Математична константа — величина, значення якої не змінюється; в цьому вона протилежна змінній. Зазвичай — це дійсне або комплексне число, яка виводиться в самій математиці, тому на відміну від фізичних констант, математичні константи визначені незалежно від якихось фізичних вимірювань.
Математична константа | |
Підтримується Вікіпроєктом | |
---|---|
Математична константа у Вікісховищі |
Деякі вибрані константи
Використані скорочення: Р — раціональне число, І — ірраціональне число, А — алгебраїчне число, Т — трансцендентне число, ? — невідомо; мат — звичайна математика, ТЧ — теорія чисел, ТХ — теорія хаосу, комб — комбінаторика.
Символ | Наближене значення | Назва | Галузь | Значення | Вперше описана | Число відомих знаків |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | нуль | мат | Р | 7 ст. до Р.Х.- 5 ст. до Р.Х. | ||
1 | одиниця, Unity | мат | Р | |||
уявна одиниця | мат, мат. аналіз | А | 16 століття | |||
≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88 | пі, константа Архімеда | мат | Т | 1 241 100 000 000 | ||
≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 49 | константа Непера, число Ейлера, основа натурального логарифма | мат | Т | 12 884 901 000 | ||
≈ 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 07 | константа Піфагора, квадратний корінь з 2 | мат | І | 137 438 953 444 | ||
≈ 1,732 050 807 568 877 293 527 446 341 505 | константа , квадратний корінь з 3 | мат | І | |||
≈ 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 43 | стала Ейлера — Маскероні | мат, ТЧ | ? | 108 000 000 | ||
≈ 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 11 | золотий перетин | мат | І | 3 141 000 000 | ||
0,702 58 | ТЧ | |||||
≈ 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 61 | константи Фейгенбаума | ТХ | 1975 | |||
≈ 2,502 907 875 095 892 822 283 902 873 218 215 78 | константи Фейгенбаума | ТХ | ||||
≈ 0,660 161 815 846 869 573 927 812 110 014 555 77 | константа простих близнюків | ТЧ | 5 020 | |||
≈ 0,261 497 212 847 642 783 755 426 838 608 695 85 | константа Майсселя — Мертенса | ТЧ | 1866; 1874 | 8010 | ||
≈ 1,902 160 582 3 | константа Бруна для простих близнюків | ТЧ | 1919 | 10 |
Позначення | Значення |
---|---|
π | ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 |
e | ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 |
Загальні математичні константи
Константа Архімеда π
Стала π (пі) має натуральне визначення в Евклідовій геометрії (співвідношення між окружністю і діаметром кола), але її можна зустріти в багатьох математичних поняттях: наприклад, Гаусівський інтеграл у комплексному аналізі, у Корінь з одиниці в теорії чисел, і Розподіл Коші імовірностей. Однак, її поширення не обмежується лише класичною математикою. Вона використовується в багатьох фізичних формулах, і деякі фізичні константи визначені через π. Однак, об'єктом дискусій щодо того, наскільки її використання є фундаментальним в таких випадках. Наприклад, нерелятивістська хвильова функція основного стану атома водню є такою:
де це радіус Бора. Формула містить число π, але залишається не ясним, наскільки це коректно у фізичному плані, або це лише відображає π в виразі для розрахунку площі поверхні сфери із радіусом . Крім того, ця формула дає лише приблизне описання фізичної реальності, оскільки вона не враховує спін, релятивізм, і квантову природу електромагнітного поля. Аналогічно, поява числа π у формулі, що описує закон Кулона в одиницях вимірювання СІ, залежить від вибору системи одиниць, і історично це пов'язано з тим як була введена в практику так звана діелектрична проникність вільного простору, яку запропонував [en] в 1901. Константа π, як в наведеному рівнянні, часто мають чисто з математичну природу і сенс, а не фізичну.
Числове значення π приблизно дорівнює 3.1415926535 (послідовність A000796 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Запам'ятовування як змога більшої кількості цифр числа π є свого типу змаганням за встановлення світового рекорду.
Число Ейлера e
Число Ейлера e, що також відоме як стала експоненційного зростання, застосовується у багатьох галузях математики і одним із можливих визначень її значення є наступний вираз:
Наприклад, математик Якоб Бернуллі встановив, що число e виникає в розрахунках складних відсотків: рахунок, який починається із суми в $1, і дає відсоток із річною ставкою R при постійному зростанні, акумулюватиме до eR доларів до кінця одного року. Константа e також має своє застосування у теорії ймовірностей, де вона очевидно не пов'язана із експоненціальним зростанням. Уявімо ігровий автомат із ймовірністю один із n отримати виграш. Нехай з ним зіграли n разів. Тоді, для великих значень n (настільки великих як один мільйон) імовірність того, що нічого не буде виграно дорівнюватиме приблизно 1/e і прямує до цього значення з тим як n прямує до нескінченності.
