ферма. Далі Гаус докладно розглянув лишки по комплексному модулю, індекси і первісні корені. Головним досягненням побудованої теорії став біквадратичний закон взаємності, який Гаус обіцяв довести в наступному томі; цей том так і не був опублікований, але в рукописах Гауса була виявлена детальна схема строгого доказу.
Гаус використовував запроваджені ним числа також і в інших своїх працях, наприклад, по алгебраїчним рівнянням. Ідеї Гауса були розвинені в працях Карла Густава Якоба Якобі та Фердинанда Готтхольда Ейзенштейна. У середині XIX століття Ейзенштейн, Діріхле и Ерміт ввели і досліджували узагальнене поняття цілого алгебраїчного числа.
Кільце гауссових цілих чисел було одним з перших прикладів алгебраїчної структури з незвичними властивостями. Згодом було відкрито велику кількість структур такого типу, а в кінці XIX століття з'явилася абстрактна алгебра, вивчає алгебраїчні властивості окремо від об'єктів-носіїв цих властивостей.
Примітки
- Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 146..
- Айерлэнд К., Роузен М., 1987, с. 23..
- Окунев Л. Я., 1941, с. 27—28..
- Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 147—149..
- Окунев Л. Я., 1941, с. 32..
- Окунев Л. Я., 1941, с. 29..
- Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 150..
- Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 155..
- Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 156..
- Окунев Л. Я., 1941, с. 41, 44..
- A classification of gaussian primes, с. 10..
- Гаусс К. Ф., 1959, с. 698..
- Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 158..
- Conrad, Keith, Глава 9..
- Окунев Л. Я., 1941, с. 33—34..
- Conrad, Keith, Глава 6..
- Conrad, Keith, Глава 7..
- Conrad, Keith, Глава 3..
- Окунев Л. Я., 1941, с. 30—31..
- Окунев Л. Я., 1941, с. 35—36..
- Conrad, Keith, Глава 4..
- Conrad, Keith, Глава 5..
- Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 153—155..
- Conrad, Keith, Глава 8..
- Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 164—166..
- Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 162—163..
- Conway J. H., Sloane N. J. A. Sphere Packings, Lattices and Groups. — Springer-Verlag. — P. 106.
- Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV. — 3rd ed.. — New York : Springer, 1996. — ..
- Guy Richard K. Unsolved problems in number theory. — 3rd ed.. — New York : Springer, 2004. — P. 55—57.. — .
- Hardy G. H., Wright E. M., 1968, с. 189..
Див. також
Посилання
- Ю.Дрозд. Алгебричні числа. Конспект лекцій [ 17 січня 2015 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Gaussovi cili chisla Z i displaystyle mathbb Z i kompleksni chisla viglyadu a bi displaystyle a bi de a b Z displaystyle a b in mathbb Z zvichajni cili chisla Yaksho dozvoliti racionalni znachennya dlya a b displaystyle a b to oderzhimo pole Q i displaystyle mathbb Q i gaussovih racionalnih chisel Gaussovi cili chisla utvoryuyut komutativne kilce yake dokladno doslidiv Karl Gauss Na gaussovi cili chisla poshiryuyetsya teorema pro odnoznachnist rozkladu na prosti mnozhniki yaka vidoma dlya zvichajnih cilih chisel z chasiv Evklida Ce nadaye konceptualne poyasnennya rezultatam P Ferma ta L Ejlera vidnosno rozv yazkiv rivnyannya a2 b2 p displaystyle a 2 b 2 p u cilih chislah i privodit do korotkogo dovedennya velikoyi teoremi Ferma dlya n 4 displaystyle n 4 Mnozhina gaussovih cilih chisel prijnyato poznachati Z i displaystyle mathbb Z i yih vlastivosti shozhi na vlastivosti mnozhini zvichajnih cilih chisel Z displaystyle mathbb Z prote ye j istotni vidminnosti U zaprovadzhenih Gaussom i N Abelem doslidzhennyah dovzhini dugi lemniskati gaussovi cili chisla bulo zastosovano do pitan teoriyi eliptichnih funkcij tak zvana i do obchislennya serednogo arifmetiko geometrichnogo Zagalni vlastivostiViznachennya i klasifikaciya Formalne viznachennya Z i a bi a b Z displaystyle mathbb Z i a bi mid a b in mathbb Z Mnozhina Z i displaystyle mathbb Z i mistit bezlich zvichajnih cilih chisel Z displaystyle mathbb Z i yavlyaye soboyu jogo rozshirennya Suma riznicya i dobutok gaussovih chisel ye gaussovimi chislami taka struktura algebri nazivayetsya kilcem Vvesti v comu kompleksnomu kilci vporyadkovanist nemozhlivo Vidznachimo takozh sho spryazhene do gaussovogo chisla a bi displaystyle a bi ye takozh gaussove chislo a bi displaystyle a bi Kozhne gaussove chislo z a bi displaystyle z a bi zadovolnyaye kvadratnomu rivnyanni z a 2 b2 0 displaystyle z a 2 b 2 0 Tomu gaussove chislo ye cile algebrayichne chislo Norma Norma dlya gaussovogo