Число Ліувілля — ірраціональне число , яке можна наблизити раціональними числами так, що для будь-якого цілого існує нескінченно багато пар цілих () таких, що:
- .
Діофантове число — ірраціональне число, яке в такий спосіб подати не можна, тобто при наближенні раціональним числом помилка становить не менше деякого степеня знаменника:
- .
За теоремою Ліувілля про наближення алгебричних чисел, будь-яке ірраціональне алгебричне число є діофантовим. Зокрема, будь-яке ліувіллеве число трансцендентне, що дозволяє явно будувати трансцендентні числа як суми надшвидко збіжних рядів раціональних чисел.
Діофантові числа є метрично типовими: їх множина має повну міру Лебега. Числа Ліувілля, навпаки, типові з топологічної точки зору: їх множина залишкова.
Міра ірраціональності чисел Ліувілля: , крім того, якщо міра ірраціональності числа нескінченна, то воно ліувіллеве (іноді цю властивість приймають як визначення чисел Ліувілля).
Класичний приклад ліувіллевого числа — стала Ліувілля, яку визначають як:
Примітки
- Милнор Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Chislo Liuvillya irracionalne chislo x displaystyle x yake mozhna nabliziti racionalnimi chislami tak sho dlya bud yakogo cilogo n displaystyle n isnuye neskinchenno bagato par cilih p q displaystyle p q q gt 1 displaystyle q gt 1 takih sho 0 lt x p q lt 1 q n displaystyle 0 lt left x frac p q right lt frac 1 q n Diofantove chislo irracionalne chislo yake v takij sposib podati ne mozhna tobto pri nablizhenni racionalnim chislom pomilka stanovit ne menshe deyakogo stepenya znamennika C a gt 0 p Z q N x p q C q a displaystyle exists C alpha gt 0 colon quad forall p in mathbb Z q in mathbb N quad left x frac p q right geqslant frac C q alpha Za teoremoyu Liuvillya pro nablizhennya algebrichnih chisel bud yake irracionalne algebrichne chislo ye diofantovim Zokrema bud yake liuvilleve chislo transcendentne sho dozvolyaye yavno buduvati transcendentni chisla yak sumi nadshvidko zbizhnih ryadiv racionalnih chisel Diofantovi chisla ye metrichno tipovimi yih mnozhina maye povnu miru Lebega Chisla Liuvillya navpaki tipovi z topologichnoyi tochki zoru yih mnozhina zalishkova Mira irracionalnosti chisel Liuvillya m x displaystyle mu x infty krim togo yaksho mira irracionalnosti chisla neskinchenna to vono liuvilleve inodi cyu vlastivist prijmayut yak viznachennya chisel Liuvillya Klasichnij priklad liuvillevogo chisla stala Liuvillya yaku viznachayut yak k 1 10 k 0 110 0010000000000000000010000 displaystyle sum k 1 infty 10 k 0 1100010000000000000000010000 ldots PrimitkiMilnor Dzh Golomorfnaya dinamika Vvodnye lekcii Dynamics in One Complex Variable Introductory Lectures Izhevsk NIC Regulyarnaya i haoticheskaya dinamika 2000