Теорема Мінковського

Теорема Мінковського про опукле тіло  - один із найбільш фундаментальних результатів теорії чисел, основа геометричної теорії чисел. Теорема була доведена в 1896 році німецьким математиком Германом Мінковським в його фундаментальній роботі "Геометрія чисел".

Формулювання

Нехай L - ґратка, визначинк якої дорівнює ${\displaystyle det(L)}$ та S - опукла симетрична підмножина простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Теорема Мінковського стверджує, що якщо міра множини S більша за ${\displaystyle 2^{n}\det(L)}$, тоді існує ненульовий елемент ${\displaystyle l\in L\cap S}$.

Застосування теореми

У теорії чисел теорему застосовують, щоб пов'язати локальні властивості певної алгебраїчної сисетми із її глобальними властивостями. Класичною ілюстрацією таких міркувань є теорема Ферма про суму двох квадратів.

Теорема Ферма

Нехай ${\displaystyle p}$ - просте натуральне число. Існує пара чисел ${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}}$ така що ${\displaystyle p=a^{2}+b^{2}}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {4}}}$.

Доведення

Нехай ${\displaystyle p=a^{2}+b^{2}}$, тоді ${\displaystyle -1}$ є квадратом в полі ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$. Обчислюючи значення символу Лежандра для ${\displaystyle -1}$, маємо ${\displaystyle (-1)^{\frac {p-1}{4}}=1}$. Таким чином, обов'язково виконується рівність ${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {4}}}$.

У зворотньому напрямку, припустимо що ${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {4}}}$. Тоді ${\displaystyle -1}$ є квадратом в полі ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$, тож існує ${\displaystyle u\in \mathbb {Z} }$, таке що ${\displaystyle u^{2}\equiv 1{\bmod {p}}}$. Розглянемо ґратку ${\displaystyle L~=~\{(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid a\equiv ub{\bmod {p}}\}}$ та відкритий диск ${\displaystyle D}$ радіусу ${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$. Диск є опуклою симетричною множиною та його міра задовольняє нерівності ${\displaystyle \mu (D)\geq 4\det(L)}$. Таким чином, для ґратки ${\displaystyle L}$ та диска ${\displaystyle D}$ справедлива теорема Мінковського. Відтак, за теоремою існує ненульовий вектор ${\displaystyle (a,b)\in L\cap D}$. Оскільки ${\displaystyle (a,b)\in D}$, то має місце нерівність ${\displaystyle a^{2}+b^{2}<2p}$. Одночасно ${\displaystyle p\mid a^{2}+b^{2}}$, так як ${\displaystyle (a,b)\in L}$. Таким чином, ${\displaystyle p=a^{2}+b^{2}}$.

Пов'язані результати

Зазначимо, що теорема Мінковського не тільки доводить існування розкладу в суму двох квадратів для простих чисел конгруентних одиниці по модулю чотири, але й надає практичний спосіб знаходження даного розкладу. Дійсно, така пара чисел ${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}}$ є найкоротшим вектором ґратки ${\displaystyle L}$. Отже, можна застосувати алгоритми пошуку найкоротшого вектору в ґратках. У цьому випадку ${\displaystyle L}$ - це ґратка розмірності ${\displaystyle 2}$, тож розклад в суму двох квадратів можна знайти за допомогою алгоритму .

Застосовуючи квадратичний закон взаємності разом із теоремою Мінковського можна довести інші цікаві теореми теорії чисел.

Просте непарне число ${\displaystyle p}$ можна розкласти як ${\displaystyle a^{2}+2b^{2}}$ для певної пари ${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle p\equiv 1,3{\bmod {8}}}$.

Просте число ${\displaystyle p\neq 3}$ можна розкласти як ${\displaystyle a^{2}+3b^{2}}$ тоді й лише тоді, ${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {3}}}$.

Узагальнення

Узагальненням теореми Мінковського на неопуклі множини є .

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Германа Мінковського
• Ґратка_(геометрія)
• Квадратичний закон взаємності