Іншим застосуванням числа e, яку вирішив Якоб Бернулі одночасно з французьким математиком П'єром де Монмором, є задача перестановок без нерухомих точок, що також називається безладом. Нехай, наприклад, n це кількість гостей, яких запросили на вечірку, і на вході кожен гість віддає свого капелюха дворецькому, який складає їх у підписані комірки. Дворецький не знає імен гостей, і тому розкладає їх капелюхи навмання. Задачею де Монмора є знайти ймовірність того, що жоден з капелюхів гостей не буде покладений в правильну комірку. Відповіддю до цієї задачі буде
із тим як n прямує до нескінченності, pn наближатиметься до 1/e.
Числове значення сталої e приблизно становить 2.7182818284 (послідовність A001113 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).
Константа Піфагора √2
Квадратний корінь з двох, відомий як константа Піфагора і записується як √2, є додатнім алгебраїчним числом, при множенні якого на самого себе результатом буде число 2. Більш точно його називати головний корінь числа 2, аби відрізнити його від від'ємного числа, яке має таку ж властивість.
В геометричному сенсі квадратний корінь числа 2 це довжина діагоналі, що розділяє квадрат, сторони якого дорівнюють одиниці. Це випливає із теореми Піфагора. Ймовірно, це перше відоме ірраціональне число. Його числове значення із точністю до 65 десяткових знаків є наступним:
- 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799... послідовність A002193 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.
Часто для спрощення розрахунків використовується наближене значення у вигляді дробу 99/70 (≈ 1.41429). Дане число відрізняється від правильного менше ніж на 1/10000 (приблизно 7.2 × 10 −5).
Уявна одиниця i
Уявна одиниця, позначається як i, є математичним поняттям, що розширює систему дійсних чисел ℝ до системи комплексних чисел ℂ, що в свою чергу визначає принаймні один корінь будь-якого поліному P(x) (див Основна теорема алгебри). Основною властивістю уявної одиниці є те, що i2 = −1. Термін "уявне" використовується тому, що не існує такого дійсного числа, що б мало від'ємний квадрат.
Насправді існує два комплексні квадратні корені −1, а саме i і −i, так само як існує два комплексні квадратні корені будь-якого іншого дійсного числа, крім числа нуль.
Константи з вищої математики
Наведені в цьому розділі сталі зустрічаються у задачах вищої математики.
Константи Фейгенбаума α і δ
Ітерації неперервних відображень є найпростішим прикладом моделювання динамічних систем. Із такого ітеративного процесу виникають дві константи Фейгенбаума, названі на честь математичного фізика Мітчелла Фейгенбаума. Ці констати є математичними інваріантами логістичних відображень із квадратичними точками максимумів і їх [en].
Логістичне відображення це поліноміальне поліноміальне відображення, яку часто описують за допомогою архітипного прикладу того як вз дуже простих рівнянь не лінійної динаміки може виникнути хаотична поведінка. Це відображення було опубліковано у статті 1976 австралійського біолога [en], в рамках дослідження демографічної моделі дискретного часу аналогічної до логістичного рівняння, яке вперше створив П'єр Франсуа Ферхюльст. Різницеве рівняння призначене для описання двох ефектів відтворення популяції та голоду.
Числове значення α приблизно становить 2.5029. Числове значення δ приблизно є 4.6692.