chisla a bi displaystyle a bi viznachayetsya yak kvadrat jogo modulya N a bi a2 b2 a bi a bi displaystyle N left a bi right a 2 b 2 a bi overline a bi Vlastivosti normi Norma dorivnyuye nulyu tilki dlya nulya V inshih vipadkah norma dodatne cile chislo Normi spryazhenih chisel zbigayutsya Norma zvichajnogo cilogo chisla dorivnyuye jogo kvadratu Yaksho norma neparna to vona maye viglyad 4n 1 displaystyle 4n 1 tobto pri dilenni jogo na 4 displaystyle 4 vihodit zalishok 1 displaystyle 1 Niyake gaussove chislo ne mozhe mati normu vidu 4n 3 displaystyle 4n 3 Norma yak i modul maye vazhlivu vlastivist multiplikativnosti N u v N u N v displaystyle N u cdot v N u cdot N v Zvidsi viplivaye sho zvorotnimi elementami kilcya ye ti elementi u yakih norma dorivnyuye 1 displaystyle 1 tobto 1 1 i i displaystyle 1 1 i i Dva gaussovih chisla nazivayutsya asocijovanimi yaksho odne vihodit z inshogo mnozhennyam na dilnik odinici Legko pobachiti sho asocijovanist vidnoshennya ekvivalentnosti Priklad gaussovi chisla 1 i displaystyle 1 i i 1 i displaystyle 1 i asocijovani oskilki 1 i i 1 i displaystyle 1 i i 1 i U kozhnogo nenulovogo gaussovogo chisla ye tri asocijovanih z nim Normi vsih chotiroh asocijovanih mizh soboyu chisel zbigayutsya Teoriya podilnostiDilennya nacilo Dilennya nacilo gaussovih chisel viznachayetsya zvichajnim chinom Vimova odin z troh rivnosilnih variantiv u displaystyle u dilitsya na v displaystyle v v displaystyle v dilit u displaystyle u v displaystyle v dilnik u displaystyle u Vikoristovuyutsya tradicijni termini dilene abo kratne u displaystyle u dilnik v displaystyle v ta chastka vid dilennya q displaystyle q Kilkist dilnikiv gaussovogo chisla zavzhdi skinchene kilkist kratnih neskinchenno Priklad chislo 2 displaystyle 2 dilitsya nacilo na 1 i displaystyle 1 i tomu sho 2 1 i 1 i displaystyle 2 1 i 1 i Vsi gaussovi chisla dilyatsya na dilniki odinici tomu bud yake gaussove chislo vidminne vid dilnikiv odinici maye yak minimum 8 displaystyle 8 dilnikiv 4 displaystyle 4 dilnika odinici i 4 displaystyle 4 yih dobutku na same ce chislo Ci podilniki nazivayutsya trivialnimi Dilennya nacilo v Z i displaystyle mathbb Z i za svoyimi vlastivostyami shozhe na analogichne dilennya cilih chisel Deyaki specifichni dlya gaussovih chisel osoblivosti Yaksho gaussove chislo z displaystyle z dilitsya nacilo na zvichajne cile chislo to na ce cile chislo dilyatsya yak dijsna tak i uyavna chastina z displaystyle z Yaksho u v displaystyle u v i v u displaystyle v u to ci chisla asocijovani Yaksho u v displaystyle u v to bud yake z 3 chisel asocijovanih z v displaystyle v dilitsya na bud yake z 3 displaystyle 3 chisel asocijovanih z u displaystyle u Yaksho u displaystyle u dilitsya na v u vq displaystyle v u vq to spryazhene do dilenogo chisla u displaystyle overline u dilitsya na spryazhene do dilnika v u v q displaystyle overline v overline u overline v overline q Vsi dilniki gaussovogo chisla z displaystyle z ye takozh dilnikami jogo normi N z z z displaystyle N z z cdot overline z Norma gaussovogo chisla parna todi i tilki todi koli ce chislo dilitsya na 1 i displaystyle 1 i Yaksho v u displaystyle v u to i norma dilenogo v silu multiplikativnosti dilitsya nacilo na normu dilnika Pri comu Kazhut sho gaussove chislo u displaystyle u dilitsya nacilo na gaussove chislo v displaystyle v yaksho isnuye tretye gaussove chislo q displaystyle q take sho u vq displaystyle u vq Poznachennya v u displaystyle v u N uv N u N v displaystyle N left frac u v right frac N u N v dd Geometrichne uyavlennya podilnosti U kozhnogo gaussovogo chisla z displaystyle z ye 4 displaystyle 4 kratnih z tiyeyu zh normoyu i vidpovidno tim zhe modulem ce same z displaystyle z ta asocijovani z nim 3 displaystyle 3 chisla yaki vihodyat poslidovnim mnozhennyam z displaystyle z na i displaystyle i z iz z iz displaystyle z iz z iz Ale mnozhennya na i displaystyle i oznachaye na kompleksnij ploshini povorot radius vektora chisla na 90 proti godinnikovoyi strilki prichomu modul rezultatu bude tim zhe Takim chinom vsi 4 chisla utvoryuyut rivnostoronnij hrest vidileno chervonim na malyunku centr i vershini yakogo kratni z displaystyle z Poslidovno zrushuyuchi cej hrest na vsi boki na odnu z 4 velichin asocijovanih z z displaystyle z mi oderzhuyemo na vsij ploshini kvadratnu reshitku vsi vuzli yakoyi vershini kvadrativ kratni z displaystyle z Zvorotno bud yake kratne z displaystyle z zbigayetsya z odnim z vuzliv reshitki Shirina kozhnogo kvadrata reshitki dorivnyuye z