Принцип симетрії Шварца

Принцип симетрії Шварца (принцип симетрії, принцип Рімана — Шварца) — метод аналітичного продовження функцій комплексної змінної.

Формулювання

Нехай функція ${\displaystyle f(z)}$, є аналітичною (голоморфною) на деякій області ${\displaystyle G\subset \{z\in \mathbb {C} \mid \Im \,(z)>0\}}$ Далі, нехай множина ${\displaystyle \partial G\cap \mathbb {R} }$ є непустою і містить відкритий відрізок ${\displaystyle F}$ на дійсній прямій, функція ${\displaystyle f(z)}$ є неперервною на ${\displaystyle G\cup F}$ і на множині ${\displaystyle F}$ приймає виключно дійсні значення.

Тоді можна здійснити аналітичне продовження функції ${\displaystyle f}$ з множини ${\displaystyle G}$ на більшу множину ${\displaystyle G\cup F\cup {\overline {G}}}$, де ${\displaystyle {\overline {G}}=\{z:{\overline {z}}\in G\}}$, за допомогою функції:

${\displaystyle F(z)=f(z)}$ при ${\displaystyle z\in G}$

${\displaystyle F(z)={\overline {f({\overline {z}})}}}$ при ${\displaystyle z\in {\overline {G}}}$

Доведення

Лема

Нехай ${\displaystyle D_{1}}$ і ${\displaystyle D_{2}}$ — області (відкриті зв'язані множини) на комплексній площині і ${\displaystyle D_{1}}$ є підмножиною верхньої відкритої півплощини, а ${\displaystyle D_{2}}$ — підмножиною нижньої. Нехай відкритий відрізок ${\displaystyle (a,b)}$ дійсної прямої є частиною границі і ${\displaystyle D_{1}}$ і ${\displaystyle D_{2}}$. Якщо функції ${\displaystyle f_{1}}$ і ${\displaystyle f_{2}}$ є голоморфними у відповідно ${\displaystyle D_{1}}$ і ${\displaystyle D_{2}}$ і неперервними на множинах ${\displaystyle D_{1}\cup (a,b)}$ та ${\displaystyle D_{2}\cup (a,b)}$ то на області ${\displaystyle D_{1}\cup (a,b)\cup D_{2}}$ функція визначена як

${\displaystyle f(z)={\begin{cases}f_{1}(z),&\forall z\in D_{1}\cup (a,b)\\f_{2}(z),&\forall z\in D_{2}\end{cases}}}$

є голоморфною.

Доведення леми

З умов леми випливає, що функція ${\displaystyle f}$ є неперервною в ${\displaystyle D}$. Згідно теореми Морери вона буде голоморфною у ${\displaystyle D}$ якщо інтеграл від неї по границі будь-якого трикутника ${\displaystyle \Delta }$ є рівним нулю.

Якщо трикутник ${\displaystyle \Delta }$ із своєю границею належить ${\displaystyle D_{1}}$ або ${\displaystyle D_{2}}$, згідно інтегральної теореми Коші інтеграл від ${\displaystyle f}$ по границі є рівним нулю адже за означенням ${\displaystyle f}$ є голоморфною у ${\displaystyle D_{1}}$ і ${\displaystyle D_{2}}$.

Нехай відрізок ${\displaystyle (a,b)}$ ділить трикутник на дві частини ${\displaystyle \Delta _{1}}$ і ${\displaystyle \Delta _{2}}$ (в залежності від типу поділу одна частина може бути чотирикутником, а інша — трикутником або обидві трикутниками) і позначимо ${\displaystyle \gamma =(a,b)\cup \Delta .}$ Тоді ${\textstyle \int _{\partial \Delta }f(z)dz=\int _{\partial \Delta _{1}}f(z)dz+\int _{\partial \Delta _{2}}f(z)dz}$ і достатньо довести рівність нулю інтегралів у правій частині рівності.