Стала Апері ζ(3)
Попри те, що вона є частковим значенням Дзета-функції Рімана, стала Апері природним чином зустрічається в багатьох фізичних задачах, зокрема в термах другого і третього порядку гіромагнітного співвідношення для електронів, розрахованого за допомогою квантової електродинаміки. Числовим значенням сталої ζ(3) приблизно є 1,2020569. Визначається вона наступним виразом:
Золотий перетин φ
Число φ, що називається золотим перетином, часто зустрічається у геометрії, зокрема при розгляді фігур із п'ятикутною симетрією. Дійсно, довжина діагоналі правильного п'ятикутника дорівнює числу φ помноженому на сторону. Вершини правильного ікосаедра утворюють три взаємно ортогональні золоті прямокутники. Воно також з'являється у послідовності Фібоначчі, і пов'язане зі зростанням за допомогою рекурсії. Кеплер в свою чергу довів, що воно є границею співвідношення послідовних чисел Фібоначі. Золотий перетин має найменшу збіжність із усіх ірраціональних чисел. Саме з цієї причини, золотий перетин є одним із найгірших випадків теореми апроксимації Лагранжа і є екстремальним випадком теореми Гурвіца для Діофантової апроксимації. Це може бути причиною, чому при зростанні рослин часто виникають кути близькі до золотого перетину. Золотий перетин приблизно дорівнює 1.6180339887498948482, або більш точно визначається як 2sin(54°) =
Стала Ейлера—Маскероні γ
Стала Ейлера—Маскероні є важливою сталою із теорії чисел. Бельгійський математик Шарль Жан де ла Валле-Пуссен в 1898 довів, що якщо взяти будь-яке додатне число n і поділити його на кожне додатне ціле число m, що є меншим за n, середнє значення дробу, при якому відношення n/m є найближчим до наступного цілого прямує до (а не до 0.5) при n що прямує до нескінченності. Стала Ейлера—Маскероні також зустрічається у третій теоремі Мартенеса і має зв'язок із гамма функцією, Дзета-функцією Рімана і багатьма різними інтегралами і рядами. Визначення сталої Ейлера—Маскероні виявляє тісний зв'язок між дискретністю і неперервністю (див зображення ліворуч).
Числове значення сталої приблизно становить 0.57721.
Математичні цікавинки та невизначені константи
Прості представлення наборів чисел
Деякі сталі, такі як квадратний корінь з двох, число Ліувілля і [en] :
не є важливими математичними інваріантами, але все ж таки викликають інтерес, оскільки є простими представниками особливих наборів чисел, вони є ірраціональними числами, трансцендентними числами і нормальними числами (із основою 10) відповідно. Відкриття ірраціональних чисел як правило приписують Піфагорійцю Гіппасу Метапонтському, який геометричним способом довів ірраціональність квадратного кореня із 2. Щодо числа Ліувілля, названого в честь французького математика Жозефа Ліувілля, то це було перше число, щодо якого було доведено, що воно є трансцендентним.
Постійна Чайтіна Ω
В Алгоритмічній теорії інформації, що є галуззю комп'ютерних наук, [en] це дійсне число, що представляє собою імовірність, що довільно обрана Машина Тюрінга зупиниться. Хоча постійна Чайтіна не є [en], було доведено, що воно є трансцендентним і нормальним числом. Постійна Чайтіна не універсальна, і значно залежить від числового кодування, що було використане для машин Тюрінга; однак, її основні цікаві властивості не залежать від кодування.
Невизначені константи
У разі якщо константа невизначена, вона може ідентифікувати клас подібних об'єктів, як правило функцій, що є в практичному сенсі рівними з точністю до сталої, і можуть розглядатися 'подібними до сталої'. Такі сталі часто з'являються в задачах пов'язаних з інтегральними і диференціальними рівняннями. Хоча вони мають певне значення, значення таких невизначених констант неважливе.
В інтегралах
Невизначені інтеграли називаються так, тому що їх розв'язок є визначеним лише до сталої. Наприклад, якщо річ іде про поле дійсних чисел
де C, є сталою інтегрування — довільним дійсним числом. Іншими словами, яким би не було значення C, диференціювання виразу sin x + C по відношенню до x завжди дасть в результаті cos x.
В диференційних рівняннях
Аналогічним чином, константи з'являються при (розв'язуванні диференційних рівнянь) в яких не задано достатніх початкових значень або граничних умов. Наприклад, звичайне диференціальне рівняння y' = y(x) має розв'язок Cex де C є довільною сталою.
Маючи справу із диференціальними рівняннями із частинними похідними, сталі можуть бути функціями, що є сталими по відношенню до деяких змінних (але не обов'язково до всіх із них). Наприклад, наступне рівняння із частинними похідними
має множину рішень f(x,y) = C(y), де C(y) є довільною функцією із змінною y.
Примітки
- Grinstead, C.M.; Snell, J.L. . с. 85. Архів оригіналу за 27 липня 2011. Процитовано 9 грудня 2007.
- Collet & Eckmann (1980). Iterated maps on the inerval as dynamical systems. Birkhauser. ISBN .
- Finch, Steven (2003). Mathematical constants. Cambridge University Press. с. 67. ISBN .
- (1976). Theoretical Ecology: Principles and Applications. Blackwell Scientific Publishers. ISBN .
- Steven Finch Apéry's constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN .
- Tatersall, James (2005). Elementary number theory in nine chapters (2nd ed.
- . Архів оригіналу за 6 січня 2018. Процитовано 5 березня 2018.
