Математика в золоту добу ісламу грунтувалась здебільшого на давньогрецькій та [en], яка поширилася арабським світом з VIII по XI століття. В той час, коли праці античності були майже забуті в християнській Європі раннього середньовіччя і науковий прогрес був незначним, вчені в ісламському світі підтримували безперервність математичних досліджень. З цієї причини вони відіграють важливу роль в історії математики. Серед відомих математиків періоду розквіту ісламу були аль-Хорезмі, Сабіт ібн Курра, аль-Баттані, Абу ль-Вафа, аль-Хайсам та Омар Хаям.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.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.jpg)
У галузі арифметики ісламські математики перейняли десяткову систему числення з індійської математики, розширили її, включивши десяткові дроби та розробили процедури для ефективних письмових обчислень у цьому представленні чисел. Цим вони зробили значний внесок у поширення десяткової системи числення, яка використовується сьогодні. Найважливішим нововведенням у математиці епохи розквіту ісламу був розвиток алгебри для систематичного перетворення та розв'язування рівнянь, а також обчислення з коренями, степенями та многочленами. У тригонометрії також був досягнутий великий прогрес у вивченні плоских і сферичних трикутників шляхом введення тригонометричних функцій, у тому числі функції синуса, яка до цього використовувалася в Індії. Ісламська математика також зробила внесок у побудови евклідової геометрії, теорії чисел та комбінаторики.
Важливі уточнення
На землях ісламу розвиток математики відбувався переважно за правлінням Аббасидів з VIII по XIII століття. Це був час культурного та наукового буму, який призвів до розквіту літератури та філософії, архітектури, медицини, астрономії, географії та, що не менш важливо, математики. У літературі немає єдиної назви для цієї частини історії математики. До недавнього часу часто використовувався термін арабська математика, що пояснюється тим фактом, що твори цієї епохи були майже виключно написані арабською мовою. Однак це може вводити в оману, оскільки тут також згадуються араби як етнічна група, тоді як вчені того часу походили з різних частин ісламського світу. Сьогочасні тексти зазвичай посилаються на іслам як на спільне культурне середовище і відповідно використовують такі терміни, як математика в країнах ісламу, або скорочено математика ісламу та ісламська математика. Проте з такими похідними термінами, як ісламський математик або математик ісламу, слід зазначити, що це не дає жодного твердження про релігійну приналежність особи. Вчені в країнах ісламу були переважно мусульманами, але не виключно. Відомим прикладом є математик ас-Самав'ал, який походив з єврейської сім'ї та був навернений до ісламу лише у дорослому віці.
Історико-соціальний фон
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemN5TDAxaGNGOXZabDlsZUhCaGJuTnBiMjVmYjJaZlEyRnNhWEJvWVhSbExuTjJaeTh6TlRCd2VDMU5ZWEJmYjJaZlpYaHdZVzV6YVc5dVgyOW1YME5oYkdsd2FHRjBaUzV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
Ісламська ера починається в 622 році н. е. з Гіджрою, втечею релігійного засновника Магомета зі свого рідного міста Мекки до Медини. До моменту його смерті в 632 році нова монотеїстична релігія іслам вже поширилася на всьому Аравійському півострові. Наступники Мухаммеда, халіфи, сформували потужні армії як релігійно-політичні лідери та змогли розширити сферу впливу ісламу, завоювавши Сирію, Месопотамію, Персію та Єгипет до середини VII століття. Під халіфатом Омеядів тріумф ісламських армій продовжився на заході через Північну Африку (Магриб) до Піренейського півострова (аль-Андалус), а на сході до Центральної Азії (Туркестан) та Індії приблизно до Інду (Сінд).
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekl5TDBwdmFHNWZkR2hsWDBkeVlXMXRZWEpwWVc1ZllYTmZZVzFpWVhOellXUnZjbDlpWldadmNtVmZWR2hsYjNCb2FXeHZjMTloYm1SZlRXRnRkVzR1YW5Cbkx6SXlNSEI0TFVwdmFHNWZkR2hsWDBkeVlXMXRZWEpwWVc1ZllYTmZZVzFpWVhOellXUnZjbDlpWldadmNtVmZWR2hsYjNCb2FXeHZjMTloYm1SZlRXRnRkVzR1YW5Cbi5qcGc=.jpg)
Близько 750 року арабські завоювання фактично зупинилися, і в новій імперії почався етап консолідації. Аль-Мансур, другий халіф Аббасидів, переніс столицю з Дамаска до Багдада, який був знову відбудований у 762 році і згодом став центром культури та науки. Гарун ар-Рашид заснував там бібліотеку, в якій були зібрані численні наукові джерела з усіх частин імперії. Син ар-Рашида, халіф аль-Мамун (правив у 813—833 рр.), збудував у Багдаді Будинок мудрості (Байт аль-Хікма). Головним завданням цієї наукової установи, яка була водночас і академією, і бібліотекою, і перекладацькою майстернею, спочатку був переклад найважливіших наукових джерел на арабську мову. Арабська мова, як мова Корану, яку всі в ісламській імперії повинні були вивчати, відігравала центральну роль як lingua franca для торгівлі, культури та науки. Арабські переклади індійських математичних текстів були зроблені на сході імперії в 730-х роках. Завдяки перекладам в Будинку Мудрості до кінця IX століття найважливіші грецькі математичні праці тепер були доступні в ретельному перекладі — перш за все Начала Евкліда, також математичні трактати Архімеда, Коніка («Про конічні перетини») Аполлонія, Арифметика Діофанта і Сферіка Менелая. Крім того, перекладацька робота в Будинку Мудрості водночас удосконалювала арабську наукову термінологію як основу для подальшого наукового прогресу.
Розвиток у окремих математичних науках
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMelk0TDA1MWJXVnlZWFJwYjI0dFluSmhhRzFwWDJaeUxuQnVaeTh5TWpCd2VDMU9kVzFsY21GMGFXOXVMV0p5WVdodGFWOW1jaTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Суттєвим елементом представлення чисел десятковими розрядами є символ нуля, який вказує, що відповідний розряд порожній: число 207 містить дві сотні, ні одного десятка та сім одиниць, на відміну від 27, яке містить два десятки та сім одиниць. Ця важлива ідея нуля сходить до індійської математики, де вона з'явилася не пізніше VII століття нашої ери та була описана індійським астрономом і математиком Брамагуптою. Арабські цифри набули поширення VIII століття у Сирії та Месопотамії і в IX столітті були прийняті за стандарт ісламською математикою. Раніше араби використовували абджадську систему числення, в якій, подібно до грецької системи числення, літери алфавіту позначають певні числа. З арабським перекладом Сіддханти індійського математика Аріабхати у VIII столітті число нуль потрапило в арабомовну літературу. Арабською мовою нуль називався sifr («порожній», «нічого»). Від цього слова походять німецьке слово «Ziffer» і англійське «zero».
Перший відомий опис нової системи числення арабською мовою зробив аль-Хорезмі, один з найважливіших математиків ісламу. Ймовірно, він був з Хорезму, народився близько 780 року, працював у Домі Мудрості в Багдаді та помер між 835 і 850 роками. Його роботи Kitāb al-ḥisāb al-hindī (Книга обчислень з індійськими числами) та kitab al-jam' wa'l-tafriq al-ḥisāb al-hindī («Додавання та віднімання в індійській арифметиці») у XII столітті були перекладені на латинь, завдяки чому індо-арабські числа та десяткова система були введені в Європі. Твір зберігся лише в одному латинському рукописі, арабський оригінал втрачено. Латинський переклад починається зі слів: «» («Аль-Хорезмі сказав»). Звідси походить слово алгоритм, яке сьогодні використовується для систематичних методів обчислення. Всупереч своїй назві, робота аль-Хорезмі з індійської системи числення включав процедури не тільки для письмового додавання та віднімання, але також для множення, ділення та знаходження квадратного кореня. Одна з найбільш ранніх праць з арифметики, що збереглася в оригінальному арабському тексті, книга Куш'яра ібн Лаббана «Основи індійського обчислення» (близько 971—1029 рр.), мала великий вплив в ісламських країнах і зіграла важливу роль в остаточному поширенні десяткової системи числення.
Письмові методи обчислення, запроваджені аль-Хорезмі та Куш'яром ібн Лаббаном, значно відрізнялися від тих, що використовуються сьогодні. Причиною цього було те, що вони були оптимізовані для обчислень на так званому пиловому абаку – плоскому лотку, посипаному дрібним піском, який був поширеним у той час. На відміну від арифметики за допомогою ручки та паперу, на пиловому абаці одночасно можна було написати лише кілька чисел, однак це давало перевагу в тому, що числа можна було дуже швидко стерти й написати інші. Однак такі абаки як допоміжні засоби для розрахунків незабаром вийшли з ужитку і були замінені чорнилами та папером. у своїй Книзі роздумів про індійську арифметику, написаній близько 953 року, стверджував, що використання абака є «недоречним», оскільки їх можуть використовувати хіба що шахраї, які «на вулицях заробляють на життя астрологією». Відповідно, аль-Уклідісі описав у своїй книзі письмові методи обчислення, які були оптимізовані для написання на папері.