displaystyle z Dali dlya stislosti cya reshitka bude nazivatisya reshitkoyu kratnih abo yaksho potribne utochnennya reshitka kratnih Priklad na malyunku odnim z vuzliv reshitki ye chislo 4 2i displaystyle 4 2i kratne 1 2i displaystyle 1 2i 4 2i 2i 1 2i displaystyle 4 2i 2i 1 2i Prosti gaussovi chisla Proste gaussove chislo ce nenulove chislo yake ne maye inshih dilnikiv krim trivialnih Chislo sho ne ye prostim nazivayetsya skladovim Pri comu dilniki odinici podibno naturalnoyi odinici ne vvazhayutsya ni prostimi ni skladovimi chislami Deyaki vlastivosti prostih gaussovih chisel Yaksho a bi displaystyle a bi proste gaussove chislo to i spryazhene do nogo gaussove chislo a bi displaystyle a bi takozh ye prostim Yaksho proste gaussove chislo ye dilnikom dobutku gaussovih chisel to vono ye dilnikom prinajmni odnogo iz spivmnozhnikiv Norma bud yakogo prostogo gaussovogo chisla krim asocijovanih z 1 i displaystyle 1 i zavzhdi neparna i tomu dorivnyuye 4n 1 displaystyle 4n 1 Naturalne proste chislo mozhe ne buti gaussovim prostim chislom Napriklad chisla 2 i 5 v Z i displaystyle mathbb Z i vzhe ne prosti 2 1 i 1 i 5 2 i 2 i displaystyle 2 1 i 1 i quad 5 2 i 2 i Vzayemno prosti chisla Yaksho gaussove chislo w displaystyle w ye dilnikom dlya dvoh gaussovih chisel u displaystyle u i v displaystyle v vono nazivayetsya yih spilnim dilnikom Mnozhina spilnih dilnikiv dvoh chisel zavzhdi mistit 4 dilniki odinici yaksho inshih spilnih dilnikiv nemaye ci chisla nazivayutsya vzayemno prostimi Vidznachimo sho yaksho normi gaussovih chisel u displaystyle u v displaystyle v vzayemno prosti yak cili chisla to i sami chisla u displaystyle u v displaystyle v vzayemno prosti yak gaussovi chisla Zvorotnye nevirno normi vzayemno prostih gaussovih chisel mozhut mati spilni dilniki napriklad 5 2i displaystyle 5 2i i 5 2i displaystyle 5 2i vzayemno prosti ale yih normi zbigayutsya i tomu ne vzayemno prosti Zaznachimo dvi vlastivosti analogichni vlastivostyam cilih chisel Yaksho kozhne z dvoh gaussovih chisel u v displaystyle u v vzayemno prosto z gaussovim chislom w displaystyle w to i yih dobutok uv displaystyle uv tezh vzayemno prosto z w displaystyle w Yaksho z uv displaystyle z uv i pri comu z displaystyle z vzayemno prosto z u displaystyle u toz v displaystyle z v Kriterij Gausa Gaus vkazav viznachalni oznaki prostogo chisla v Z i displaystyle mathbb Z i Gaussove chislo a bi displaystyle a bi ye prostim todi i tilki todi koli abo odne z chisel a b displaystyle a b nulove a inshe cile proste chislo vidu 4n 3 displaystyle pm 4n 3 abo a b displaystyle a b obidva ne nuli ta norma a2 b2 displaystyle a 2 b 2 proste naturalne chislo Navedemo prikladi prostih gaussovih chisel Do pershoyi chastini kriteriyu 3 7 3i displaystyle pm 3 pm 7 pm 3i Do drugoyi chastini kriteriyu 1 i 1 2i 1 4i 4 5i 2 3i 15 22i displaystyle 1 pm i 1 pm 2i 1 pm 4i 4 5i 2 3i 15 22i Deyaki dzherela dlya bilshoyi yasnosti podilyayut drugu chastinu kriteriyu na dvi Chisla asocijovani z 1 i displaystyle 1 i Yih norma dorivnyuye 2 Chisla norma yakih ye proste naturalne chislo viglyadu 4n 1 displaystyle 4n 1 Sam Gaus takogo podilu ne robiv Naslidki Niyake proste naturalne chislo viglyadu 4n 1 displaystyle 4n 1 ne mozhe buti prostim gaussovim chislom Prosti naturalni chisla vidu 4n 3 displaystyle 4n 3 ye i prostimi gaussovimi chislami Norma prostogo gaussovogo chisla ye abo prostim naturalnim chislom abo kvadratom prostogo naturalnogo chisla Proste naturalne chislo viglyadu 4n 1 displaystyle 4n 1 mozhna predstaviti yak dobutok spryazhenih prostih gaussovih chisel a bi a bi displaystyle a bi a bi abo sho te zh same yak sumu kvadrativ a2 b2 displaystyle a 2 b 2 Cej fakt vidomij yak Teorema Ferma Ejlera Same pri doslidzhenni danoyi temi a takozh teoriyi bikvadratichnih lishok Gaus z uspihom zastosuvav cili kompleksni chisla Navpaki yaksho proste naturalne chislo mozhna podati u viglyadi sumi naturalnih kvadrativ to v Z i displaystyle mathbb Z i vono skladene i rozkladayetsya na dva spryazhenih gaussovih prostih Kozhne proste gaussove chislo ye dilnikom odnogo i tilki odnogo prostogo naturalnogo chisla Ce oznachaye sho rozkladayuchi naturalni prosti na gaussovi mnozhniki mi otrimayemo vsi gaussovi prosti Rozklad na prosti mnozhniki V Z i displaystyle mathbb Z i maye misce analog osnovnoyi teoremi arifmetiki kozhne gaussove chislo sho ne ye nulem abo dilnikom odinici rozkladayetsya na prosti mnozhniki prichomu ce rozkladannya odnoznachno z tochnistyu do poryadku i asocijovanosti mnozhnikiv