- Fibonacci Numbers and Nature - Part 2 : Why is the Golden section the "best" arrangement? [ 20 лютого 2018 у Wayback Machine.], from Dr. Ron Knott's [ 12 березня 2018 у Wayback Machine.] Fibonacci Numbers and the Golden Section [ 10 лютого 2016 у Wayback Machine.], retrieved 2012-11-29.
- ; (November 1998). (PDF). Historia Mathematica. 25 (4): 368. doi:10.1006/hmat.1998.2209. Архів оригіналу (PDF) за 28 листопада 2007. Процитовано 9 грудня 2007.
{{}}
: Cite має пустий невідомий параметр:|df=
()
Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection [ 13 серпня 2012 у Wayback Machine.]
High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection [ 12 липня 2020 у Wayback Machine.] - Bogomolny, Alexander. . Архів оригіналу за 22 квітня 2016. Процитовано 5 березня 2018.
- Aubrey J. Kempner (Oct 1916). On Transcendental Numbers. Transactions of the American Mathematical Society. Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 17, No. 4. 17 (4): 476—482. doi:10.2307/1988833. JSTOR 1988833.
- (1933). The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten. Journal of the London Mathematical Society. 8 (4): 254—260. doi:10.1112/jlms/s1-8.4.254.
- Weisstein, Eric W. Liouville's Constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Edwards, Henry; David Penney (1994). Calculus with analytic geometry (вид. 4e). Prentice Hall. с. 269. ISBN .
Див. також
Ця стаття не містить . (липень 2017) |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Matematichna konstanta velichina znachennya yakoyi ne zminyuyetsya v comu vona protilezhna zminnij Zazvichaj ce dijsne abo kompleksne chislo yaka vivoditsya v samij matematici tomu na vidminu vid fizichnih konstant matematichni konstanti viznacheni nezalezhno vid yakihos fizichnih vimiryuvan en ce spivvidnoshennya dovzhini dugi segmentu paraboli chervonim sho obmezhena hordoyu yaka prohodit cherez tochku fokusu paralelno direktrisi sinim do fokalnogo parametru zelenim Matematichna konstanta Pidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt Matematika Matematichna konstanta u VikishovishiDeyaki vibrani konstantiVikoristani skorochennya R racionalne chislo I irracionalne chislo A algebrayichne chislo T transcendentne chislo nevidomo mat zvichajna matematika TCh teoriya chisel TH teoriya haosu komb kombinatorika Simvol Nablizhene znachennya Nazva Galuz Znachennya Vpershe opisana Chislo vidomih znakiv 0 displaystyle 0 0 nul mat R 7 st do R H 5 st do R H 1 displaystyle 1 1 odinicya Unity mat R i displaystyle i 1 displaystyle sqrt 1 uyavna odinicya mat mat analiz A 16 stolittya p displaystyle pi 3 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88 pi konstanta Arhimeda mat T 1 241 100 000 000 e displaystyle e 2 718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 49 konstanta Nepera chislo Ejlera osnova naturalnogo logarifma mat T 12 884 901 000 2 displaystyle sqrt 2 1 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 07 konstanta Pifagora kvadratnij korin z 2 mat I 137 438 953 444 3 displaystyle sqrt 3 1 732 050 807 568 877 293 527 446 341 505 konstanta kvadratnij korin z 3 mat I g displaystyle gamma 0 577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 43 stala Ejlera Maskeroni mat TCh 108 000 000 f displaystyle varphi 1 618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 11 zolotij peretin mat I 3 141 000 000 b displaystyle beta 0 702 58 TCh d displaystyle delta 4 669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 61 konstanti Fejgenbauma TH 1975 a displaystyle alpha 2 502 907 875 095 892 822 283 902 873 218 215 78 konstanti Fejgenbauma TH C 2 displaystyle C 2 0 660 161 815 846 869 573 927 812 110 014 555 77 konstanta prostih bliznyukiv TCh 5 020 M 1 displaystyle M 1 0 261 497 212 847 642 783 755 426 838 608 695 85 konstanta Majsselya Mertensa TCh 1866 1874 8010 B 2 displaystyle B 2 