Винахід десяткових дробів
Окрім арифметики з натуральними числами в десятковому представленні, книга аль-Уклідісі про індійську арифметику також містить найстаріший відомий спосіб представлення десяткових дробів. Раніше було звичайною практикою вказувати дроби в шістдесятковій системі числення. Аль-Уклідісі ввів десяткові дроби у зв'язку з діленням на 2 і на 10 та показав корисність цієї нової форми подання на прикладах: він п'ять разів поділив на 2 число 19 і отримав 0,59375, збільшив число 135 на одну десяту п'ять разів і отримав 217,41885. Однак Аль-Уклідісі ще не використовував сучасну систему позначення з десятковим розділювачем, а позначив розряд одиниць, розмістивши над ним маленьку вертикальну лінію.
Використання десяткових дробів в Аль-Уклідісі виглядало переважно як технічний спосіб і допомога в обчисленнях, незрозуміло, чи він повністю визнав їх математичне значення. Однак повне математичне розуміння десяткових дробів для наближеного представлення дійсних чисел було знайдено лише через 200 років у трактаті про арифметику ас-Самав'ала (бл. 1130—1180 рр.). З 1172 р. ас-Самав'ал розглядав десяткові дроби як метод наближення чисел із (в принципі) довільною точністю та продемонстрував це на прикладах, зокрема для наближеного представлення у вигляді десяткових дробів чисел і
. Для обчислення старших коренів ас-Самав'ал також використовував чисельні ітераційні методи, в яких стає зрозумілою ідея «збіжності» обчислених наближень до бажаного значення. Останній великий математик у країнах ісламу часів європейського Середньовіччя Джамшид Мас'уд аль-Каші (жив приблизно з 1389 по 1429 рік) написав працю Ключ до арифметики в 1427 році, в якій він, спираючись на біном Ньютона, розробив загальний метод для обчислення коренів n-го порядку.
Алгебра
Алгебра як самостійний розділ математики була розроблена математиками в період розквіту ісламу. Важливими джерелами, з яких вони черпали математичні знання, щоб сформувати нову науку, були грецька математика, особливо Елементи Евкліда та Арифметика Діофанта, та індійська математика, особливо Брамагупти. Починаючи з VII століття ісламська математика поєднала більш геометричний і завжди ретельно перевірений підхід греків із практичним розв'язуванням рівнянь, традиційним для Індії, як використовувалося у вавилонській математиці.
Серед перших арабомовних математиків, які самостійно і творчо розвивали античну математику, були брати Бану Муса, які жили в той самий час, що й аль-Хорезмі — в IX столітті, і працювали у Багдаді. Вони використали рівняння, подібне до рівняння равлика Паскаля, для трисекції кута та обчислення кубічного кореня з некубічного числа в шістдесятковій системі числення. Вони провели обчислення довжини кола за методом Архімеда, а також їм була відома теорема Герона.
Ісламські математики не використовували математичні символи для складання, перетворення та розв'язування рівнянь, а виражали їх виключно словами, при необхідності доповненими геометричними фігурами. Хоча вони знали про число нуль, як показано вище, але вони не використовували число нуль і не прийняли концепцію від'ємних чисел, як раніше були відомі в Індії та Китаї.
Важливим застосуванням алгебри був розподіл майна в ісламському спадковому праві, яке, з його відносно складними правовими нормами, природним чином призводить до математичних рівнянь. Відповідно, трактати ісламських математиків часто також містили прикладні задачі на цю тему
Алгебраїчні перетворення та розв'язки рівнянь Аль-Хорезмі
Крім твору з арифметики, Аль-Хорезмі написав ще одну математичну працю, яка вважається відправною точкою алгебри як самостійної науки. Вона має назву al-Kitab al-muchtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala (приблизний переклад: «Коротка книга про методи обчислення шляхом доповнення та протиставлення»). Робота була перекладена латинською мовою в 1145 році Робертом Честерським під назвою Liber algebrae et almucabala. У першій частині праці подано перетворення та розв'язування квадратних рівнянь, у другій частині вказані численні прикладні завдання, які ілюструють процес. Аль-Хорезмі вперше пояснив, як кожне розв'язне квадратне рівняння можна перетворити за допомогою двох методів перетворення, які він назвав аль-джабр («доповнення»; пізніше це слово трансформувалося у назву науки «алгебра») та аль-мукабала («протиставлення»), використавши одну з шести стандартних форм. У сучасному позначенні з невідомим і з коефіцієнтами
і
, які позначають задані додатні числа, ці форми такі:
1) | 2) | 3) |
4) | 5) | 6) |
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekkxTDBKdlpHeGxhV0Z1WDAxVExsOUlkVzUwYVc1bmRHOXVYekl4TkY5eWIyeHNNek15WDJaeVlXMWxNell1YW5Cbkx6SXlNSEI0TFVKdlpHeGxhV0Z1WDAxVExsOUlkVzUwYVc1bmRHOXVYekl4TkY5eWIyeHNNek15WDJaeVlXMWxNell1YW5Cbi5qcGc=.jpg)
У перших трьох випадках розв'язок може бути визначений безпосередньо; для випадків 4, 5 і 6 аль-Хорезмі встановив правила для розв'язку та довів їх геометрично, виділяючи квадрат. Хоча він завжди використовував конкретні числові приклади, також він підкреслював загальність міркувань.
Алгоритм буде пояснено на прикладі випадку 5, у якому аль-Хорезмі виявив, що це єдиний із шести випадків, у якому не може існувати жодного, точно одного або точно двох (додатних) розв'язків. Всі інші випадки, однак, завжди мають чітко визначені розв'язки. Задано рівняння . Спочатку виконується al-jabr, це означає, що одночлени, які віднімаються (тут
), додаються з обох сторін рівняння, так що зрештою в рівнянні залишається лише додавання; рівняння набуває вигляду
. Другий крок перетворення al-muqabala полягає у зведенні подібних членів у лівій і правій частинах рівняння; у результаті отримаємо
. Ділення рівняння на 2 остаточно дає стандартну форму
. Використовуючи правила аль-Хорезмі для випадку 5, тепер можна визначити два розв'язки:
.
Наступний розвиток алгебри в ісламі
Ідеї, які аль-Хорезмі представив у своїй книзі про аль-джабр і аль-мукабала, були підхоплені, прокоментовані та розширені багатьма ісламськими математиками. Сабіт ібн Курра (826—901) написав трактат, у якому загалом довів формули розв'язку, наведені аль-Хорезмі, використовуючи конкретні чисельні приклади. Він використав два набори елементів Евкліда і показав, що доведені таким чином геометричні розв'язки узгоджуються з формулами, отриманими за допомогою алгебраїчних перетворень.
Математик Абу Каміль (приблизно 850—930 рр.), ймовірно, з Єгипту, написав книгу під назвою Алгебра, яка стала дуже авторитетною. Зокрема, італійський математик Леонардо Пізанський наприкінці XII ст. уклав збірник завдань на основі цієї праці. Алгебра Абу Каміла як продовження роботи аль-Хорезмі містить значні досягнення в алгебраїчних перетвореннях. Серед іншого, Абу Каміл показав правила для множення виразів, які містять невідоме, також правила обчислення коренів, такі як . Він надав ретельні доведення елементарних перетворень, таких як
. Друга частина Алгебри Абу Каміла містить численні задачі, які ілюструють теоретичну першу частину. За словами Джона Леннарта Берґгрена, одна з найцікавіших задач свідчить про його «віртуозне» володіння правилами алгебри: Абу Каміл досліджував нелінійну систему рівнянь
,
,
з трьома невідомими та детально описав етапи розв'язання, які привели до розв'язку
.
Надалі алгебра більше арифметизувалася, тобто її геометричні основи відійшли на другий план і подальший розвиток отримали чисто алгебраїчні закони. Перський математик аль-Караджі (953—1029) розглядав довільні степені невідомих , а також суми та різниці з ними. Таким чином він зробив важливий крок до арифметики многочленів, але не зміг знайти законів ділення многочленів, оскільки йому, як і всім ісламським математикам до нього, бракувало поняття від'ємних чисел. Лише в ас-Самав'ала, через приблизно 70 років, серед іншого, можна знайти закон множення степенів
для будь-яких додатних і від'ємних показників
і
. Завдяки цьому ас-Самав'ал зміг розробити ефективну табличну процедуру, за допомогою якої можна було б виконувати довільні ділення многочленів; наприклад, він використав його для ділення
.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemxsTDB0b1lYbDVZVzB0Y0dGd1pYSXRNWE4wY0dGblpTNXdibWN2TWpJd2NIZ3RTMmhoZVhsaGJTMXdZWEJsY2kweGMzUndZV2RsTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
У галузі розв'язування алгебраїчних рівнянь перський вчений і поет Омар Хаям (1048—1131) використав класифікацію квадратних рівнянь аль-Хорезмі та поширив її на кубічні рівняння, тобто рівняння, які містять третій степінь невідомих. Він показав, що їх можна звести до однієї з 25 стандартних типів, 11 з яких можна звести до квадратних рівнянь. Для решти 14 типів ОмарХаям дав методи, за допомогою яких розв'язки можуть бути побудовані геометрично як точки перетину конічних перетинів. У своєму трактаті він також висловив «бажання» мати можливість обчислити розв'язок алгебраїчно, використовуючи радикали, як у випадку з квадратними рівняннями. Однак, за словами Омара Хаяма, ні він, ні будь-який інший алгебраїст не досягли успіху. Бажання Хаяма не здійснилося до 1545 року, коли італійський вчений Джироламо Кардано опублікував формули розв'язку рівнянь третього степеня.
