Складні відсотки — це відсоткові гроші, при нарахуванні яких за основу береться нарощена сума попереднього періоду.
Математика відсоткової ставки
Спрощене обчислення
У формулі нижче, i — це фактична відсоткова ставка за період. і представляють майбутнє та поточне значення суми. представляє кількість періодів.
Ось найбазовіша формула:
Наведене рівняння обраховує майбутнє значення () для поточного інвестованого значення (), яке наростало зі сталою відсотковою ставкою () за періодів.
Складений
Формула для обчислення річного складного відсотку така:
Де,
- A = вихід
- P = початковий внесок
- r = річна номінальна процентна ставка (як дріб, не відсоток)
- n = кількість разів складання відсотку за рік
- t = кількість років
Приклад використання: Сума 1500.00 вкладена в банк, річна відсоткова ставка якого становить 4.3 %, і складається щоквартально. Знайти баланс через 6 років.
A. Із використанням попередньої формули, з P = 1500, r = 4.3/100 = 0.043, n = 4 і t = 6:
Отже баланс по проходженні 6 років становитиме близько 1,938.84.
Періодичне складання
Підсумкова функція для складного відсотку — це степенева функція в термінах часу.
- = Кількість років
- = Кількість періодів на рік (отже загальна кількість періодів )
- = Річна номінальна процентна ставка виражена як десяткове, наприклад: 6 % = 0.06
- значить що округляється вниз до найближчого цілого.
При збільшенні , відсоток досягає верхньої межі er − 1. Такий відсоток називається безперервним нарахуванням.
Через те, що початковий внесок є просто коефіцієнтом, його часто опускають для спрощення, і натомість використовують такі функції накопичення для простого і складного відсотку:
Зауважте: — це підсумкова функція і — це функція накопичення.
Безперервне нарахування
Про безперервне нарахування можна думати як про періодичне складання із нескінченно малим періодом; отже формула отримується взяттям границі до нескінченності.
або
Інтенсивність відсотка
В математиці, функцію накопичення часто виражають із використанням e, бази натурального логарифму.
Для будь-якої неперервно диференційовної функції накопичення a(t) інтенсивність відсотка(англ. force of interest), або загальніше логарифмічний чи безперервно нараховуваний прибуток це така функція від часу:
що є швидкістю зміни натурального логарифму від функції накопичення.
З іншого боку можна записати:
- (бо )
Посилання
- Методи визначення вартості грошової одиниці
Примітки
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Skladni vidsotki ce vidsotkovi groshi pri narahuvanni yakih za osnovu beretsya naroshena suma poperednogo periodu Matematika vidsotkovoyi stavkiSproshene obchislennya U formuli nizhche i ce faktichna vidsotkova stavka za period F V displaystyle FV i P V displaystyle PV predstavlyayut majbutnye ta potochne znachennya sumi n displaystyle n predstavlyaye kilkist periodiv Os najbazovisha formula F V P V 1 i n displaystyle FV PV 1 i n Navedene rivnyannya obrahovuye majbutnye znachennya F V displaystyle FV dlya potochnogo investovanogo znachennya P V displaystyle PV yake narostalo zi staloyu vidsotkovoyu stavkoyu i displaystyle i za n displaystyle n periodiv Skladenij Formula dlya obchislennya richnogo skladnogo vidsotku taka A P 1 r n n t displaystyle A P left 1 frac r n right nt De A vihid P pochatkovij vnesok r richna nominalna procentna stavka yak drib ne vidsotok n kilkist raziv skladannya vidsotku za rik t kilkist rokiv Priklad vikoristannya Suma 1500 00 vkladena v bank richna vidsotkova stavka yakogo stanovit 4 3 i skladayetsya shokvartalno Znajti balans cherez 6 rokiv A Iz vikoristannyam poperednoyi formuli z P 1500 r 4 3 100 0 043 n 4 i t 6 A 1500 1 0 043 4 4 6 1938 84 displaystyle A 1500 left 1 frac 0 043 4 right 4 times 6 1938 84 Otzhe balans po prohodzhenni 6 rokiv stanovitime blizko 1 938 84 Periodichne skladannya Pidsumkova funkciya dlya skladnogo vidsotku ce stepeneva funkciya v terminah chasu A t A 0 1 r n n t displaystyle A t A 0 left 1 frac r n right lfloor nt rfloor t displaystyle t Kilkist rokiv n displaystyle n Kilkist periodiv na rik otzhe zagalna kilkist periodiv n t displaystyle n cdot t r displaystyle r Richna nominalna procentna stavka virazhena yak desyatkove napriklad 6 0 06 n t displaystyle lfloor nt rfloor znachit sho n t displaystyle nt okruglyayetsya vniz do najblizhchogo cilogo Pri zbilshenni n displaystyle n vidsotok dosyagaye verhnoyi mezhi er 1 Takij vidsotok nazivayetsya bezperervnim narahuvannyam Cherez te sho pochatkovij vnesok A 0 displaystyle A 0 ye prosto koeficiyentom jogo chasto opuskayut dlya sproshennya i natomist vikoristovuyut taki funkciyi nakopichennya dlya prostogo i skladnogo vidsotku a t 1 t r displaystyle a t 1 tr a t 1 r n n t displaystyle a t left 1 frac r n right nt Zauvazhte A t displaystyle A t ce pidsumkova funkciya i a t displaystyle a t ce funkciya nakopichennya Bezperervne narahuvannya Pro bezperervne narahuvannya mozhna dumati yak pro periodichne skladannya iz neskinchenno malim periodom otzhe formula otrimuyetsya vzyattyam granici n displaystyle n do neskinchennosti A t A 0 e r t displaystyle A t A 0 e rt abo A P e r t displaystyle A Pe rt Intensivnist vidsotka V matematici funkciyu nakopichennya chasto virazhayut iz vikoristannyam e bazi naturalnogo logarifmu Dlya bud yakoyi neperervno diferencijovnoyi funkciyi nakopichennya a t intensivnist vidsotka angl force of interest abo zagalnishe logarifmichnij chi bezperervno narahovuvanij pributok ce taka funkciya vid chasu d t a t a t displaystyle delta t frac a t a t sho ye shvidkistyu zmini naturalnogo logarifmu vid funkciyi nakopichennya Z inshogo boku mozhna zapisati a n e 0 n d t d t displaystyle a n e int 0 n delta t dt bo a 0 1 displaystyle a 0 1 PosilannyaMetodi viznachennya vartosti groshovoyi odiniciPrimitkie x lim n 1 x n n displaystyle e x lim n rightarrow infty 1 x n n