Priklad 5 1 2i 1 2i 2 i 2 i displaystyle 5 1 2i 1 2i 2 i 2 i Mnozhniki cih dvoh po vidu riznih rozkladiv poparno asocijovani 1 2i i 2 i 1 2i i 2 i displaystyle 1 2i i 2 i 1 2i i 2 i tak sho odnoznachnist ne porushuyetsya Shob praktichno rozklasti gaussove chislo z displaystyle z na prosti mnozhniki mozhna vikoristovuvati navedenu vishu vlastivist vsi dilniki gaussovogo chisla ye takozh dilnikami jogo normi Pri comu norma mistit takozh zajvi prosti mnozhniki vidpovidni spryazheni do z displaystyle z na prosti mnozhniki mozhna vikoristovuvati navedenu vishe vlastivist vsi dilniki gaussovogo chisla ye takozh dilnikami jogo normi Takim chinom pochati slid z rozkladannya normi chisla z displaystyle z na prosti naturalni mnozhniki Mnozhnik 2 yaksho vin prisutnij v rozkladanni normi rozkladayetsya yak 1 i 1 i displaystyle 1 i 1 i Slid vklyuchiti v rezultuyuche rozkladannya ti z cih mnozhnikiv u vidpovidnij miri na yaki z displaystyle z dilitsya nacilo Krim 2 inshi mnozhniki normi neparni Mnozhnik vidu 4n 3 displaystyle 4n 3 ye prostim gaussovim chislom tomu vin dilit ne tilki normuN z zz displaystyle N z z overline z ale i same z displaystyle z Ale todi cej mnozhnik dilit i spryazhene chislo z displaystyle overline z Zvidsi viplivaye sho mnozhnik vidu 4n 3 displaystyle 4n 3 vhodit v rozkladannya normi zavzhdi v parnij stepeni a v rozkladannya samogo z displaystyle z v stepeni vdvichi menshoyu Mnozhnik vidu 4n 1 displaystyle 4n 1 mozhna rozklasti na dobutok spryazhenih prostih gaussovih chisel abo sho te zh same na sumu kvadrativ naturalnih chisel I tut slid dilennyam z yasuvati yakij iz spivmnozhnikiv vidnositsya do pochatkovogo chisla a yakij do spryazhenogo Priklad Rozklademo na prosti mnozhniki 9 12i displaystyle 9 12i Norma cogo chisla dorivnyuye 225 rozklademo yiyi na prosti naturalni mnozhniki 225 32 52 displaystyle 225 3 2 cdot 5 2 Za poperednim 5 2 i 2 i displaystyle 5 2 i 2 i Perevirkoyu perekonuyemosya sho 9 12i displaystyle 9 12i dilitsya tilki na 2 i displaystyle 2 i i ne dilitsya na 2 i displaystyle 2 i Chastka vid dilennya 9 12i displaystyle 9 12i na 3 2 i displaystyle 3 2 i dorivnyuye 2 i displaystyle 2 i tomu ostatochno otrimuyemo 9 12i 3 2 i 2 displaystyle 9 12i 3 cdot 2 i 2 Teoriya porivnyanPorivnyannya po gaussovomu modulyu Ponyattya porivnyannya po modulyu viznachayetsya v Z i displaystyle mathbb Z i analogichno tomu yak ce robitsya dlya cilih chisel Nehaj w displaystyle w deyake gaussove chislo Dva gaussovih chisla u v displaystyle u v nazivayutsya porivnyannimi po modulyu w displaystyle w yaksho riznicya u v displaystyle u v dilitsya nacilo na w displaystyle w Zapis u v modw displaystyle u equiv v pmod w Vlastivosti porivnyan v Z i displaystyle mathbb Z i v osnovnomu taki zh yak u cilih chisel Vidnoshennya porivnyannosti ye vidnoshennya ekvivalentnosti tomu Z i displaystyle mathbb Z i rozbivayetsya na neperesichni klasi lishok kozhen takij klas mistit vsi porivnyanni odin z odnim po zadanomu modulyu gaussovi chisla Dlya klasiv yak u vipadku cilih chisel mozhna viznachiti dodavannya i mnozhennya tak sho vihodit kilce lishok po gaussovomu modulyu Priklad Vizmemo yak modul porivnyannya 1 i displaystyle 1 i Todi Z i displaystyle mathbb Z i rozbivayetsya na dva klasi lishok chisla a bi displaystyle a bi u yakih a displaystyle a b displaystyle b odnakovoyi parnosti potraplyat v odin klas sho mistit kratni modulya a chisla z riznoyu parnistyu a displaystyle a b displaystyle b v inshij U gaussovogo porivnyannya ye deyaki osoblivosti Napriklad yaksho dlya cilih chisel po modulyu 3 isnuyut 3 klasu lishok z predstavnikami 0 1 2 displaystyle 0 1 2 to dlya gaussovih chisel za tim zhe modulyu kilkist klasiv znachno bilshe Yih predstavniki 0 1 2 i 1 i 2 i 2i 1 2i 2 2i displaystyle 0 1 2 i 1 i 2 i 2i 1 2i 2 2i Yak viyaviv Gaus kilce lishok po modulyu a bi displaystyle a bi mistit N a bi a2 b2 displaystyle N a bi a 2 b 2 elementiv Cej fakt zmushuye modifikuvati deyaki klasichni teoremi Napriklad mala teorema Ferma dlya cilih chisel stverdzhuye sho ap a displaystyle a p a dilitsya na p displaystyle p dlya bud yakogo prostogo p displaystyle p i naturalnogo a displaystyle a Dlya gaussovih chisel ce nevirno navit yaksho obmezhitisya naturalnimi znachennyami p displaystyle p napriklad dlya cilih chisel a3 a displaystyle a 3 a zavzhdi dilitsya na 3 a dlya gaussovih i3 i 2i displaystyle i 3 i 2i i ce znachennya na 3 ne dilitsya Modifikovanij analog maloyi teoremi Ferma formulyuyetsya v takij sposib Perevirimo na