Тригонометрія
Тригонометричні функції
Основи та перші застосування тригонометрії, «вимірювання трикутників», у стародавні часи лежали в астрономії. Тому математичні тексти, присвячені цій галузі, були зазвичай окремими розділами в астрономічних роботах. Найповніша збірка всіх астрономічних знань Стародавньої Греції, зібраних до того моменту, містилася в Альмагесті Птолемея (близько 100—160 рр). Єдина «кутова функція», яку використовували грецькі астрономи, — це функція кута (або дуги) відповідно до довжини хорди
. Відповідно, Альмагест містить докладну таблицю хорд, тобто таблицю, яка містить кути в градусах в одному стовпці та відповідні довжини хорд в іншому стовпці.
Однак ісламські астрономи та математики не перейняли геометрію хорд греків, а взяли інший підхід, який використовувався в індійській астрономії: синусну геометрію. У прямокутному трикутнику є відношенням довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи. Між синусом і довжиною дуги
існує відносно простий зв'язок, але прямий зв'язок синуса з прямокутними трикутниками пропонує великі теоретичні та практичні переваги. Таблиці синусів використовувалися в Індії ще з IV—V століть.
Використання не тільки функції синуса, а шести тригонометричних функцій, які використовуються сьогодні — синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса, є нововведенням ісламських математиків. Тангенс і котангенс вперше були введені в контексті довжин тіні: якщо кут — це кут піднесення сонця над горизонтом, то
є довжиною тіні, яку відкидає горизонтальний стрижень довжиною 1 на вертикальну стіну; Палиця (гномон), що стоїть вертикально на землі, з іншого боку, відкидає довгу тінь
. Тоді секанc та косеканc відповідають гіпотенузам, що належать до тіней, тобто вони дорівнюють відстані між кінчиком гномона та кінчиком тіні. Через прості формули
,
і
для практичних цілей досить просто скласти таблиці синусів, тангенсів і секансів.
Силу цих нових концепцій вперше продемонстрував Абу ль-Вафа, який жив у X столітті, в теоремі про додавання синусів
,
сформульованій і доведеній в сучасній формі. Цей зв'язок є простішим у порівнянні з раніше відомим аналогічним твердженням для довжин хорд. Надзвичайно важливу теорему тригонометрії, теорему синусів для плоских трикутників, вперше відкрив і довів перський учений Насир ад-Дін ат-Тусі в XIII столітті. Це вперше дозволило обчислити будь-який трикутник за відомими кутами або сторонами.
Сферична тригонометрія
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHhMekUwTDFSeWFXRnVaMnhsWDNOd2FDVkRNeVZCT1hKcGNYVmxMbk4yWnk4eU1qQndlQzFVY21saGJtZHNaVjl6Y0dnbFF6TWxRVGx5YVhGMVpTNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Як і в стародавній Греції та Індії, сферична тригонометрія в ісламській математиці була тісно пов'язана з питаннями астрономії: астрономічні об'єкти можна розглядати як точки на небесній сфері. Найкоротшою відстанню між двома точками на цій сфері є дуга великого кола, три точки разом із з'єднуючими їх дугами великого кола утворюють сферичний трикутник. Єдиний загальний математичний розрахунок довжин сторін сферичних трикутників і чотирикутників, відомий грекам, ґрунтувався на застосуванні теореми Менелая. Вона названа на честь Менелая Олександрійського, який жив за кілька десятиліть до Птолемея і, наскільки відомо, був першим ученим, який вивчав сферичні трикутники. Для завдань, у яких цю теорему було неможливо або важко застосувати, в астрономії використовувалися практичні методи вимірювання та наближення, такі як сферичні моделі або астролябії, функціональність яких базується на зображенні небесної сфери на площині за допомогою стереографічної проекції.
Важливим досягненням ісламських математиків, яке значно спростило обчислення порівняно з теоремою Менелая, була теорема синусів для сферичних трикутників. Її сформулював і довів Абу ль-Вафа і, ймовірно, незалежно один від одного аль-Біруні та один із його вчителів. Це був перший спосіб прямого обчислення кутів (а не тільки сторін) сферичних трикутників. Теорема стверджує, що у сферичному трикутнику з кутами ,
,
і довжинами
,
,
на протилежних сторонах:
.
Зокрема, сферичний трикутник можна обчислити за трьома заданими розмірами, якщо дано одну сторону та протилежний кут.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkkxTDBkbGIyZHlZWEJvYVdOaGJERXhMbkJ1Wnk4eU1qQndlQzFIWlc5bmNtRndhR2xqWVd3eE1TNXdibWM9LnBuZw==.png)
Сферична тригонометрія має велике значення не тільки в астрономії, але і в географії, коли при вимірюваннях і розрахунках враховується форма кулі Землі. Аль-Біруні досліджував важливе застосування для ісламської релігії: визначення Кібли, напрямку молитви до Мекки. Аль-Біруні розглянув цю проблему в роботі з математичної географії під назвою Визначення координат міст. Він поклав, що відомі географічна довгота і широта міста , а також Мекки —
. У сферичному трикутнику
з північним полюсом
це дві сторони
і
, а також відомий кут між ними
. Оскільки сторона, протилежна даному куту, невідома, теорему синусів не можна застосувати безпосередньо. Цю проблему можна було б вирішити сьогодні, наприклад, за допомогою теореми косинусів, яка, однак, ще не була відомою аль-Біруні. Натомість він використовував допоміжні трикутники та численні застосування теореми синусів, щоб отримати кут у точці
, тобто обчислити Кіблу.
Евклідова геометрія
Начала, в яких грецький математик Евклід близько 300 р. до н. е. систематично узагальнив геометрію свого часу, наприкінці VIII століття були перекладені на арабську і мали дуже великий вплив на ісламських математиків. Але трактат Архімеда Про сферу і циліндр і робота Аполлонія Коніка про конічні перетини також були стовпами, на яких базувалася геометрія в ісламських країнах. Популярним предметом вивчення була побудова правильних многокутників за допомогою циркуля та лінійки. Для правильних трикутників, чотирикутників, п'ятикутників, п'ятнадцятикутників і правильних багатокутників, отриманих в результаті подвоєння сторін, було відомо лише побудову за допомогою циркуля та лінійки. З іншого боку, правильні семикутники та дев'ятикутники можна побудувати лише за допомогою додаткових інструментів. У своїй праці Про ті частини геометрії, які потрібні ремісникам, Абу ль-Вафа дав, серед іншого, різні побудови цих двох випадків за допомогою конічних перетинів або шляхом так званого невсісу (вставки).
Іншим важливим математиком, який систематично займався геометричними дослідженнями, був Абу Сахль аль-Кухі (приблизно 940—1000 рр). Зокрема, він написав трактат про «ідеальний циркуль» — інструмент, за допомогою якого можна креслити конічні перерізи. На додаток до теоретичних міркувань, побудови геометричних фігур, конічні перерізи також мали велике значення для практичного застосування, наприклад, сонячних годинників або фокальних дзеркал. Ібрагім ібн Сінан (908—946), онук Сабіта ібн Курри, дав різні методи побудови трьох типів конічних перерізів: еліпса, параболи та гіперболи у своїй праці Про малювання трьох конік. Геометричні побудови, які виникають через обмеження класичних евклідових інструментів, також представляли теоретичний і практичний інтерес в ісламській математиці. Наприклад, Абу ль-Вафа написав працю, в якій розповідалося про побудову за допомогою лінійки та циркуля з фіксованим отвором, який також називають «іржавим циркулем». Він показав, наприклад, як за допомогою цих інструментів можна розділити відрізок на будь-яку кількість рівних частин або побудувати квадрати та правильні п'ятикутники. Сабіт ібн Курра узагальнив теорему Піфагора для довільних трикутників, відкривши теорему косинусів.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMelptTDFCaGNtRnNiR1ZzWDNCdmMzUjFiR0YwWlM1emRtY3ZNakl3Y0hndFVHRnlZV3hzWld4ZmNHOXpkSFZzWVhSbExuTjJaeTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Чисто теоретичною проблемою, якою інтенсивно займалися кілька ісламських математиків, було питання про те, яку роль відіграє аксіома паралельності в аксіоматичній структурі евклідової геометрії. У своїх Началах Евклід використовував «сучасну» структуру математичної теорії, доводячи теореми, засновані на визначеннях і аксіомах, тобто твердженнях, які вважаються істинними без доведення. Особливу роль відіграла аксіома паралельності, яка з самого початку не вважалася очевидною через її відносну складність. Відповідно, у стародавні часи були численні спроби довести це твердження за допомогою інших аксіом Наприклад, Аль-Хайсам (приблизно 965—1040 р.) також намагався розв'язати цю проблему, переформулювавши аксіому паралельних прямих. Пізніше Омар Хаям висловився проти цього, оскільки вважав використання Аль-Хайсамом «рухомої лінії» неочевидним, і він сам сформулював нову аксіому, якою замінив аксіому Евкліда. Хаям був також першим, хто дослідив чотирикутник Саккері. У XIII столітті Насир ад-Дін ат-Тусі вивчив спроби доведень своїх попередників і додав до них ще більше. З XIX-го століття відомо, що аксіома паралельності не залежить від інших аксіом і тому не може бути доведена. Усі спроби зробити це з давніх часів були або помилковими, або містили циклічні міркування.