Розглянемо ту із частин ${\displaystyle \Delta _{1}}$ і ${\displaystyle \Delta _{2}}$ яка належить нижній замкнутій півплощині і позначимо її ${\displaystyle B}$, для іншої частини доведення буде аналогічним. Нехай додатне число ${\displaystyle h}$ є достатньо малим щоб пряма ${\displaystyle \Im (z)=-h}$ паралельна дійсній осі (і тому також відрізку ${\displaystyle \gamma ,}$ що є однією із сторін ${\displaystyle B}$) перетинала дві і лише дві із сторін ${\displaystyle B}$. Позначимо через ${\displaystyle T_{h}}$ трапецію, яка відсікається від ${\displaystyle B}$ цією прямою і ${\displaystyle B_{h}=B\setminus T_{h}.}$ Тоді

${\displaystyle \int _{\partial B}f(z)dz=\int _{\partial T_{h}}f(z)dz+\int _{\partial B_{h}}f(z)dz=\int _{\partial T_{h}}f(z)dz}$

де остання рівність є наслідком інтегральної теореми Коші адже ${\displaystyle B_{h}}$ із границею належить області ${\displaystyle D_{2}}$ на якій функція ${\displaystyle f}$ є голоморфною.

Якщо позначити ${\displaystyle \gamma '}$ перетин ${\displaystyle B}$ із прямою ${\displaystyle \Im (z)=-h}$ то ${\displaystyle \gamma }$ і ${\displaystyle \gamma '}$ є основами трапеції ${\displaystyle T_{h}}$. Можна припустити, що ${\displaystyle \gamma }$ є меншою із цих сторін (інший випадок розглядається аналогічно). Коли ${\displaystyle h}$ прямує до нуля то і довжини бічних сторін і різниця довжин ${\displaystyle \gamma '}$ і ${\displaystyle \gamma }$ прямують до нуля як і внесок відповідних частин границі трапеції у інтеграл ${\textstyle \int _{\partial T_{h}}f(z)dz}$ адже функція ${\displaystyle f}$ є неперервною і тому обмеженою на ${\textstyle \partial T_{h}.}$

Більш конкретно можна записати

${\displaystyle \int _{\partial T_{h}}f(z)dz=\int _{\gamma }f(z)dz+\int _{\gamma '}f(z)dz+O(h)=\int _{\gamma }f(z)-f(z-hi)dz+O(h).}$

Оскільки функція ${\displaystyle f}$ є рівномірно неперервною на ${\displaystyle \Delta }$, то підінтегральна функція у крайній правій частині попередньої рівності рівномірно прямує до нуля коли ${\displaystyle h}$ прямує до нуля, а тому і інтеграл ${\textstyle \int _{\partial T_{h}}f(z)dz}$ прямує до. Але цей інтеграл є рівним інтегралу ${\textstyle \int _{\partial B}f(z)dz}$ значення якого не залежить від ${\displaystyle h}$ отже обидва ці інтеграли є рівними нулю.

Якщо ${\displaystyle \Delta }$ перетинається з ${\displaystyle (a,b)}$ лише однією стороною то замість двох частин ${\displaystyle \Delta _{1}}$ і ${\displaystyle \Delta _{2}}$ буде лише одна, для якої доведення аналогічне. Якщо перетин є лише по одній вершині то є теж лише одна частина і замість трапеції ${\displaystyle T_{h}}$ у доведенні вище є трикутник периметр якого прямує до нуля коли ${\displaystyle h}$ прямує до нуля і тому відповідний інтеграл теж є рівним нулю. Отже і в цих випадках твердження леми є справедливим.