1 902 160 582 3 konstanta Bruna dlya prostih bliznyukiv TCh 1919 10 Poznachennya Znachennya p 3 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 e 2 71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249Zagalni matematichni konstantiKonstanta Arhimeda p Dokladnishe Chislo Pi Okruzhnist kola iz diametrom 1 dorivnyuye p Stala p pi maye naturalne viznachennya v Evklidovij geometriyi spivvidnoshennya mizh okruzhnistyu i diametrom kola ale yiyi mozhna zustriti v bagatoh matematichnih ponyattyah napriklad Gausivskij integral u kompleksnomu analizi u Korin z odinici v teoriyi chisel i Rozpodil Koshi imovirnostej Odnak yiyi poshirennya ne obmezhuyetsya lishe klasichnoyu matematikoyu Vona vikoristovuyetsya v bagatoh fizichnih formulah i deyaki fizichni konstanti viznacheni cherez p Odnak ob yektom diskusij shodo togo naskilki yiyi vikoristannya ye fundamentalnim v takih vipadkah Napriklad nerelyativistska hvilova funkciya osnovnogo stanu atoma vodnyu ye takoyu ps r 1 p a 0 3 1 2 e r a 0 displaystyle psi mathbf r frac 1 pi a 0 3 1 2 e r a 0 de a 0 displaystyle a 0 ce radius Bora Formula mistit chislo p ale zalishayetsya ne yasnim naskilki ce korektno u fizichnomu plani abo ce lishe vidobrazhaye p v virazi 4 p r 2 displaystyle 4 pi r 2 dlya rozrahunku ploshi poverhni sferi iz radiusom r displaystyle r Krim togo cya formula daye lishe priblizne opisannya fizichnoyi realnosti oskilki vona ne vrahovuye spin relyativizm i kvantovu prirodu elektromagnitnogo polya Analogichno poyava chisla p u formuli sho opisuye zakon Kulona v odinicyah vimiryuvannya SI zalezhit vid viboru sistemi odinic i istorichno ce pov yazano z tim yak bula vvedena v praktiku tak zvana dielektrichna proniknist vilnogo prostoru yaku zaproponuvav en v 1901 Konstanta p yak v navedenomu rivnyanni chasto mayut chisto z matematichnu prirodu i sens a ne fizichnu Chislove znachennya p priblizno dorivnyuye 3 1415926535 poslidovnist A000796 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Zapam yatovuvannya yak zmoga bilshoyi kilkosti cifr chisla p ye svogo tipu zmagannyam za vstanovlennya svitovogo rekordu Chislo Ejlera e Dokladnishe e chislo Eksponencijne zrostannya zelenim opisuye bagato fizichnih yavish Chislo Ejlera e sho takozh vidome yak stala eksponencijnogo zrostannya zastosovuyetsya u bagatoh galuzyah matematiki i odnim iz mozhlivih viznachen yiyi znachennya ye nastupnij viraz e lim n 1 1 n n displaystyle e lim n to infty left 1 frac 1 n right n Napriklad matematik Yakob Bernulli vstanoviv sho chislo e vinikaye v rozrahunkah skladnih vidsotkiv rahunok yakij pochinayetsya iz sumi v 1 i daye vidsotok iz richnoyu stavkoyu R pri postijnomu zrostanni akumulyuvatime do eR dolariv do kincya odnogo roku Konstanta e takozh maye svoye zastosuvannya u teoriyi jmovirnostej de vona ochevidno ne pov yazana iz eksponencialnim zrostannyam Uyavimo igrovij avtomat iz jmovirnistyu odin iz n otrimati vigrash Nehaj z nim zigrali n raziv Todi dlya velikih znachen n nastilki velikih yak odin miljon imovirnist togo sho nichogo ne bude vigrano dorivnyuvatime priblizno 1 e i pryamuye do cogo znachennya z tim yak n pryamuye do neskinchennosti Inshim zastosuvannyam chisla e yaku virishiv Yakob Bernuli odnochasno z francuzkim matematikom P yerom de Monmorom ye zadacha perestanovok bez neruhomih tochok sho takozh nazivayetsya bezladom Nehaj napriklad n ce kilkist gostej yakih zaprosili na vechirku i na vhodi kozhen gist viddaye svogo kapelyuha dvoreckomu yakij skladaye yih u pidpisani komirki Dvoreckij ne znaye imen gostej i tomu rozkladaye yih kapelyuhi navmannya Zadacheyu de Monmora ye znajti jmovirnist togo sho zhoden z kapelyuhiv gostej ne bude pokladenij v pravilnu komirku Vidpoviddyu do ciyeyi zadachi bude p n 1 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n displaystyle p n 1 frac 1 1 frac 1 2 frac 1 3 cdots 1 