Комбінаторика і теорія чисел
Давньоіндійські досягнення з комбінаторики були сприйняті ісламськими математиками. У цій підсфері також відбулися окремі подальші розробки. Твердження про числа або натуральні числа в цілому часто можна довести за принципом математичної індукції. У працях ісламських математиків є деякі міркування, які містять усі важливі компоненти цього методу доведення. використовував формулу зі степеневими сумами
.
Він провів етап індукції на конкретному прикладі , але його підхід не залежав від його вибору
. В аль-Караджі та ще чіткіше в ас-Самав'ала є міркування, важливі для доведення бінома Ньютона
,
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWpMMk5oTDFCaGMyTmhiRjkwY21saGJtZHNaVjl6YldGc2JDNXdibWN2TWpJd2NIZ3RVR0Z6WTJGc1gzUnlhV0Z1WjJ4bFgzTnRZV3hzTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
що доводиться методом математичної індукції — при тому, що можливостей математичного вираження того часу було недостатньо навіть для формулювання такого загального твердження. Для обчислення біноміальних коефіцієнтів аль-Караджі та ас-Самав'ал використовували трикутник Паскаля задовго до Блеза Паскаля.
Значний внесок у комбінаторику зробив математик (помер 1228 р.), який походив з Аль-Андалусу. У своїй книзі Фікх аль-хісаб («Закони обчислення») він мав намір порахувати кількість усіх можливих слів в арабській мові, що мають 10 букв. Він підійшов до цієї досить складної задачі — серед іншого, при утворенні слів необхідно дотримуватися правил про те, як приголосні і голосні повинні слідувати один за одним — використовуючи різні часткові випадки. Тож він спочатку визначив кількість різнокольорових китиць, які будуть створені, коли є можливих кольорів, які можна вибрати
способами. Використовуючи співвідношення між біноміальними коефіцієнтами, які виникають (див. також комбінація (комбінаторика)), йому нарешті вдалося рекурсивно визначити кількість можливих слів фіксованої довжини з кількості коротших слів.
Окрім магічних квадратів і фігурних чисел ісламська теорія чисел також розглядала досконалі числа та їх узагальнення, дружні числа. Два числа називаються дружніми, якщо кожне з них дорівнює сумі дійсних дільників іншого. З давніх часів був відомий лише один приклад, пара 220 і 284, але не було відомо жодного загального математичного твердження про дружні числа. У IX столітті Сабіт ібн Курра зміг сформулювати формулу для дружніх чисел. З її допомогою знайшов у XIII столітті іншу пару дружніх чисел, а саме 17 296 і 18 416.
Занепад і наслідки
У IX і X столітті природничі науки та філософія досягли вершини свого розвитку в ісламському культурному просторі. У цей час тут були засновані самостійні університети — медресе, які спочатку, крім релігійних знань, навчали своїх студентів глибоким знанням природничих наук. В той же час у християнській Європі багато творів були втрачені або забуті з часів пізньої античності. У ранньому Середньовіччі в Європі математична та природнича освіта були на низькому рівні.
З X століття ставлення провідних ісламських правознавців змінилося до ісламської філософії під впливом неоплатонізму, який виник з елліністичної філософії та етичних норм, що випливають з неї. Емпіричні дослідження як джерело знань і шлях до пошуку етичних і релігійних норм сприймалися як такі, що відрізняються від ісламського права чи релігієзнавства, і вважалися лише приватною справою окремих вчених. Більшість вірян повинні керуватися етичними принципами шаріату . Підсумком цього є праця важливого вченого-юриста та містика аль-Газалі (1058—1111), який відкидав філософію Авіцени та інших мусульманських вчених під впливом еллінізму як теїстичну та несумісну з ісламською теологією. Відповідно, медресе поступово перемістили свою увагу на юридичну та богословську освіту, а наукові дослідження і, як наслідок, математична наука, що виходила за межі елементарної прикладної математики, втрачали свій попередній статус Крім того, такі політичні події, як Реконкіста на ісламському Заході, імміграція сельджуків на Схід і монгольські завоювання, яким також піддався Багдад у 1258 році, сприяли завершенню розквіту арабомовної науки в ісламському світі, і, отже, опосередковано до занепаду науки, в тому числі математики. За винятком двох важливих перських ерудитів Насир ад-Діна ат-Тусі (1201—1274) і Джамшида Масуда аль-Каші (1380—1429), ісламська культура майже не дала впливових математиків у наступні часи.
У період занепаду точних наук у країнах ісламу математичні дослідження в Європі високого та пізнього середньовіччя вже набули нового розмаху. У ході відвоювання Іспанії та Сицилії бібліотеки раніше ісламських міст стали вільно доступними для західноєвропейських учених; стародавні тексти, що збереглися там в арабському перекладі, були перекладені на латинь, як і праці арабомовних вчених. Особливо в Толедо, яке було завойоване в 1085 році, була велика кількість перекладів арабських писань. Таким чином, через арабську мову, Західна Європа вперше відновила доступ до класичних праць античної математики, особливо до Начал Евкліда, які довгий час залишалися найважливішою працею з математики. Але й праці з десяткової системи числення та алгебри, які з самого початку вважалися досягненнями ісламської математики, також неодноразово перекладалися та коментувалися. Арифметика й алгебра аль-Хорезмі, а також роботи Абу Каміла були підхоплені Леонардо Пізанським і продовжені в його головній праці Liber abbaci. Проте висунуті міркування Ас-Самав'ала щодо алгебри чи математичні дослідження Омара Хаяма були невідомі в епоху Відродження і потребували перевідкриття. Досягнення в комбінаториці, такі як трикутник Паскаля з біноміальними коефіцієнтами, можливо, були запозичені з ісламської математики, чи вони були розроблені незалежно, неясно. В галузі геометрії, однак, є латинський переклад ісламської праці XII століття про сферичну тригонометрію, яка містить, зокрема, закон синусів.
Історія дослідження
Хоча праці ісламських математиків високо цінувалися в європейському високому та пізньому Середньовіччі, ставлення до них змінилося в епоху Відродження. Математичні дослідження в цей час зосереджувалися головним чином на перекладах і коментарях давньогрецьких писань, які поступово знову стали доступними латиною або мовою оригіналу. З іншого боку, досягнення ісламської математики були знехтувані та частково забуті. У наступні століття це призвело до європоцентричного погляду серед більшості математиків та істориків математики, які побудували пряму лінію розвитку від грецької математики до сучасної західної математики.
Досягнення ісламських математиків були визнані лише в XIX столітті, заново відкриті західними істориками математики: у той час як Жан-Етьєн Монтюкла писав у своїй всебічній Histoire des mathématiques(1758), що арабомовні математики мали справу лише з рівняннями другого ступеня, Франц Вьопке вказав у своїй дисертації про алгебру в 1851 році, що Омара Хаям систематично мав справу з рівняннями третього ступеня. Він опублікував переклади невідомих раніше математичних рукописів, таких як «Алгебра» аль-Караджі. Разом із Жаном Жаком і Луї П'єр-Еженом Седіло, а також Жозефом Туссеном Рейно він вважається основоположником науково-історичних досліджень ісламської математики. У численних роботах Ейльхард Відеманн розглядав історію арабських наук, особливо астрономії та математики, на яких вона базується. У своєму Вступі до історії науки (1927 р.) Джордж Сартон остаточно подолав європоцентристський погляд і сформував сучасне розуміння важливої ролі арабомовної науки у збереженні та незалежному подальшому розвитку стародавніх знань, а також у передачі знання до Європи. Сучасні історики математики, такі як Рошді Рашед, Джон Леннарт Берггрен і Ян Хогендайк, поглиблено займаються математикою періоду розквіту ісламу, тому сьогодні є чіткіша картина наукового прогресу цієї епохи.
Література
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2.
- J. Lennart Berggren: Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. 2. Auflage. Springer, New York 2016, ISBN 978-1-4939-3778-3.
- Franka Miriam Brückler: Geschichte der Mathematik kompakt — Das Wichtigste aus Arithmetik, Geometrie, Algebra, Zahlentheorie und Logik. Springer, 2017, ISBN 978-3-662-55351-0.
- Helmuth Gericke: Mathematik in Antike und Orient. Springer, Berlin/Heidelberg/New York/Tokyo 1984, ISBN 3-540-11647-8, Abschnitt 3.3 Mathematik in den Ländern des Islam.
- Dietmar Herrmann: Mathematik im Mittelalter — Die Geschichte der Mathematik des Abendlands mit ihren Quellen in China, Indien und im Islam. Springer, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50289-1, Kap. 4 Mathematik des Islam bis 1400.