tomu zh prikladi z w 3 u i displaystyle w 3 u i Otrimuyemo i9 i 0 displaystyle i 9 i 0 dilitsya na 3 Nehaj w displaystyle w deyake gaussove chislo Dva gaussovih chisla u v displaystyle u v nazivayutsya porivnyannimi po modulyu w displaystyle w yaksho riznicya u v displaystyle u v dilitsya nacilo na w displaystyle w Zapis u v modw displaystyle u equiv v pmod w Dlya prostogo gaussovogo chisla w a bi displaystyle w a bi i bud yakogo gaussovogo chisla u displaystyle u uN w u ua2 b2 u displaystyle u N w u u a 2 b 2 u dilitsya na w displaystyle w Nazvemo klas lishok po modulyu w displaystyle w mistit chislo u displaystyle u oborotnim yaksho porivnyannya ux 1 modw displaystyle ux equiv 1 pmod w maye rishennya vidnosno x displaystyle x Klas oborotnij todi i tilki todi koli gaussovi chislau displaystyle u i w displaystyle w vzayemno prosti Zokrema yaksho modul porivnyan w displaystyle w gaussove proste chislo to kozhen nenulovij klas lishok maye oborotnij element a ce oznachaye sho klasi lishok po prostomu modulyu v Z i displaystyle mathbb Z i yak i v Z displaystyle mathbb Z utvoryuyut pole Funkciya Ejlera dlya gaussovih chisel Vvedemo analog funkciyi Ejlera dlya gaussovih chisel Viznachennya dlya cilih chisel ne goditsya hocha b tomu sho mistitsya v nomu viraz vid 1 displaystyle 1 do n displaystyle n ne maye sensu dlya kompleksnih chisel Nove viznachennya Funkciya Ejlera f z displaystyle varphi z dlya gaussovogo chisla z displaystyle z viznachayetsya yak chislo oborotnih klasiv lishok po modulyu z displaystyle z Viznachena takim chinom funkciya yak i yiyi prototip dlya cilih chisel multiplikativna tomu dostatno znati yiyi znachennya dlya prostih chisel i yih naturalnih stepeniv Yaksho z displaystyle z proste gaussove chislo to f z N z 1 f zk N z k 1 N z 1 displaystyle varphi z N z 1 quad varphi z k N z k 1 N z 1 Priklad f 3 4i f 2 i 2 N 2 i N 2 i 1 5 4 20 displaystyle varphi 3 4i varphi 2 i 2 N 2 i N 2 i 1 5 cdot 4 20 Teper mozhna uzagalniti navedenu v poperednomu rozdili malu teoremu Ferma na vipadok dovilnogo ne obov yazkovo prostogo modulya porivnyannya tobto privesti analog teoremi Ejlera Yaksho gaussove chislo z displaystyle z vzayemno prosto z modulem w displaystyle w to zf w 1 modw displaystyle z varphi w equiv 1 pmod w Geometrichne uyavlennya porivnyannya po modulyu Rozglyanemo dlya prikladu porivnyannya po modulyu w 1 2i displaystyle w 1 2i Yak skazano v rozdili pro geometrichnomu podanni podilnosti mozhna rozbiti kompleksnu ploshinu na kvadrati tak sho vuzli ciyeyi reshitki vershini kvadrativ predstavlyayut vsilyaki kompleksni kratni 1 2i displaystyle 1 2i Todi za viznachennyam chisla mozhna porivnyati po modulyu yaksho yih riznicya zbigayetsya z odnim z vuzliv reshitki kratnih Kozhen kvadrat reshitki vihodit z bud yakogo inshogo kvadrata zrushennyam perenosom na velichinu kratnu w displaystyle w tomu riznicya bud yakoyi tochki kvadrata i rezultatu yiyi zsuvu tezh kratna w displaystyle w Zvidsi viplivaye ostatochnij visnovok Gaussovi chisla porivnyani po modulyu w displaystyle w todi i tilki todi koli voni zajmayut odne i tezh vidnosne polozhennya v svoyih kvadratah reshitki kratnih Napriklad mozhna porivnyati vsi centri kvadrativ abo vsi seredini yih vidpovidnih storin toshoDilennya z zalishkomViznachennya U kilci Z i displaystyle mathbb Z i mozhna viznachiti dilennya iz zalishkom na bud yake nenulove gaussove chislo vimagayuchi shob norma zalishku bula menshe normi dilnika Bud yake gaussove chislo u displaystyle u mozhna podiliti iz zalishkom na bud yake nenulove gaussove chislo v displaystyle v tobto predstaviti u viglyadi u vq r displaystyle u vq r de chastka q displaystyle q i zalishok r displaystyle r gaussovi chisla prichomu N r lt N v displaystyle N r lt N v Neskladno pokazati sho yak chastku vid dilennya iz zalishkom mozhna vzyati gaussove chislo najblizhchim do chastki vid zvichajnogo dilennya kompleksnih chisel Neobhidno vidznachiti sho umova norma zalishku menshe normi dilnika nedostatno dlya togo shob garantuvati odnoznachnist zalishku vid dilennya V Z i displaystyle mathbb Z i na vidminu vid Z displaystyle mathbb Z zalishok neodnoznachnij Napriklad 7 2i displaystyle 7 2i mozhna rozdiliti na 3 i displaystyle 3 i troma sposobami 7 2i 3 i 2 i i 3 i 1 i 3 3 i 2 2i 1 2i displaystyle 7 2i 3 i 2 i i 3 i 1 i 3 3 i 2 2i 1 2i Mozhna garantuvati tilki te sho vsi zalishki potraplyayut v odin klas zalishok po modulyu dilnika Priklad Podilimo iz zalishkom 11 10i displaystyle 11 10i na 4 i displaystyle 4 i Spochatku