n frac 1 n iz tim yak n pryamuye do neskinchennosti pn nablizhatimetsya do 1 e Chislove znachennya staloyi e priblizno stanovit 2 7182818284 poslidovnist A001113 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Konstanta Pifagora 2 Dokladnishe Kvadratnij korin z dvoh Kvadratnij korin z 2 dorivnyuye dovzhini gipotenuzi pryamokutnogo trikutnika kateti yakogo mayut dovzhinu 1 Kvadratnij korin z dvoh vidomij yak konstanta Pifagora i zapisuyetsya yak 2 ye dodatnim algebrayichnim chislom pri mnozhenni yakogo na samogo sebe rezultatom bude chislo 2 Bilsh tochno jogo nazivati golovnij korin chisla 2 abi vidrizniti jogo vid vid yemnogo chisla yake maye taku zh vlastivist V geometrichnomu sensi kvadratnij korin chisla 2 ce dovzhina diagonali sho rozdilyaye kvadrat storoni yakogo dorivnyuyut odinici Ce viplivaye iz teoremi Pifagora Jmovirno ce pershe vidome irracionalne chislo Jogo chislove znachennya iz tochnistyu do 65 desyatkovih znakiv ye nastupnim 1 4142135623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799 poslidovnist A002193 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Kvadratnij korin z 2 Chasto dlya sproshennya rozrahunkiv vikoristovuyetsya nablizhene znachennya u viglyadi drobu 99 70 1 41429 Dane chislo vidriznyayetsya vid pravilnogo menshe nizh na 1 10000 priblizno 7 2 10 5 Uyavna odinicya i Dokladnishe Uyavna odinicya i na kompleksnij abo dekartovij ploshini Dijsni chisla znahodyatsya na gorizontalnij osi a uyavni chisla zadayutsya vertikalnoyu vissyu Uyavna odinicya poznachayetsya yak i ye matematichnim ponyattyam sho rozshiryuye sistemu dijsnih chisel ℝ do sistemi kompleksnih chisel ℂ sho v svoyu chergu viznachaye prinajmni odin korin bud yakogo polinomu P x div Osnovna teorema algebri Osnovnoyu vlastivistyu uyavnoyi odinici ye te sho i2 1 Termin uyavne vikoristovuyetsya tomu sho ne isnuye takogo dijsnogo chisla sho b malo vid yemnij kvadrat Naspravdi isnuye dva kompleksni kvadratni koreni 1 a same i i i tak samo yak isnuye dva kompleksni kvadratni koreni bud yakogo inshogo dijsnogo chisla krim chisla nul Konstanti z vishoyi matematikiNavedeni v comu rozdili stali zustrichayutsya u zadachah vishoyi matematiki Konstanti Fejgenbauma a i d Dokladnishe Konstanti Fejgenbauma Diagrama bifurkaciyi logistichnogo vidobrazhennya Iteraciyi neperervnih vidobrazhen ye najprostishim prikladom modelyuvannya dinamichnih sistem Iz takogo iterativnogo procesu vinikayut dvi konstanti Fejgenbauma nazvani na chest matematichnogo fizika Mitchella Fejgenbauma Ci konstati ye matematichnimi invariantami logistichnih vidobrazhen iz kvadratichnimi tochkami maksimumiv i yih en Logistichne vidobrazhennya ce polinomialne polinomialne vidobrazhennya yaku chasto opisuyut za dopomogoyu arhitipnogo prikladu togo yak vz duzhe prostih rivnyan ne linijnoyi dinamiki mozhe viniknuti haotichna povedinka Ce vidobrazhennya bulo opublikovano u statti 1976 avstralijskogo biologa en v ramkah doslidzhennya demografichnoyi modeli diskretnogo chasu analogichnoyi do logistichnogo rivnyannya yake vpershe stvoriv P yer Fransua Ferhyulst Rizniceve rivnyannya priznachene dlya opisannya dvoh efektiv vidtvorennya populyaciyi ta golodu Chislove znachennya a priblizno stanovit 2 5029 Chislove znachennya d priblizno ye 4 6692 Stala Aperi z 3 Dokladnishe Stala Aperi Popri te sho vona ye chastkovim znachennyam Dzeta funkciyi Rimana stala Aperi prirodnim chinom zustrichayetsya v bagatoh fizichnih zadachah zokrema v termah drugogo i tretogo poryadku giromagnitnogo spivvidnoshennya dlya elektroniv rozrahovanogo za dopomogoyu kvantovoyi elektrodinamiki Chislovim znachennyam staloyi z 3 priblizno ye 1 2020569 Viznachayetsya vona nastupnim virazom z 3 1 1 2 3 1 3 3 1 4 3 displaystyle zeta 3 1 frac 1 2 3 frac 1 3 3 frac 1 4 3 cdots Zolotij peretin f Dokladnishe Zolotij peretin Zoloti pryamokutniki u ikosaedri