- Luke Hodgkin: A History of Mathematics — From Mesopotamia to Modernity. Oxford University Press, New York 2005, ISBN 0-19-852937-6, 5. Islam, neglect and discovery.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, Chapter 9 The Mathematics of Islam.
- Fuat Sezgin: Geschichte des arabischen Schrifttums, Band V: Mathematik. Bis ca. 430 H. Brill, Leiden 1974, ISBN 90-04-04153-2.
- Fuat Sezgin: Wissenschaft und Technik im Islam I. Institut für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften, Frankfurt am Main 2003, ISBN 3-8298-0067-3 (ibttm.org [PDF; abgerufen am 27. Mai 2018]).
- Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik — Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. 1. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, Kap. 5 Mathematik in den Ländern des Islam.
Примітки
- Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik — Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. 1. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 222.
- Dietmar Herrmann: Mathematik im Mittelalter — Die Geschichte der Mathematik des Abendlands mit ihren Quellen in China, Indien und im Islam. Springer, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50289-1, S. 139.
- Heinz-Wilhelm Alten et al.: 4000 Jahre Algebra: Geschichte — Kulturen — Menschen. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-38238-3, S. 156.
- Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik — Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. 1. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 223.
- Heinz-Wilhelm Alten et al.: 4000 Jahre Algebra: Geschichte — Kulturen — Menschen. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-38238-3, S. 157 f.
- Dietmar Herrmann: Mathematik im Mittelalter — Die Geschichte der Mathematik des Abendlands mit ihren Quellen in China, Indien und im Islam. Springer, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50289-1, S. 143.
- Heinz-Wilhelm Alten et al.: 4000 Jahre Algebra: Geschichte — Kulturen — Menschen. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-38238-3, S. 158.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 2.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 5.
- Dietmar Herrmann: Die antike Mathematik — Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37611-5, S. 406 f.
- Fuat Sezgin: Wissenschaft und Technik im Islam I. Institut für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften, Frankfurt am Main 2003, ISBN 3-8298-0067-3, S. 9.
- Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik — Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. 1. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 97–100.
- Franka Miriam Brückler: Geschichte der Mathematik kompakt — Das Wichtigste aus Arithmetik, Geometrie, Algebra, Zahlentheorie und Logik. Springer, 2017, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 16.
- Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik — Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. 1. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 241.
- Fuat Sezgin: Wissenschaft und Technik im Islam I. Institut für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften, Frankfurt am Main 2003, ISBN 3-8298-0067-3, S. 13.
- Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik — Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. 1. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 237.
- Menso Folkerts: Die älteste lateinische Schrift über das indische Rechnen nach al-Ḫwārizmī. Bayerische Akademie der Wissenschaften, München 1997, ISBN 978-3-7696-0108-4.
- Kurt Vogel: Mohammed ibn Musa Alchwarizmi's Algorismus; das früheste Lehrbuch zum Rechnen mit indischen Ziffern. Nach der einzigen (lateinischen) Handschrift (Cambridge Un. Lib. Ms. Ii. 6.5) in Faksimile mit Transkription und Kommentar herausgegeben von Kurt Vogel. O. Zeller, Aalen 1968 (hathitrust.org [abgerufen am 30. Oktober 2019]).
- John N. Crossley, Alan S. Henry: Thus Spake al-Khwārizmī: A Translation of the Text of Cambridge University Library Ms. Ii.vi.5. In: Historia Mathematica. Band 17, Nr. 2, 1990, S. 103—131, doi:10.1016/0315-0860(90)90048-I.
- Franka Miriam Brückler: Geschichte der Mathematik kompakt — Das Wichtigste aus Arithmetik, Geometrie, Algebra, Zahlentheorie und Logik. Springer, 2017, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 17.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 33.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 35.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 34.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 39.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 42.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 40 f.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 270.
- Brückler, Franka Miriam: Geschichte der Mathematik kompakt: Das Wichtigste aus Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, angewandter Mathematik, Topologie und Mengenlehre. Springer-Verlag, 2017, , S. 94
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 112 f.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 271.
- Helmuth Gericke: Mathematik in Antike und Orient. Springer, Berlin/Heidelberg/New York/Tokyo 1984, ISBN 3-540-11647-8, S. 214.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 111 f.
- Fuat Sezgin: Wissenschaft und Technik im Islam I. Institut für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften, Frankfurt am Main 2003, ISBN 3-8298-0067-3, S. 13–14.
- Heinz-Wilhelm Alten et al.: 4000 Jahre Algebra: Geschichte — Kulturen — Menschen. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-38238-3, S. 175.
- Heinz-Wilhelm Alten et al.: 4000 Jahre Algebra: Geschichte — Kulturen — Menschen. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-38238-3, S. 150, 176.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 137 f.
- Dietmar Herrmann: Mathematik im Mittelalter — Die Geschichte der Mathematik des Abendlands mit ihren Quellen in China, Indien und im Islam. Springer, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50289-1, S. 157—159.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 8.
- Louis Charles Kapinski: Robert of Chester's Latin translation of the Algebra of al-Khowarizmi. Macmillan, New York 1915, S. 16 (wilbourhall.org [PDF; abgerufen am 30. Oktober 2019]).
- Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik — Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. 1. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 239.
- Dietmar Herrmann: Mathematik im Mittelalter — Die Geschichte der Mathematik des Abendlands mit ihren Quellen in China, Indien und im Islam. Springer, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50289-1, S. 156—161.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 113.
- Heinz-Wilhelm Alten et al.: 4000 Jahre Algebra: Geschichte — Kulturen — Menschen. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-38238-3, S. 176.
- Franka Miriam Brückler: Geschichte der Mathematik kompakt — Das Wichtigste aus Arithmetik, Geometrie, Algebra, Zahlentheorie und Logik. Springer, 2017, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 105—107.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 115.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 273.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 114.
- Heinz-Wilhelm Alten et al.: 4000 Jahre Algebra: Geschichte — Kulturen — Menschen. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-38238-3, S. 178.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 273 f.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 115—119.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 119.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 120 f.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 121—123.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 279.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 123—125.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 125—127.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 127—129.ф
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 287.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 131—136.
- Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik — Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. 1. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 248.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 136—137.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 306.
- Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik — Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. 1. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 95.
- Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik — Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. 1. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 95–96.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 149.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 146.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 307.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 147—149.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 149—153.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 315.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 153—156.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 175—177.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 177—179.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 184—190.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 311.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 195.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 195 f.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 203—207.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 78.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 78 f.
- Christoph J. Scriba, Peter Schneider: 5000 Jahre Geometrie — Geschichte, Kulturen, Menschen. 3. Auflage. Springer, Heidelberg u. a. 2010, ISBN 978-3-642-02361-3, S. 164.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 85.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 93–97.
- J. Lennart Berggren: Mathematik im mittelalterlichen Islam. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 97–104.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 301.
- Christoph J. Scriba, Peter Schneider: 5000 Jahre Geometrie — Geschichte, Kulturen, Menschen. 3. Auflage. Springer, Heidelberg u. a. 2010, ISBN 978-3-642-02361-3, S. 173 f.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 301—303.
- Franka Miriam Brückler: Geschichte der Mathematik kompakt — Das Wichtigste aus Arithmetik, Geometrie, Algebra, Zahlentheorie und Logik. Springer, 2017, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 92–97.
- Brückler, Franka Miriam: Geschichte der Mathematik kompakt: Das Wichtigste aus Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, angewandter Mathematik, Topologie und Mengenlehre. Springer-Verlag, 2017, , S. 68
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 282 f.
- Heinz-Wilhelm Alten et al.: 4000 Jahre Algebra: Geschichte — Kulturen — Menschen. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-38238-3, S. 183.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 285—287.
- J.L. Berggren: Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. 2. Auflage. Springer, New York 2016, ISBN 978-1-4939-3778-3, S. 140—143.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 292—294.
- J.L. Berggren: Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. 2. Auflage. Springer, New York 2016, ISBN 978-1-4939-3778-3, S. 236—242.
- J.L. Berggren: Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. 2. Auflage. Springer, New York 2016, ISBN 978-1-4939-3778-3, S. 228—243.
- J.L. Berggren: Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. 2. Auflage. Springer, New York 2016, ISBN 978-1-4939-3778-3, S. 226—228.
- Franka Miriam Brückler: Geschichte der Mathematik kompakt — Das Wichtigste aus Arithmetik, Geometrie, Algebra, Zahlentheorie und Logik. Springer, 2017, ISBN 978-3-540-76687-2, S. 144.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 295.
- Muhammad Qasim Zaman: Transmitters of authority and ideas across cultural boundaries, eleventh to eighteenth century. In: Michael Cook (Hrsg.): The new Cambridge history of Islam. 3. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge, UK 2010, ISBN 978-0-521-51536-8, S. 600—603.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 325.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 267.
- Hunt Janin: The pursuit of learning in the Islamic world, 610—2003. McFarland, Jefferson, NC [u. a.] 2007, ISBN 978-0-7864-2904-2, S. 83
- W. Montgomery Watt: The Faith and Practice of Al-Ghazali. George Allen and Unwin Ltd, London (http://www.ghazali.org/works/watt3.htm).