znajdemo chastku vid zvichajnogo kompleksnogo dilennya 11 10i4 i 11 10i 4 i 4 i 4 i 54 29i17 3 17 1 7i displaystyle frac 11 10i 4 i frac 11 10i 4 i 4 i 4 i frac 54 29i 17 approx 3 17 1 7i Najblizhche do rezultatu gaussove chislo ye 3 2i displaystyle 3 2i todi zalishok dorivnyuye 11 10i 4 i 3 2i 1 i displaystyle 11 10i 4 i 3 2i 1 i V rezultati otrimuyemo 11 10i 4 i 3 2i 1 i displaystyle 11 10i 4 i 3 2i 1 i Geometrichne predstavlennya Z viznachennya podilu iz zalishkom u displaystyle u na v displaystyle v sliduye sho r u vq displaystyle r u vq tobto modul zalishku ye vidstan mizh kompleksnimi chislami u displaystyle u i vq displaystyle vq Inshimi slovami r displaystyle r ye vidstan vid dilenogo do odnogo z vuzliv v displaystyle v reshitki kratnih Vimoga norma zalishku menshe normi dilnika ekvivalentno umovi r lt v displaystyle r lt v Zvidsi viplivaye Dilennya iz zalishkom u displaystyle u na v displaystyle v maye stilki rishen skilki vuzliv v displaystyle v reshitki kratnih znahoditsya vid dilenogo na vidstani menshe v displaystyle v U navedenomu vishe prikladi dilennya 7 2i displaystyle 7 2i na 3 i displaystyle 3 i najblizhchimi do dilenogo ye kratni dilnika sho utvoryuyut vershini kvadrata reshitki sho mistit dilene 7 i 3 i 2 i displaystyle 7 i 3 i 2 i 4 2i 3 i 1 i displaystyle 4 2i 3 i 1 i 8 4i 3 i 2 2i displaystyle 8 4i 3 i 2 2i Vsi voni znahodyatsya vid dilenogo na vidstani menshe nizh v 10 displaystyle v sqrt 10 Chetverta vershina kvadrata 5 5i displaystyle 5 5i viddalena vid dilenogo bilshe nizh na 10 displaystyle sqrt 10 Tomu dana zadacha podilu iz zalishkom maye tri rishennya U zagalnomu vipadku provivshi z vershin kvadrata v displaystyle v reshitki kratnih dugi radiusom v displaystyle v mi otrimali figuru pokazanu na malyunku Yaksho dilene znahoditsya v centralnij oblasti chervona zona vono viddalene vid usih vershin mensh nizh na v displaystyle v i podil iz zalishkom mozhe buti vikonano chotirma sposobami Yaksho dilene znahoditsya v odnomu z pelyustok sinya zona to odna z vershin vidpadaye i chislo rishen dorivnyuye trom Dlya biloyi zoni otrimuyemo dva rishennya Nareshti yaksho dilene zbigayetsya z odniyeyu z vershin to zalishok dorivnyuye nulyu i rishennya yedino Najbilshij spilnij dilnik Kilce gaussovih chisel ye evklidovim i v nomu zavzhdi mozhna viznachiti najbilshij spilnij dilnik viznachenij odnoznachno z tochnistyu do dilnikiv odinici Najbilshim spilnim dilnikom NSD u v displaystyle u v dlya gaussovih chisel u displaystyle u i v displaystyle v hocha b odno z yakih nenulove nazivayetsya yih spilnij dilnik d displaystyle d yakij dilitsya na bud yakij inshij spilnij dilnik u displaystyle u i v displaystyle v Ekvivalentne viznachennya NSD u v displaystyle u v ye toj zagalnij dilnik u v displaystyle u v u yakogo norma maksimalna Vlastivosti NSDYaksho vidomij deyakij NSD to bud yaka z troh chisel asocijovanih z nim takozh bude NSD Zokrema yaksho odin z NSD dilnik odinici to takimi zh budut i inshi tri NSD Gaussovi chisla vzayemno prosti todi i tilki todi koli yih NSD ye dilnik odinici Maye misce analog spivvidnoshennya Bezu Nehaj u v displaystyle u v gaussovi chisla i hocha b odno z nih ne nul Todi isnuye taki gaussovi chisla x y displaystyle x y sho vikonuyetsya spivvidnoshennya NSD u v xu yv displaystyle u v xu yv Inshimi slovami najbilshij spilnij dilnik dvoh gaussovih chisel mozhna zavzhdi uyaviti yak linijnu kombinaciyu cih chisel z gaussovimi koeficiyentami dd Slidstvo spivvidnoshennya Bezu yaksho gaussovi chisla u v displaystyle u v vzayemno prosti to rivnyannya xu yv 1 displaystyle xu yv 1 vidnosno x y displaystyle x y maye rishennya v Z i displaystyle mathbb Z i Zamist 1 v navedenomu rivnyanni mozhe stoyati bud yakij inshij dilnik odinici teorema pri comu zalishitsya virnoyu Algoritm Evklida i praktichne obchislennya NSD Dlya viznachennya NSD v Z i displaystyle mathbb Z i zruchno vikoristovuvati algoritm Evklida cilkom analogichnij vzhivanomu dlya cilih chisel NSD vihodit v cij shemi yak ostannij nenulovij zalishok Algoritm Evklida mozhna takozh vikoristovuvati dlya znahodzhennya koeficiyentiv x y displaystyle x y v spivvidnoshenni Bezu Priklad 1 Znajdemo NSD dlya 32 9i displaystyle 32 9i i 4 11i displaystyle 4 11i Krok 1 32 9i 4 11i 2 2i 2 5i displaystyle 32 9i 4 11i 2 2i 2 5i rozdilili z zalishkom pershe chislo na druge Krok 2 4 11i 2 5i 2 i 3 i displaystyle 4 11i 2 5i 2 i 3 i rozdilili z zalishkom poperednij dilnik na zalishok poperednogo kroku Krok 3 2 5i 3 i 1 i i displaystyle 2 5i 3 