F n f n 1 f n 5 displaystyle F left n right frac varphi n 1 varphi n sqrt 5 Priklad formuli dlya n go chisla Fibonachchi iz zastosuvannyam zolotogo peretinu f Chislo f sho nazivayetsya zolotim peretinom chasto zustrichayetsya u geometriyi zokrema pri rozglyadi figur iz p yatikutnoyu simetriyeyu Dijsno dovzhina diagonali pravilnogo p yatikutnika dorivnyuye chislu f pomnozhenomu na storonu Vershini pravilnogo ikosaedra utvoryuyut tri vzayemno ortogonalni zoloti pryamokutniki Vono takozh z yavlyayetsya u poslidovnosti Fibonachchi i pov yazane zi zrostannyam za dopomogoyu rekursiyi Kepler v svoyu chergu doviv sho vono ye graniceyu spivvidnoshennya poslidovnih chisel Fibonachi Zolotij peretin maye najmenshu zbizhnist iz usih irracionalnih chisel Same z ciyeyi prichini zolotij peretin ye odnim iz najgirshih vipadkiv teoremi aproksimaciyi Lagranzha i ye ekstremalnim vipadkom teoremi Gurvica dlya Diofantovoyi aproksimaciyi Ce mozhe buti prichinoyu chomu pri zrostanni roslin chasto vinikayut kuti blizki do zolotogo peretinu Zolotij peretin priblizno dorivnyuye 1 6180339887498948482 abo bilsh tochno viznachayetsya yak 2sin 54 1 5 2 displaystyle scriptstyle frac 1 sqrt 5 2 Stala Ejlera Maskeroni g Dokladnishe Stala Ejlera Maskeroni Plosha mizh dvoma krivimi chervonim zbigayetsya do granici Stala Ejlera Maskeroni ye vazhlivoyu staloyu iz teoriyi chisel Belgijskij matematik Sharl Zhan de la Valle Pussen v 1898 doviv sho yaksho vzyati bud yake dodatne chislo n i podiliti jogo na kozhne dodatne cile chislo m sho ye menshim za n serednye znachennya drobu pri yakomu vidnoshennya n m ye najblizhchim do nastupnogo cilogo pryamuye do g displaystyle gamma a ne do 0 5 pri n sho pryamuye do neskinchennosti Stala Ejlera Maskeroni takozh zustrichayetsya u tretij teoremi Martenesa i maye zv yazok iz gamma funkciyeyu Dzeta funkciyeyu Rimana i bagatma riznimi integralami i ryadami Viznachennya staloyi Ejlera Maskeroni viyavlyaye tisnij zv yazok mizh diskretnistyu i neperervnistyu div zobrazhennya livoruch Chislove znachennya staloyi g displaystyle gamma priblizno stanovit 0 57721 Matematichni cikavinki ta neviznacheni konstantiProsti predstavlennya naboriv chisel Cya Vavilonska glinyana tablichka navodit nablizhennya kvadratnogo korenya iz 2 za dopomogoyu chotiroh shistdesyatkovih chisel 1 24 51 10 sho ye tochnimi do shesti desyatkovih chisel c j 1 10 j 0 110001 3 digits 000000000000000001 4 digits 000 displaystyle c sum j 1 infty 10 j 0 underbrace overbrace 110001 3 text digits 000000000000000001 4 text digits 000 dots Chislo Liuvillya ye prostim prikladom transcendentnogo chisla Deyaki stali taki yak kvadratnij korin z dvoh chislo Liuvillya i en C 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 displaystyle C 10 0 color blue 1 2 color blue 3 4 color blue 5 6 color blue 7 8 color blue 9 10 color blue 11 12 color blue 13 14 color blue 15 16 dots ne ye vazhlivimi matematichnimi invariantami ale vse zh taki viklikayut interes oskilki ye prostimi predstavnikami osoblivih naboriv chisel voni ye irracionalnimi chislami transcendentnimi chislami i normalnimi chislami iz osnovoyu 10 vidpovidno Vidkrittya irracionalnih chisel yak pravilo pripisuyut Pifagorijcyu Gippasu Metapontskomu yakij geometrichnim sposobom doviv irracionalnist kvadratnogo korenya iz 2 Shodo chisla Liuvillya nazvanogo v chest francuzkogo matematika Zhozefa Liuvillya to ce bulo pershe chislo shodo yakogo bulo dovedeno sho vono ye transcendentnim Postijna Chajtina W V Algoritmichnij teoriyi informaciyi sho ye galuzzyu komp yuternih nauk en ce dijsne chislo sho predstavlyaye soboyu imovirnist sho dovilno obrana Mashina Tyuringa zupinitsya Hocha postijna Chajtina ne ye en bulo dovedeno sho vono ye transcendentnim i normalnim chislom Postijna Chajtina ne universalna i znachno zalezhit vid chislovogo koduvannya sho bulo vikoristane