Біфуркація подвоєння періоду

Біфуркація подвоєння періоду у дискретній динамічній системі є біфуркцією за якої система перемикається до нової поведінки з подвоєнням періоду вихідної системи. Біфуркація подвоєння періоду може також виникати у неперервних динамічних системах, коли новий граничний цикл виникає з існуючого граничного циклу, і період нового граничного циклу подвоєний, порівняно з вихідним.

Приклади

• Логістичне відображення
• Логістичне відображення для модифікованої кривої Філліпса

Біфуркаційна діаграма для модифікованої кривої Філліпса.

Розглянемо логістичне відображення для модифікованої кривої Філліпса:

${\displaystyle \pi _{t}=f(u_{t})+a\pi _{t}^{e}}$
${\displaystyle \pi _{t+1}=\pi _{t}^{e}+c(\pi _{t}-\pi _{t}^{e})}$
${\displaystyle f(u)=\beta _{1}+\beta _{2}e^{-u}\,}$
${\displaystyle b>0,0\leq c\leq 1,{\frac {df}{du}}<0}$

де ${\displaystyle \pi }$ — це дійсна інфляція, ${\displaystyle \pi ^{e}}$ — це очікувана інфляція, u — рівень безробіття і ${\displaystyle m-\pi }$ — це грошові агрегати приросту. Прирівнюючи ${\displaystyle \beta _{1}=-2.5,\ \beta _{2}=20,\ c=0.75}$ і змінюючи ${\displaystyle b}$, отримаємо систему, яка зазнає біфуркції подвоєння періоду, і після певної точки стає хаотичною, що проілюсторовано на біфуркційній діаграмі.

Біфуркція з періоду 1 до 2 для .

Біфуркації зполовинення періоду

Біфуркації зполовинення періоду (ліворуч), що призводять до зникнення хаосу, що змінюються на біфуркації подвоєння періоду(праворуч), які ведуть до хаотичного режиму.

Біфуркація зполовинення періоду у динамічній системі це біфуркація, за якої система переходить до нового режиму зі зменшенням періоду вихідної системи вдвічі. Серія біфуркацій зполовинення періоду веде від хаосу до порядку.

Див. також

• Теорія біфуркацій
• Константи Фейгенбаума
• Детермінований хаос
• Рівняння Лотки-Вольтерри

Посилання

• в дискретному часі, Динамічні процеси