- ʻAbd-Elṣamad ʻAbd-Elḥamīd: Einführung. In: Abū-Ḥamid Muḥammad al-Ghazālī Elschazlī: Das Kriterium des Handelns. Aus dem Arab. übers., mit einer Einl., mit Anm. und Indices hrsg. von ʻAbd-Elṣamad ʻAbd-Elḥamīd. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 2006, ISBN 3-534-19039-4, S. 59
- Wolfgang Hein: Die Mathematik im Mittelalter — Von Abakus bis Zahlenspiel. WBG, Darmstadt 2010, ISBN 978-3-534-23121-8, S. 136 f.
- Victor J. Katz: A History of Mathematics — An Introduction. 3. Auflage. Addison-Wesley/Pearson, Boston u. a. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4, S. 317.
- Wolfgang Hein: Die Mathematik im Mittelalter — Von Abakus bis Zahlenspiel. WBG, Darmstadt 2010, ISBN 978-3-534-23121-8, S. 137.
- Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik — Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. 1. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 277.
- Wolfgang Hein: Die Mathematik im Mittelalter — Von Abakus bis Zahlenspiel. WBG, Darmstadt 2010, ISBN 978-3-534-23121-8, S. 143.
- Luke Hodgkin: A History of Mathematics – From Mesopotamia to Modernity. Oxford University Press, New York, , S. 102.
- Jean-Étienne Montucla: Histoire des mathématiques. 1, Paris, S. 359 f. (http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1076512).
- Fuat Sezgin: Wissenschaft und Technik im Islam I. Institut für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften, Frankfurt am Main, , S. 2.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Matematika v zolotu dobu islamu gruntuvalas zdebilshogo na davnogreckij ta en yaka poshirilasya arabskim svitom z VIII po XI stolittya V toj chas koli praci antichnosti buli majzhe zabuti v hristiyanskij Yevropi rannogo serednovichchya i naukovij progres buv neznachnim vcheni v islamskomu sviti pidtrimuvali bezperervnist matematichnih doslidzhen Z ciyeyi prichini voni vidigrayut vazhlivu rol v istoriyi matematiki Sered vidomih matematikiv periodu rozkvitu islamu buli al Horezmi Sabit ibn Kurra al Battani Abu l Vafa al Hajsam ta Omar Hayam Storinka z knigi al Horezmi Kitab al dzhabr va l mukabala U galuzi arifmetiki islamski matematiki perejnyali desyatkovu sistemu chislennya z indijskoyi matematiki rozshirili yiyi vklyuchivshi desyatkovi drobi ta rozrobili proceduri dlya efektivnih pismovih obchislen u comu predstavlenni chisel Cim voni zrobili znachnij vnesok u poshirennya desyatkovoyi sistemi chislennya yaka vikoristovuyetsya sogodni Najvazhlivishim novovvedennyam u matematici epohi rozkvitu islamu buv rozvitok algebri dlya sistematichnogo peretvorennya ta rozv yazuvannya rivnyan a takozh obchislennya z korenyami stepenyami ta mnogochlenami U trigonometriyi takozh buv dosyagnutij velikij progres u vivchenni ploskih i sferichnih trikutnikiv shlyahom vvedennya trigonometrichnih funkcij u tomu chisli funkciyi sinusa yaka do cogo vikoristovuvalasya v Indiyi Islamska matematika takozh zrobila vnesok u pobudovi evklidovoyi geometriyi teoriyi chisel ta kombinatoriki Vazhlivi utochnennyaNa zemlyah islamu rozvitok matematiki vidbuvavsya perevazhno za pravlinnyam Abbasidiv z VIII po XIII stolittya Ce buv chas kulturnogo ta naukovogo bumu yakij prizviv do rozkvitu literaturi ta filosofiyi arhitekturi medicini astronomiyi geografiyi ta sho ne mensh vazhlivo matematiki U literaturi nemaye yedinoyi nazvi dlya ciyeyi chastini istoriyi matematiki Do nedavnogo chasu chasto vikoristovuvavsya termin arabska matematika sho poyasnyuyetsya tim faktom sho tvori ciyeyi epohi buli majzhe viklyuchno napisani arabskoyu movoyu Odnak ce mozhe vvoditi v omanu oskilki tut takozh zgaduyutsya arabi yak etnichna grupa todi yak vcheni togo chasu pohodili z riznih chastin islamskogo svitu Sogochasni teksti zazvichaj posilayutsya na islam yak na spilne kulturne seredovishe i vidpovidno vikoristovuyut taki termini yak matematika v krayinah islamu abo skorocheno matematika islamu ta islamska matematika Prote z takimi pohidnimi terminami yak islamskij matematik abo matematik islamu slid zaznachiti sho ce ne daye zhodnogo tverdzhennya pro religijnu prinalezhnist osobi Vcheni v krayinah islamu buli perevazhno musulmanami ale ne viklyuchno Vidomim prikladom ye matematik as Samav al yakij pohodiv z yevrejskoyi sim yi ta buv navernenij do islamu lishe u doroslomu vici Istoriko socialnij fonPoshirennya islamu do 750 roku za zhittya Muhammeda 612 632 rr Islamska era pochinayetsya v 622 roci n e z Gidzhroyu vtecheyu religijnogo zasnovnika Magometa zi svogo ridnogo mista Mekki do Medini Do momentu jogo smerti v 632 roci nova monoteyistichna religiya islam vzhe poshirilasya na vsomu Aravijskomu pivostrovi Nastupniki Muhammeda halifi sformuvali potuzhni armiyi yak religijno politichni lideri ta zmogli rozshiriti sferu vplivu islamu zavoyuvavshi Siriyu Mesopotamiyu Persiyu ta Yegipet do seredini VII stolittya Pid halifatom Omeyadiv triumf islamskih armij prodovzhivsya na zahodi cherez Pivnichnu Afriku Magrib do Pirenejskogo pivostrova al Andalus a na shodi do Centralnoyi Aziyi Turkestan ta Indiyi priblizno do Indu Sind Abbasidskij halif al Mamun krajnij livoruch i vizantijskij imperator Feofil krajnij pravoruch mizh nimi poserednik Ivan Gramatik Fragment madridskogo rukopisu Blizko 750 roku arabski zavoyuvannya faktichno zupinilisya i v novij imperiyi pochavsya etap konsolidaciyi Al Mansur drugij halif Abbasidiv perenis stolicyu z Damaska do Bagdada yakij buv znovu vidbudovanij u 762 roci i zgodom stav centrom kulturi ta nauki Garun ar Rashid zasnuvav tam biblioteku v yakij buli zibrani chislenni naukovi dzherela z usih chastin imperiyi Sin ar Rashida halif al Mamun praviv u 813 833 rr zbuduvav u Bagdadi Budinok mudrosti Bajt al Hikma Golovnim zavdannyam ciyeyi naukovoyi ustanovi yaka bula vodnochas i akademiyeyu i bibliotekoyu i perekladackoyu majsterneyu spochatku buv pereklad najvazhlivishih naukovih dzherel na arabsku movu Arabska mova yak mova Koranu yaku vsi v islamskij imperiyi povinni buli vivchati vidigravala centralnu rol yak lingua franca dlya torgivli kulturi ta nauki Arabski perekladi indijskih matematichnih tekstiv buli zrobleni na shodi imperiyi v 730 h rokah Zavdyaki perekladam v Budinku Mudrosti do kincya IX stolittya najvazhlivishi grecki matematichni praci teper buli dostupni v retelnomu perekladi persh za vse Nachala Evklida takozh matematichni traktati Arhimeda Konika Pro konichni peretini Apolloniya Arifmetika Diofanta i Sferika Menelaya Krim togo perekladacka robota v Budinku Mudrosti vodnochas udoskonalyuvala arabsku naukovu terminologiyu yak osnovu dlya podalshogo naukovogo progresu Rozvitok u okremih matematichnih naukahArifmetika Rozvitok indoarabskih cifr Suttyevim elementom predstavlennya chisel desyatkovimi rozryadami ye simvol nulya yakij vkazuye sho vidpovidnij rozryad porozhnij chislo 207 mistit dvi sotni ni odnogo desyatka ta sim odinic na vidminu vid 27 yake mistit dva desyatki ta sim odinic Cya vazhliva ideya nulya shodit do indijskoyi matematiki de vona z yavilasya ne piznishe VII stolittya nashoyi eri ta bula opisana indijskim astronomom i matematikom Bramaguptoyu Arabski cifri nabuli poshirennya VIII stolittya u Siriyi ta Mesopotamiyi i v IX stolitti buli prijnyati za standart islamskoyu matematikoyu Ranishe arabi vikoristovuvali abdzhadsku sistemu chislennya v yakij podibno do greckoyi sistemi chislennya literi alfavitu poznachayut pevni chisla Z arabskim perekladom Siddhanti indijskogo matematika Ariabhati u