dlya mashin Tyuringa odnak yiyi osnovni cikavi vlastivosti ne zalezhat vid koduvannya Neviznacheni konstanti U razi yaksho konstanta neviznachena vona mozhe identifikuvati klas podibnih ob yektiv yak pravilo funkcij sho ye v praktichnomu sensi rivnimi z tochnistyu do staloyi i mozhut rozglyadatisya podibnimi do staloyi Taki stali chasto z yavlyayutsya v zadachah pov yazanih z integralnimi i diferencialnimi rivnyannyami Hocha voni mayut pevne znachennya znachennya takih neviznachenih konstant nevazhlive V integralah Neviznacheni integrali nazivayutsya tak tomu sho yih rozv yazok ye viznachenim lishe do staloyi Napriklad yaksho rich ide pro pole dijsnih chisel cos x d x sin x C displaystyle int cos x dx sin x C de C ye staloyu integruvannya dovilnim dijsnim chislom Inshimi slovami yakim bi ne bulo znachennya C diferenciyuvannya virazu sin x C po vidnoshennyu do x zavzhdi dast v rezultati cos x V diferencijnih rivnyannyah Analogichnim chinom konstanti z yavlyayutsya pri rozv yazuvanni diferencijnih rivnyan v yakih ne zadano dostatnih pochatkovih znachen abo granichnih umov Napriklad zvichajne diferencialne rivnyannya y y x maye rozv yazok Cex de C ye dovilnoyu staloyu Mayuchi spravu iz diferencialnimi rivnyannyami iz chastinnimi pohidnimi stali mozhut buti funkciyami sho ye stalimi po vidnoshennyu do deyakih zminnih ale ne obov yazkovo do vsih iz nih Napriklad nastupne rivnyannya iz chastinnimi pohidnimi f x y x 0 displaystyle frac partial f x y partial x 0 maye mnozhinu rishen f x y C y de C y ye dovilnoyu funkciyeyu iz zminnoyu y PrimitkiGrinstead C M Snell J L s 85 Arhiv originalu za 27 lipnya 2011 Procitovano 9 grudnya 2007 Collet amp Eckmann 1980 Iterated maps on the inerval as dynamical systems Birkhauser ISBN 3 7643 3026 0 Finch Steven 2003 Mathematical constants Cambridge University Press s 67 ISBN 0 521 81805 2 1976 Theoretical Ecology Principles and Applications Blackwell Scientific Publishers ISBN 0 632 00768 0 Steven Finch Apery s constant angl na sajti Wolfram MathWorld 2002 The Golden Ratio The Story of Phi The World s Most Astonishing Number New York Broadway Books ISBN 0 7679 0815 5 Tatersall James 2005 Elementary number theory in nine chapters 2nd ed Arhiv originalu za 6 sichnya 2018 Procitovano 5 bereznya 2018 Fibonacci Numbers and Nature Part 2 Why is the Golden section the best arrangement 20 lyutogo 2018 u Wayback Machine from Dr Ron Knott s 12 bereznya 2018 u Wayback Machine Fibonacci Numbers and the Golden Section 10 lyutogo 2016 u Wayback Machine retrieved 2012 11 29 November 1998 PDF Historia Mathematica 25 4 368 doi 10 1006 hmat 1998 2209 Arhiv originalu PDF za 28 listopada 2007 Procitovano 9 grudnya 2007 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite journal title Shablon Cite journal cite journal a Cite maye pustij nevidomij parametr df dovidka Photograph illustration and description of the root 2 tablet from the Yale Babylonian Collection 13 serpnya 2012 u Wayback Machine High resolution photographs descriptions and analysis of the root 2 tablet YBC 7289 from the Yale Babylonian Collection 12 lipnya 2020 u Wayback Machine Bogomolny Alexander Arhiv originalu za 22 kvitnya 2016 Procitovano 5 bereznya 2018 Aubrey J Kempner Oct 1916 On Transcendental Numbers Transactions of the American Mathematical Society Transactions of the American Mathematical Society Vol 17 No 4 17 4 476 482 doi 10 2307 1988833 JSTOR 1988833 1933 The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten Journal of the London Mathematical Society 8 4 254 260 doi 10 1112 jlms s1 8 4 254 Weisstein Eric W Liouville s Constant angl na sajti Wolfram MathWorld Edwards Henry David Penney 1994 Calculus with analytic geometry vid 4e Prentice Hall s 269 ISBN 0 13 300575 5 Div takozhFizichni konstanti Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno lipen 2017