Геометрія чисел

Геометрія чисел — розділ теорії чисел, який вивчає і цілочисельні решітки в багатовимірному просторі.

Більш загально можна сказати, що це застосування в теорії чисел геометричних понять і методів. Наприклад, якщо рівняння або нерівності має розв'язки в цілих числах, то це означає, що геометричне тіло, яке визначається цим рівнянням або нерівністю, містить одну або більше точок цілочисельної решітки. У ході досліджень було доведено фундаментальна теорема Мінковського, з якої автор отримав ряд важливих наслідків в теорії лінійних і квадратичних форм, а також в теорії діофантових наближень. Згодом істотний внесок у геометрію чисел зробили Георгій Вороний, ^[en], ^[en], Зігель та інші.

Геометрії чисел має тісний зв'язок з іншими областями математики, особливо з функціональним аналізом та діофантовими наближеннями.

Результати Мінковського

Докладніше: Теорема Мінковського

Припустимо, що Γ є в n-вимірному евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ і K є опуклим центрально-симетричним тілом. Теорема Мінковського, яку іноді називають першою теоремою Мінковського, стверджує, що якщо ${\displaystyle vol(K)>2^{n}vol(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$, то K містить ненульовий вектор у Γ.

Друга теорема Мінковського посилює першу теорему. Формулюється наступним чином.

Нехай послідовність мінімумів λ_k визначається як інфімум чисел λ таких, що λK містить k лінійно незалежних векторів Γ. Тоді теорема Мінковського про послідовні мінімуми стверджує, що

${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\cdots vol(K)\leqslant 2^{n}vol(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma ).}$

Пізніші дослідження в геометрії чисел

У 1930–1960 дослідження з геометрії чисел проводили багато теоретиків (серед них Георгій Вороний, , і Карл Людвіг Зігель). В останні роки Ленстра, Бріон, Барвінок розробили комбінаторні теорії, які перераховують решітки точок в деяких опуклих тілах.

Теорема про підпростір В. М. Шмідта

В геометрії чисел, теорему про підпростір отримав у 1972 році Вольфганг Шмідт.

У ній говориться, що якщо L₁,…,L_nлінійно незалежні лінійні форми від n змінних з алгебраїчними коефіцієнтами і якщо ε> 0 будь-яке дійсне число, то ненульові цілі точки x з

${\displaystyle |L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }}$

лежать у скінченному числі лінійних підпросторів ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$.

Примітки

1. Cassels (1971) p.203
2. Grötschel et alia, Lovász et alia, Lovász, and Beck and Robins.
3. Schmidt, Wolfgang M. Norm form equations. Ann. Math. (2) 96 (1972), pp. 526-551.

Джерела

• Мінковський Г. Геометрія чисел. Лейпциг, 1911 р. (перевидана в 1996 р.)
• Чеботарьов М. Г. Нотатки з алгебри і теорії чисел. Вчені записки Казанського Університету, 1934. (перевидана в 1994 р.)
• Касселс Дж. В. С. Геометрія чисел. М.: Мир, 1965.
• Колмогоров А. М., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX століття. М.: Наука.
• Том 1 Математична логіка. Алгебра. Теорія чисел. Теорія ймовірностей. 1978, стор 143–151.
• Грубер П. М., Леккеркеркер К. Г. Геометрія чисел, М.: Наука, 2008.
• . An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions).
• M. Grötschel, L. Lovász, : Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988
• . Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])