Логістичне відображення — , в якому в залежності від параметра проявляється широке коло синергетичних ефектів, таких як атрактори, граничні цикли, , детермінований хаос.
Логістичне відображення задається ітераційною формулою:
- ,
де n — крок, r — параметр. Початковою може бути будь-яка точка інтервалу (0,1). Параметр r може мати значення від 0 до 4.
Біфуркаційна діаграма
Біфуркаційна діаграма представлена на рисунку праворуч.
Область стабільності
В залежності від значення параметра r відображення має різну кількість нерухомих точок. При єдиною нерухомою точкою, яка визначається з рівняння
- ,
що лежить в інтервалі (0,1) є точка . Ця точка стійка, тому послідовність відображень збігається до нуля: при будь-якому значенні початкової точки .
При відображення має дві нерухомі точки: та . Перша з нерухомих точок є нестабільною, а друга стабільною, тому . Цей проміжок відзначений одною лінією на діаграмі.
Біфуркація утворення граничного циклу
При r > 3 число нерухомих точок не змінюється, але обидві нерухомі точки стають нестабільними. Оскільки відображення обмежене, то відсутність точкового атрактора означає утворення складнішого атрактора типу граничного циклу.
Хоча саме відображення не має стійких нерухомих точок, його квадрат такі стійкі нерухомі точки має. Ці точки визначаються з системи рівнянь:
Ця система рівнянь зводиться до одного рівняння, виключаючи змінну y
- .
Графік функції зображено на рисунку праворуч зеленою кривою. Вона має три нерухомі точки. Дві відмінні від нуля нерухомі точки задають граничний цикл. При відображенні першого порядку одна з них переходить у іншу, і навпаки. Тому на біфункаційній діаграмі в цій області одна лінія розгалужується на дві. Слово біфуркація означає розгалуження. Область граничного циклу існує при значеннях параметра .
Біфуркація подвоєння періоду
При значеннях параметра r, більших від , граничний цикл втрачає стійкість. При таких значення параметра стійкі нерухомі точки потрібно шукати у відображеннях вищих порядків. В певній області стійкі стаціонарні точки існують у відображення четвертого порядку. На графіку праворуч відповідна функція
зображена сірою кривою. У такого відображення існує чотири стаціонарні точки. Точка при послідовних ітераціях тепер буде почергово відвідувати околи вже не двох, а чотирьох точок. Граничний цикл ускладнюється, відбувається подвоєння його періоду від двох до 4-х.
Ситуація з періодом граничного циклу 4 існує в певній області параметра r, а потім змінюється — відбувається ще одне подвоєння періоду — до восьми, і так далі.
Детермінований хаос
При значеннях параметру r > 3,57 жоден із критичних циклів не має стабільності. З цього значення починається хаотична поведінка системи. Значення змінюється без періодичності. Таких хаос називається детермінованим, оскільки існує чіткий строго визначений закон, за яким можна визначити значення змінної на будь-якій ітерації, починаючи від вибраного початкового значення, однак в її поведінці немає періодичності. Якщо в області стійкості й граничних циклів поведінка відображень слабо залежала від початкової точки, то в області хаосу мала зміна початкового значення призводить до значної зміни значення n-тої ітерації.
В області хаосу існують несподівані вікна, коли при певних значеннях параметру поведінка відображення стає регулярною, наприклад, з'являються граничні цикли третього порядку.
Стала Фейгенбаума
визначив рекурентну формулу, якій підпорядковані критичні значення параметра r, при яких відбуваються біфуркації періоду
- ,
де називається сталою Фейгенбаума.
Історія
Логістичне відображення популяризував у 1976 році біолог . Фейгенбаум встановив значення своєї сталої дещо раніше в 1975 році, використовуючи кишеньковий калькулятор. Надалі він отримав її математично. В 1978 році він опублікував статтю, в якій показав, що схожі подвоєння періоду з відповідною універсальною константою відбуваються при переході до хаосу у широкому класі задач.