i 1 i i ta sama diya Krok 4 3 i i 1 3i displaystyle 3 i i 1 3i ta sama diya rozpodil vikonuyetsya bez ostachi Vidznachimo sho na kozhnomu kroci norma zalishku monotonno zmenshuyetsya Ostannij nenulovij zalishok dorivnyuye i displaystyle i ce dilnik odinici tomu robimo visnovok sho doslidzhuvani chisla vzayemno prosti Priklad 2 Znajdemo NSD dlya 11 3i displaystyle 11 3i i 1 8i displaystyle 1 8i Krok 1 11 3i 1 8i 1 i 2 4i displaystyle 11 3i 1 8i 1 i 2 4i Krok 2 1 8i 2 4i 1 i 1 2i displaystyle 1 8i 2 4i 1 i 1 2i Krok 3 2 4i 1 2i 2 displaystyle 2 4i 1 2i 2 rozpodil vikonuyetsya bez ostachi Ostannij nenulovij zalishok dorivnyuye 1 2i displaystyle 1 2i ce i ye shukanij NSD Poslidovno pidstavlyayuchi zamist livih chastin rivnostej pravi pochinayuchi z peredostannoyi rivnosti vid nizu do verhu mi otrimayemo spivvidnoshennya Bezu dlya NSD 1 2i 11 3i 1 i 1 8i 1 2i displaystyle 1 2i 11 3i 1 i 1 8i 1 2i Deyaki dodatkiGaus vikoristovuvav vidkritu yim algebrayichnu strukturu dlya glibokogo doslidzhennya bikvadratnih zalishkiv Mozhna vkazati i inshi oblasti uspishnogo zastosuvannya gaussovih chisel Primitno sho znachna yih chastina vidnositsya do teoriyi ne kompleksnih a naturalnih chisel Rozkladannya naturalnih chisel na sumu dvoh kvadrativ Z kriteriyu Gausa viplivaye sho proste naturalne chislo viglyadu 4n 1 displaystyle 4n 1 mozhna predstaviti u viglyadi sumi kvadrativ dvoh naturalnih chisel prichomu yedinim sposobom Priklad 29 2 5i 2 5i 22 52 displaystyle 29 2 5i 2 5i 2 2 5 2 Rozkladannya naturalnih chisel inshogo vidu ne zavzhdi mozhlivo napriklad 15 19 27 103 displaystyle 15 19 27 103 i inshi chisla vidu 4n 3 displaystyle 4n 3 mozhna predstaviti u viglyadi sumi kvadrativ dvoh naturalnih chisel Skladovi chisla mozhut takozh mati bilshe odnogo variantu rozkladu napriklad 65 42 72 12 82 displaystyle 65 4 2 7 2 1 2 8 2 Zagalna teorema naturalne chislo mozhna podati u viglyadi sumi dvoh kvadrativ todi i tilki todi koli v jogo kanonichnomu rozkladanni vsi prosti mnozhniki vidu 4n 3 displaystyle 4n 3 vhodyat v parnih stepenyah Priklad 21 3 7 displaystyle 21 3 cdot 7 mozhna predstaviti u viglyadi sumi kvadrativ tomu sho chislo 3 yak i 7 vhodit v nogo z neparnim stepenem Ale 245 5 72 displaystyle 245 5 cdot 7 2 uyaviti mozhna 245 72 142 displaystyle 245 7 2 14 2 Pidrahunok chisla predstavlenogo u viglyadi sumi dvoh kvadrativ Chislo predstavlen r m displaystyle rho m naturalnogo chisla m displaystyle m u viglyadi sumi kvadrativ ale sho te zh same chislo gaussovih chisel z normoyu m displaystyle m mozhna viznachiti nastupnim chinom Rozklademo m displaystyle m na prosti naturalni mnozhniki m 2lp1l1p2l2 prlrq1m1q2m2 qsms displaystyle m 2 lambda p 1 lambda 1 p 2 lambda 2 dots p r lambda r q 1 mu 1 q 2 mu 2 dots q s mu s Tut pi displaystyle p i mnozhniki vidu 4n 1 displaystyle 4n 1 a qj displaystyle q j mnozhniki vidu 4n 3 displaystyle 4n 3 Todi mozhlivi 3 vipadki Yaksho hocha b odin pokaznik stepenya mj displaystyle mu j neparnij chislo m displaystyle m ne mozhe buti predstavleno u viglyadi sumi kvadrativ Nehaj vsi mj displaystyle mu j parni Ostatochna formula zalezhit vid parnosti li displaystyle lambda i Yaksho vsi voni tezh parni to formula maye viglyad r m 12 l1 1 l2 1 lr 1 1 displaystyle rho m frac 1 2 lambda 1 1 lambda 2 1 cdots lambda r 1 1 Yaksho ne vsi li displaystyle lambda i parni to formula trohi vidriznyayetsya r m 12 l1 1 l2 1 lr 1 displaystyle rho m frac 1 2 lambda 1 1 lambda 2 1 cdots lambda r 1 Teoriya pifagorovih trijok Pifagorova trijka ce odne z cilochiselnih rishen rivnyannya x2 y2 z2 displaystyle x 2 y 2 z 2 Zagalne rishennya rivnyannya zalezhit vid dvoh cilih parametriv m n displaystyle m n x m2 n2 y 2mn z m2 n2 displaystyle x m 2 n 2 y 2mn z m 2 n 2 Dlya generaciyi pifagorovih trijok mozhna vikoristovuvati takij prijom Nehaj z a bi displaystyle z a bi dovilne gaussove chislo u yakogo obidva komponenta a b displaystyle a b nenulovi Zvivshi ce chislo v kvadrat oderzhimo deyake inshe gaussove chislo c di displaystyle c di Todi trijka c d N z displaystyle c d N z bude pifagorovoyu Priklad dlya vihidnogo chisla z 17 12i displaystyle z 17 12i otrimayemo pifagorovu trijku 145 408 433 displaystyle 145 408 433 Rozv yazuvannya diofantovih rivnyan Rozv yazannya bagatoh diofantovih rivnyan vdayetsya znajti yaksho zaluchiti aparat gaussovih chisel Napriklad dlya rivnyannya x2 y2 2z2 displaystyle x 2 y 2 2z 2 neskladni peretvorennya dayut dva tipi cilih vzayemno prostih rishen zalezhat vid cilih parametriva b displaystyle a