VIII stolitti chislo nul potrapilo v arabomovnu literaturu Arabskoyu movoyu nul nazivavsya sifr porozhnij nichogo Vid cogo slova pohodyat nimecke slovo Ziffer i anglijske zero Pershij vidomij opis novoyi sistemi chislennya arabskoyu movoyu zrobiv al Horezmi odin z najvazhlivishih matematikiv islamu Jmovirno vin buv z Horezmu narodivsya blizko 780 roku pracyuvav u Domi Mudrosti v Bagdadi ta pomer mizh 835 i 850 rokami Jogo roboti Kitab al ḥisab al hindi Kniga obchislen z indijskimi chislami ta kitab al jam wa l tafriq al ḥisab al hindi Dodavannya ta vidnimannya v indijskij arifmetici u XII stolitti buli perekladeni na latin zavdyaki chomu indo arabski chisla ta desyatkova sistema buli vvedeni v Yevropi Tvir zberigsya lishe v odnomu latinskomu rukopisi arabskij original vtracheno Latinskij pereklad pochinayetsya zi sliv Al Horezmi skazav Zvidsi pohodit slovo algoritm yake sogodni vikoristovuyetsya dlya sistematichnih metodiv obchislennya Vsuperech svoyij nazvi robota al Horezmi z indijskoyi sistemi chislennya vklyuchav proceduri ne tilki dlya pismovogo dodavannya ta vidnimannya ale takozh dlya mnozhennya dilennya ta znahodzhennya kvadratnogo korenya Odna z najbilsh rannih prac z arifmetiki sho zbereglasya v originalnomu arabskomu teksti kniga Kush yara ibn Labbana Osnovi indijskogo obchislennya blizko 971 1029 rr mala velikij vpliv v islamskih krayinah i zigrala vazhlivu rol v ostatochnomu poshirenni desyatkovoyi sistemi chislennya Dodavannya 5625 i 839 u stovpchik na pilovomu abaku za Kush yarom ibn Labbanom Pismovi metodi obchislennya zaprovadzheni al Horezmi ta Kush yarom ibn Labbanom znachno vidriznyalisya vid tih sho vikoristovuyutsya sogodni Prichinoyu cogo bulo te sho voni buli optimizovani dlya obchislen na tak zvanomu pilovomu abaku ploskomu lotku posipanomu dribnim piskom yakij buv poshirenim u toj chas Na vidminu vid arifmetiki za dopomogoyu ruchki ta paperu na pilovomu abaci odnochasno mozhna bulo napisati lishe kilka chisel odnak ce davalo perevagu v tomu sho chisla mozhna bulo duzhe shvidko sterti j napisati inshi Odnak taki abaki yak dopomizhni zasobi dlya rozrahunkiv nezabarom vijshli z uzhitku i buli zamineni chornilami ta paperom u svoyij Knizi rozdumiv pro indijsku arifmetiku napisanij blizko 953 roku stverdzhuvav sho vikoristannya abaka ye nedorechnim oskilki yih mozhut vikoristovuvati hiba sho shahrayi yaki na vulicyah zaroblyayut na zhittya astrologiyeyu Vidpovidno al Uklidisi opisav u svoyij knizi pismovi metodi obchislennya yaki buli optimizovani dlya napisannya na paperi Vinahid desyatkovih drobiv Okrim arifmetiki z naturalnimi chislami v desyatkovomu predstavlenni kniga al Uklidisi pro indijsku arifmetiku takozh mistit najstarishij vidomij sposib predstavlennya desyatkovih drobiv Ranishe bulo zvichajnoyu praktikoyu vkazuvati drobi v shistdesyatkovij sistemi chislennya Al Uklidisi vviv desyatkovi drobi u zv yazku z dilennyam na 2 i na 10 ta pokazav korisnist ciyeyi novoyi formi podannya na prikladah vin p yat raziv podiliv na 2 chislo 19 i otrimav 0 59375 zbilshiv chislo 135 na odnu desyatu p yat raziv i otrimav 217 41885 Odnak Al Uklidisi she ne vikoristovuvav suchasnu sistemu poznachennya z desyatkovim rozdilyuvachem a poznachiv rozryad odinic rozmistivshi nad nim malenku vertikalnu liniyu Vikoristannya desyatkovih drobiv v Al Uklidisi viglyadalo perevazhno yak tehnichnij sposib i dopomoga v obchislennyah nezrozumilo chi vin povnistyu viznav yih matematichne znachennya Odnak povne matematichne rozuminnya desyatkovih drobiv dlya nablizhenogo predstavlennya dijsnih chisel bulo znajdeno lishe cherez 200 rokiv u traktati pro arifmetiku as Samav ala bl 1130 1180 rr Z 1172 r as Samav al rozglyadav desyatkovi drobi yak metod nablizhennya chisel iz v principi dovilnoyu tochnistyu ta prodemonstruvav ce na prikladah zokrema dlya nablizhenogo predstavlennya u viglyadi desyatkovih drobiv chisel 21013 displaystyle tfrac 210 13 i 10 displaystyle sqrt 10 Dlya obchislennya starshih koreniv as Samav al takozh vikoristovuvav chiselni iteracijni metodi v yakih staye zrozumiloyu ideya zbizhnosti obchislenih nablizhen do bazhanogo znachennya Ostannij velikij matematik u krayinah islamu chasiv yevropejskogo Serednovichchya Dzhamshid Mas ud al Kashi zhiv priblizno z 1389 po 1429 rik napisav pracyu Klyuch do arifmetiki v 1427 roci v yakij vin spirayuchis na binom Nyutona rozrobiv zagalnij metod dlya obchislennya koreniv n go poryadku Algebra Algebra yak samostijnij rozdil matematiki bula rozroblena matematikami v period rozkvitu islamu Vazhlivimi dzherelami z yakih voni cherpali matematichni znannya shob sformuvati novu nauku buli grecka matematika osoblivo Elementi Evklida ta Arifmetika Diofanta ta indijska matematika osoblivo Bramagupti Pochinayuchi z VII stolittya islamska matematika poyednala bilsh geometrichnij i zavzhdi retelno perevirenij pidhid grekiv iz praktichnim rozv yazuvannyam rivnyan tradicijnim dlya Indiyi yak vikoristovuvalosya u vavilonskij matematici Sered pershih arabomovnih matematikiv yaki samostijno i tvorcho rozvivali antichnu matematiku buli brati Banu Musa yaki zhili v toj samij chas sho j al Horezmi v IX stolitti i pracyuvali u Bagdadi Voni vikoristali rivnyannya podibne do rivnyannya ravlika Paskalya dlya trisekciyi kuta ta obchislennya kubichnogo korenya z nekubichnogo chisla v shistdesyatkovij sistemi chislennya Voni proveli obchislennya dovzhini kola za metodom Arhimeda a takozh yim bula vidoma teorema Gerona Islamski matematiki ne vikoristovuvali matematichni simvoli dlya skladannya peretvorennya ta rozv yazuvannya rivnyan a virazhali yih viklyuchno slovami pri neobhidnosti dopovnenimi geometrichnimi figurami Hocha voni znali pro chislo nul yak pokazano vishe ale voni ne vikoristovuvali chislo nul i ne prijnyali koncepciyu vid yemnih chisel yak ranishe buli vidomi v Indiyi ta Kitayi Vazhlivim zastosuvannyam algebri buv rozpodil majna v islamskomu spadkovomu pravi yake z jogo vidnosno skladnimi pravovimi normami prirodnim chinom prizvodit do matematichnih rivnyan Vidpovidno traktati islamskih matematikiv chasto takozh mistili prikladni zadachi na cyu temu Algebrayichni peretvorennya ta rozv yazki rivnyan Al Horezmi Krim tvoru z arifmetiki Al Horezmi napisav she odnu matematichnu pracyu yaka vvazhayetsya vidpravnoyu tochkoyu algebri yak samostijnoyi nauki Vona maye nazvu al Kitab al muchtasar fi hisab al jabr wa l muqabala pribliznij pereklad Korotka kniga pro metodi obchislennya shlyahom dopovnennya ta protistavlennya Robota bula perekladena latinskoyu movoyu v 1145 roci Robertom Chesterskim pid nazvoyu Liber algebrae et almucabala U pershij chastini praci podano peretvorennya ta rozv yazuvannya kvadratnih rivnyan u drugij chastini vkazani chislenni prikladni zavdannya yaki ilyustruyut proces Al Horezmi vpershe poyasniv yak kozhne rozv yazne kvadratne rivnyannya mozhna peretvoriti za dopomogoyu dvoh metodiv peretvorennya yaki vin nazvav al dzhabr dopovnennya piznishe ce slovo transformuvalosya u nazvu nauki algebra ta al mukabala protistavlennya vikoristavshi odnu z shesti standartnih form U suchasnomu poznachenni z nevidomim x displaystyle x i z koeficiyentami p displaystyle p i q displaystyle q yaki poznachayut zadani dodatni chisla ci formi taki 1 x2 px displaystyle x 2 px 2 x2 p displaystyle x 2 p 3 x p displaystyle x p 4 x2 px q displaystyle x 2 px q 5 x2 q px displaystyle x 2 q px 6 px q x2 displaystyle px q x 2 Dva vipadki kvadratnih