Див. також
Ця стаття не містить . (червень 2023) |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Logistichne vidobrazhennya v yakomu v zalezhnosti vid parametra proyavlyayetsya shiroke kolo sinergetichnih efektiv takih yak atraktori granichni cikli determinovanij haos Logistichne vidobrazhennya zadayetsya iteracijnoyu formuloyu x n 1 r x n 1 x n displaystyle x n 1 rx n 1 x n de n krok r parametr Pochatkovoyu mozhe buti bud yaka tochka intervalu 0 1 Parametr r mozhe mati znachennya vid 0 do 4 Bifurkacijna diagramaBifurkacijna diagrama predstavlena na risunku pravoruch Oblast stabilnosti V zalezhnosti vid znachennya parametra r vidobrazhennya maye riznu kilkist neruhomih tochok Pri r lt 1 displaystyle r lt 1 yedinoyu neruhomoyu tochkoyu yaka viznachayetsya z rivnyannya x f x r x 1 x displaystyle x f x rx 1 x sho lezhit v intervali 0 1 ye tochka x 0 displaystyle x 0 Cya tochka stijka tomu poslidovnist vidobrazhen zbigayetsya do nulya x n 0 displaystyle x n rightarrow 0 pri bud yakomu znachenni pochatkovoyi tochki x 0 displaystyle x 0 Pri 1 lt r lt 3 displaystyle 1 lt r lt 3 vidobrazhennya maye dvi neruhomi tochki x 0 displaystyle x 0 ta x r 1 r displaystyle x r 1 r Persha z neruhomih tochok ye nestabilnoyu a druga stabilnoyu tomu x n r 1 r displaystyle x n rightarrow r 1 r Cej promizhok vidznachenij odnoyu liniyeyu na diagrami Bifurkaciya utvorennya granichnogo ciklu Pri r gt 3 chislo neruhomih tochok ne zminyuyetsya ale obidvi neruhomi tochki stayut nestabilnimi Oskilki vidobrazhennya obmezhene to vidsutnist tochkovogo atraktora oznachaye utvorennya skladnishogo atraktora tipu granichnogo ciklu Hocha same vidobrazhennya ne maye stijkih neruhomih tochok jogo kvadrat taki stijki neruhomi tochki maye Ci tochki viznachayutsya z sistemi rivnyan y r x 1 x displaystyle y rx 1 x x r y 1 y displaystyle x ry 1 y Cya sistema rivnyan zvoditsya do odnogo rivnyannya viklyuchayuchi zminnu y x f 2 x r x 1 x 1 r x 1 x displaystyle x f 2 x rx 1 x 1 rx 1 x Grafik funkciyi f 2 x displaystyle f 2 x zobrazheno na risunku pravoruch zelenoyu krivoyu Vona maye tri neruhomi tochki Dvi vidminni vid nulya neruhomi tochki zadayut granichnij cikl Pri vidobrazhenni pershogo poryadku odna z nih perehodit u inshu i navpaki Tomu na bifunkacijnij diagrami v cij oblasti odna liniya rozgaluzhuyetsya na dvi Slovo bifurkaciya oznachaye rozgaluzhennya Oblast granichnogo ciklu isnuye pri znachennyah parametra 3 lt r lt 1 6 displaystyle 3 lt r lt 1 sqrt 6 Bifurkaciya podvoyennya perioduDokladnishe Bifurkaciya podvoyennya periodu Pri znachennyah parametra r bilshih vid 1 6 displaystyle 1 sqrt 6 granichnij cikl vtrachaye stijkist Pri takih znachennya parametra stijki neruhomi tochki potribno shukati u vidobrazhennyah vishih poryadkiv V pevnij oblasti stijki stacionarni tochki isnuyut u vidobrazhennya chetvertogo poryadku Na grafiku pravoruch vidpovidna funkciya f 4 x f f f f x displaystyle f 4 x f f f f x zobrazhena siroyu krivoyu U takogo vidobrazhennya isnuye chotiri stacionarni tochki Tochka x n displaystyle x n pri poslidovnih iteraciyah teper bude pochergovo vidviduvati okoli vzhe ne dvoh a chotiroh tochok Granichnij cikl uskladnyuyetsya vidbuvayetsya podvoyennya jogo periodu vid dvoh do 4 h Situaciya z periodom granichnogo ciklu 4 isnuye v pevnij oblasti parametra r a potim zminyuyetsya vidbuvayetsya she odne podvoyennya periodu do vosmi i tak dali Determinovanij haosPri znachennyah parametru r gt 3 57 zhoden iz kritichnih cikliv ne maye stabilnosti Z cogo znachennya pochinayetsya haotichna povedinka sistemi Znachennya x n displaystyle x n zminyuyetsya bez periodichnosti Takih haos nazivayetsya determinovanim oskilki isnuye chitkij strogo viznachenij zakon za yakim mozhna viznachiti znachennya zminnoyi na bud yakij iteraciyi pochinayuchi vid vibranogo pochatkovogo znachennya odnak v yiyi povedinci nemaye periodichnosti Yaksho v oblasti stijkosti j granichnih cikliv povedinka vidobrazhen slabo zalezhala vid pochatkovoyi tochki to v oblasti haosu mala zmina pochatkovogo znachennya prizvodit do znachnoyi zmini znachennya n toyi iteraciyi V oblasti haosu isnuyut nespodivani vikna koli pri pevnih znachennyah parametru povedinka vidobrazhennya staye regulyarnoyu napriklad z yavlyayutsya granichni cikli tretogo poryadku Stala Fejgenbaumaviznachiv rekurentnu formulu yakij pidporyadkovani kritichni znachennya parametra r pri yakih vidbuvayutsya bifurkaciyi periodu r c n r c n 1 r c n 1 r c n d displaystyle frac r cn r cn 1 r c n 1 r cn delta de d 4 66920 displaystyle delta approx 4 66920 ldots nazivayetsya staloyu Fejgenbauma IstoriyaLogistichne vidobrazhennya populyarizuvav u 1976 roci biolog Fejgenbaum vstanoviv znachennya svoyeyi staloyi desho ranishe v 1975 roci vikoristovuyuchi kishenkovij kalkulyator Nadali vin otrimav yiyi matematichno V 1978 roci vin opublikuvav stattyu v yakij pokazav sho shozhi podvoyennya periodu z vidpovidnoyu universalnoyu konstantoyu vidbuvayutsya pri perehodi do haosu u shirokomu klasi zadach Div takozhModel Rikera Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno cherven 2023