b x a2 2ab b2 y a2 2ab b2 displaystyle x a 2 2ab b 2 y a 2 2ab b 2 x a2 2ab b2 y a2 2ab b2 displaystyle x a 2 2ab b 2 y a 2 2ab b 2 U 1850 roci Viktor Lebeg vikoristovuyuchi gaussovi chisla doslidzhuvav rivnyannya x2 1 yn displaystyle x 2 1 y n i doviv jogo nerozv yaznist v naturalnih chislah Inshimi slovami sered naturalnih chisel vidu n2 1 displaystyle n 2 1 nemaye zhodnogo povnogo kuba chi inshogo stepenya vishe drugogo Nevirisheni problemiZnajti kilkist gaussovih chisel norma yakih menshe zadanoyi naturalnoyi konstantiR displaystyle R V ekvivalentnomu formulyuvanni cya tema vidoma yak problema kola Gausa u geometriyi chisel Znajti pryami na kompleksnij ploshini sho mistyat neskinchenno bagato prostih gaussovih chisel Dvi taki pryami ochevidni ce koordinatni osi nevidomo chi isnuyut inshi Pitannya vidomij pid nazvoyu en chi mozhna dijti do neskinchennosti perehodyachi vid odnogo prostogo gaussovogo chisla do inshogo stribkami zazdalegid obmezhenoyi dovzhini Zavdannya postavlene v 1962 roci i do cih pir ne virishena Variaciyi i uzagalnennyaShe odnim istorichno vazhlivim evklidovim kilcem za shozhimi vlastivostyami na cili chisla Stali cili chisla Ejzenshtejna Gaussovi racionalni chisla sho poznachayutsya Q i displaystyle mathbb Q i ce kompleksni chisla vidu a bi displaystyle a bi de a b displaystyle a b racionalni chisla Cya mnozhina zamknuta shodo vsih 4 arifmetichnih operacij vklyuchayuchi dilennya i tomu ye polem rozshiryuyut kilce gaussovih chisel IstoriyaU 1820 h godah Karl Fridrih Gaus doslidzhuvav bikvadratichnij zakon vzayemnosti rezultatom stala monografiya Teoriya bikvadratichnih zalishkiv 1828 1832 Same v cij praci cili kompleksni chisla doveli svoyu korisnist dlya virishennya zavdan teoriyi chisel hocha formulyuvannya cih zavdan niyak ne pov yazana z kompleksnimi chislami Gaus pisav sho prirodne dzherelo zagalnoyi teoriyi slid shukati v rozshirenni oblasti arifmetiki U knizi Gausa bulo pokazano sho novi chisla za svoyimi vlastivostyami bagato v chomu nagaduyut zvichajni cili chisla Avtor opisav chotiri dilnik odinici viznachiv stavlennya asocijovanosti ponyattya prostogo chisla dalo kriterij prostoti i doviv analogi osnovnoyi teoremi arifmetiki maloyi teoremi Ferma Dali Gaus dokladno rozglyanuv lishki po kompleksnomu modulyu indeksi i pervisni koreni Golovnim dosyagnennyam pobudovanoyi teoriyi stav bikvadratichnij zakon vzayemnosti yakij Gaus obicyav dovesti v nastupnomu tomi cej tom tak i ne buv opublikovanij ale v rukopisah Gausa bula viyavlena detalna shema strogogo dokazu Gaus vikoristovuvav zaprovadzheni nim chisla takozh i v inshih svoyih pracyah napriklad po algebrayichnim rivnyannyam Ideyi Gausa buli rozvineni v pracyah Karla Gustava Yakoba Yakobi ta Ferdinanda Gottholda Ejzenshtejna U seredini XIX stolittya Ejzenshtejn Dirihle i Ermit vveli i doslidzhuvali uzagalnene ponyattya cilogo algebrayichnogo chisla Kilce gaussovih cilih chisel bulo odnim z pershih prikladiv algebrayichnoyi strukturi z nezvichnimi vlastivostyami Zgodom bulo vidkrito veliku kilkist struktur takogo tipu a v kinci XIX stolittya z yavilasya abstraktna algebra vivchaye algebrayichni vlastivosti okremo vid ob yektiv nosiyiv cih vlastivostej PrimitkiKuzmin R O Faddeev D K 1939 s 146 Ajerlend K Rouzen M 1987 s 23 Okunev L Ya 1941 s 27 28 Kuzmin R O Faddeev D K 1939 s 147 149 Okunev L Ya 1941 s 32 Okunev L Ya 1941 s 29 Kuzmin R O Faddeev D K 1939 s 150 Kuzmin R O Faddeev D K 1939 s 155 Kuzmin R O Faddeev D K 1939 s 156 Okunev L Ya 1941 s 41 44 A classification of gaussian primes s 10 Gauss K F 1959 s 698 Kuzmin R O Faddeev D K 1939 s 158 Conrad Keith Glava 9 Okunev L Ya 1941 s 33 34 Conrad Keith Glava 6 Conrad Keith Glava 7 Conrad Keith Glava 3 Okunev L Ya 1941 s 30 31 Okunev L Ya 1941 s 35 36 Conrad Keith Glava 4 Conrad Keith Glava 5 Kuzmin R O Faddeev D K 1939 s 153 155 Conrad Keith Glava 8 Kuzmin R O Faddeev D K 1939 s 164 166 Kuzmin R O Faddeev D K 1939 s 162 163 Conway J H Sloane N J A Sphere Packings Lattices and Groups Springer Verlag P 106 Ribenboim Paulo The New Book of Prime Number Records Ch III 4 D Ch 6 II Ch 6 IV 3rd ed New York Springer 1996 ISBN 0 387 94457 5 Guy Richard K Unsolved problems in number theory 3rd ed New York Springer 2004 P 55 57 ISBN 978 0 387 20860 2 Hardy G H Wright E M 1968 s 189 Div takozhCile chislo Ejzenshtejna Rozkladi gausovih chisel na prosti mnozhniki tablicya Tablicya dilnikiv dlya gausovih chiselPosilannyaYu Drozd Algebrichni chisla Konspekt lekcij 17 sichnya 2015 u Wayback Machine