Доведення принципу симетрії

Оскільки функція ${\displaystyle f(z)}$ є голоморфною на ${\displaystyle G}$, то ${\displaystyle {\overline {f({\overline {z}})}}}$ є голоморфною на ${\displaystyle {\overline {G}}}$. Дійсно, якщо ${\displaystyle f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i,}$ де ${\displaystyle u,v\ }$ — дійсні функції дійсних змінних, то ${\displaystyle {\overline {f({\overline {z}})}}=u(x,-y)-v(x,-y)i.}$ Дійсна і уявна частини ${\displaystyle {\overline {f({\overline {z}})}}}$ очевидно диференційовні по ${\displaystyle x,y}$, якщо це справедливо для ${\displaystyle f(z)}$. Також оскільки відповідні похідні функції ${\displaystyle f(z)}$ задовольняють умови Коші — Рімана і тому ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial (-v)}{\partial (-y)}}}$ і ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial (-y)}}=-{\frac {\partial (-v)}{\partial x}}}$ тож функція ${\displaystyle {\overline {f({\overline {z}})}}}$ теж задовольняє умови Коші — Рімана і тому є голоморфною.

Оскільки ${\displaystyle G}$ є підмножиною верхньої комплексної півплощини, то ${\displaystyle {\overline {G}}}$ є підмножиною нижньої комплексної півплощини.

Також якщо змінна ${\displaystyle z}$ прямує до ${\displaystyle x\in F}$ у ${\displaystyle {\overline {G}}}$ то і ${\displaystyle {\overline {z}}}$ прямує до ${\displaystyle x}$ у ${\displaystyle G}$ і тоді ${\displaystyle {\overline {f({\overline {z}})}}}$ прямує до ${\displaystyle f(x).}$ Тому функція

${\displaystyle f_{2}(z)={\begin{cases}{\overline {f({\overline {z}})}},&\forall z\in {\overline {G}}\\f(x),&\forall x\in F\end{cases}}}$

є голоморфною на ${\displaystyle {\overline {G}}}$ і неперервною на ${\displaystyle {\overline {G}}\cup F}$ і функції ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle f_{2}}$ є рівними на ${\displaystyle F}$ і приймають там дійсні значення.

Тому функції ${\displaystyle f_{1}=f}$ і ${\displaystyle f_{2}}$ задовольняють умови леми із ${\displaystyle D_{1}=G,\ D_{2}={\overline {G}}}$ і ${\displaystyle (a,b)=F,}$ і відповідне продовження на ${\displaystyle G\cup F\cup {\overline {G}}}$ є голоморфним.

Узагальнення

Припустимо, що задані області розширеної комплексної площини (сфери Рімана) ${\displaystyle G_{1},G_{2}\subset \mathbb {\overline {C}} }$, далі, ${\displaystyle \gamma _{1}\subset G_{1},\gamma _{2}\subset G_{2}}$ — дуги кіл на сфері Рімана (колам на сфері Рімана відповідають кола та прямі лінії звичайної комплексної площини). Позначимо через ${\displaystyle G_{1}^{*}}$ область, яка симетрична ${\displaystyle G_{1}}$ щодо ${\displaystyle \gamma _{1}}$, аналогічно визначається ${\displaystyle G_{2}^{*}}$. Для визначення симетрії щодо кола використовується поняття інверсії. Тепер, якщо ${\displaystyle f}$ аналітично (голоморфно) відображає ${\displaystyle G_{1}}$ на ${\displaystyle G_{2}}$, при тому ${\displaystyle f(\gamma _{1})=\gamma _{2}}$, тоді ${\displaystyle f}$ може бути аналітично продовжена до аналітичного відображення ${\displaystyle G_{1}\cup \gamma _{1}\cup G_{1}^{*}}$ на ${\displaystyle G_{2}\cup \gamma _{2}\cup G_{2}^{*}}$. Таке продовження є єдиним і визначається в такий спосіб: якщо ${\displaystyle z\in G_{1},z\in G_{1},z^{*}\in G_{1}^{*}}$ є симетричними відносно ${\displaystyle \gamma _{1}}$ і ${\displaystyle f(z)=w\in G_{2}}$ то ${\displaystyle f(z^{*})=w^{*},}$ де ${\displaystyle w^{*}}$ є симетричним до ${\displaystyle w}$ відносно дуги ${\displaystyle \gamma _{2}.}$

Література

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.