rivnyan v Al Horezmi arabska kopiya XIV stolittya U pershih troh vipadkah rozv yazok mozhe buti viznachenij bezposeredno dlya vipadkiv 4 5 i 6 al Horezmi vstanoviv pravila dlya rozv yazku ta doviv yih geometrichno vidilyayuchi kvadrat Hocha vin zavzhdi vikoristovuvav konkretni chislovi prikladi takozh vin pidkreslyuvav zagalnist mirkuvan Algoritm bude poyasneno na prikladi vipadku 5 u yakomu al Horezmi viyaviv sho ce yedinij iz shesti vipadkiv u yakomu ne mozhe isnuvati zhodnogo tochno odnogo abo tochno dvoh dodatnih rozv yazkiv Vsi inshi vipadki odnak zavzhdi mayut chitko viznacheni rozv yazki Zadano rivnyannya 2x2 100 20x 58 displaystyle 2x 2 100 20x 58 Spochatku vikonuyetsya al jabr ce oznachaye sho odnochleni yaki vidnimayutsya tut 20x displaystyle 20x dodayutsya z oboh storin rivnyannya tak sho zreshtoyu v rivnyanni zalishayetsya lishe dodavannya rivnyannya nabuvaye viglyadu 2x2 100 58 20x displaystyle 2x 2 100 58 20x Drugij krok peretvorennya al muqabala polyagaye u zvedenni podibnih chleniv u livij i pravij chastinah rivnyannya u rezultati otrimayemo 2x2 42 20x displaystyle 2x 2 42 20x Dilennya rivnyannya na 2 ostatochno daye standartnu formu x2 21 10x displaystyle x 2 21 10x Vikoristovuyuchi pravila al Horezmi dlya vipadku 5 teper mozhna viznachiti dva rozv yazki 102 102 2 21 3 102 102 2 21 7 displaystyle frac 10 2 sqrt left frac 10 2 right 2 21 3 frac 10 2 sqrt left frac 10 2 right 2 21 7 Nastupnij rozvitok algebri v islami Ideyi yaki al Horezmi predstaviv u svoyij knizi pro al dzhabr i al mukabala buli pidhopleni prokomentovani ta rozshireni bagatma islamskimi matematikami Sabit ibn Kurra 826 901 napisav traktat u yakomu zagalom doviv formuli rozv yazku navedeni al Horezmi vikoristovuyuchi konkretni chiselni prikladi Vin vikoristav dva nabori elementiv Evklida i pokazav sho dovedeni takim chinom geometrichni rozv yazki uzgodzhuyutsya z formulami otrimanimi za dopomogoyu algebrayichnih peretvoren Matematik Abu Kamil priblizno 850 930 rr jmovirno z Yegiptu napisav knigu pid nazvoyu Algebra yaka stala duzhe avtoritetnoyu Zokrema italijskij matematik Leonardo Pizanskij naprikinci XII st uklav zbirnik zavdan na osnovi ciyeyi praci Algebra Abu Kamila yak prodovzhennya roboti al Horezmi mistit znachni dosyagnennya v algebrayichnih peretvorennyah Sered inshogo Abu Kamil pokazav pravila dlya mnozhennya viraziv yaki mistyat nevidome takozh pravila obchislennya koreniv taki yak a b a b displaystyle sqrt a cdot sqrt b sqrt a cdot b Vin nadav retelni dovedennya elementarnih peretvoren takih yak ax bx ab x2 displaystyle ax cdot bx ab cdot x 2 Druga chastina Algebri Abu Kamila mistit chislenni zadachi yaki ilyustruyut teoretichnu pershu chastinu Za slovami Dzhona Lennarta Berggrena odna z najcikavishih zadach svidchit pro jogo virtuozne volodinnya pravilami algebri Abu Kamil doslidzhuvav nelinijnu sistemu rivnyan 10 x y z displaystyle 10 x y z z2 x2 y2 displaystyle z 2 x 2 y 2 xz y2 displaystyle xz y 2 z troma nevidomimi ta detalno opisav etapi rozv yazannya yaki priveli do rozv yazku x 5 3125 50 displaystyle x 5 sqrt sqrt 3125 50 Nadali algebra bilshe arifmetizuvalasya tobto yiyi geometrichni osnovi vidijshli na drugij plan i podalshij rozvitok otrimali chisto algebrayichni zakoni Perskij matematik al Karadzhi 953 1029 rozglyadav dovilni stepeni nevidomih x displaystyle x a takozh sumi ta riznici z nimi Takim chinom vin zrobiv vazhlivij krok do arifmetiki mnogochleniv ale ne zmig znajti zakoniv dilennya mnogochleniv oskilki jomu yak i vsim islamskim matematikam do nogo brakuvalo ponyattya vid yemnih chisel Lishe v as Samav ala cherez priblizno 70 rokiv sered inshogo mozhna znajti zakon mnozhennya stepeniv xm xn xm n displaystyle x m cdot x n x m n dlya bud yakih dodatnih i vid yemnih pokaznikiv m displaystyle m i n displaystyle n Zavdyaki comu as Samav al zmig rozrobiti efektivnu tablichnu proceduru za dopomogoyu yakoyi mozhna bulo b vikonuvati dovilni dilennya mnogochleniv napriklad vin vikoristav jogo dlya dilennya 20x6 2x5 58x4 75x3 125x2 96x 94 140x 1 50x 2 90x 3 20x 42x3 5x 5 10x 1 displaystyle frac 20x 6 2x 5 58x 4 75x 3 125x 2 96x 94 140x 1 50x 2 90x 3 20x 4 2x 3 5x 5 10x 1 Storinka z roboti Omara Hayama pro rozv yazuvannya kubichnih rivnyan za dopomogoyu konichnih pereriziv U galuzi rozv yazuvannya algebrayichnih rivnyan perskij vchenij i poet Omar Hayam 1048 1131 vikoristav klasifikaciyu kvadratnih rivnyan al Horezmi ta poshiriv yiyi na kubichni rivnyannya tobto rivnyannya yaki mistyat tretij stepin nevidomih Vin pokazav sho yih mozhna zvesti do odniyeyi z 25 standartnih tipiv 11 z yakih mozhna zvesti do kvadratnih rivnyan Dlya reshti 14 tipiv OmarHayam dav metodi za dopomogoyu yakih rozv yazki mozhut buti pobudovani geometrichno yak tochki peretinu konichnih peretiniv U svoyemu traktati vin takozh visloviv bazhannya mati mozhlivist obchisliti rozv yazok algebrayichno vikoristovuyuchi radikali yak u vipadku z kvadratnimi rivnyannyami Odnak za slovami Omara Hayama ni vin ni bud yakij inshij algebrayist ne dosyagli uspihu Bazhannya Hayama ne zdijsnilosya do 1545 roku koli italijskij vchenij Dzhirolamo Kardano opublikuvav formuli rozv yazku rivnyan tretogo stepenya Trigonometriya Trigonometrichni funkciyi Dokladnishe Istoriya trigonometriyi Islamski krayini Osnovi ta pershi zastosuvannya trigonometriyi vimiryuvannya trikutnikiv u starodavni chasi lezhali v astronomiyi Tomu matematichni teksti prisvyacheni cij galuzi buli zazvichaj okremimi rozdilami v astronomichnih robotah Najpovnisha zbirka vsih astronomichnih znan Starodavnoyi Greciyi zibranih do togo momentu mistilasya v Almagesti Ptolemeya blizko 100 160 rr Yedina kutova funkciya yaku vikoristovuvali grecki astronomi ce funkciya kuta abo dugi a displaystyle alpha vidpovidno do dovzhini hordi chord a displaystyle operatorname chord alpha Vidpovidno Almagest mistit dokladnu tablicyu hord tobto tablicyu yaka mistit kuti v gradusah v odnomu stovpci ta vidpovidni dovzhini hord v inshomu stovpci Odnak islamski astronomi ta matematiki ne perejnyali geometriyu hord grekiv a vzyali inshij pidhid yakij vikoristovuvavsya v indijskij astronomiyi sinusnu geometriyu U pryamokutnomu trikutniku sin a displaystyle sin alpha ye vidnoshennyam dovzhini protilezhnogo kateta do dovzhini gipotenuzi Mizh sinusom i dovzhinoyu dugi sin a 12chord 2a displaystyle sin alpha tfrac 1 2 operatorname chord 2 alpha isnuye vidnosno prostij zv yazok ale pryamij zv yazok sinusa z pryamokutnimi trikutnikami proponuye veliki teoretichni ta praktichni perevagi Tablici sinusiv vikoristovuvalisya v Indiyi she z IV V stolit Vikoristannya ne tilki funkciyi sinusa a shesti trigonometrichnih funkcij yaki vikoristovuyutsya sogodni sinusa kosinusa tangensa kotangensa sekansa i kosekansa ye novovvedennyam islamskih matematikiv Tangens i kotangens vpershe buli vvedeni v konteksti dovzhin tini yaksho kut 8 displaystyle theta ce kut pidnesennya soncya nad gorizontom to tan 8 displaystyle tan theta ye dovzhinoyu tini yaku vidkidaye gorizontalnij strizhen dovzhinoyu 1 na vertikalnu stinu Palicya gnomon sho stoyit vertikalno na zemli z inshogo boku vidkidaye dovgu tin ctg 8 displaystyle ctg theta Todi sekanc ta kosekanc vidpovidayut gipotenuzam sho nalezhat do tinej tobto voni dorivnyuyut vidstani mizh kinchikom gnomona ta kinchikom tini Cherez prosti formuli cos 8 sin 90 8 displaystyle cos theta sin 90 circ theta ctg 8 tan 90 8 displaystyle ctg theta tan 90 circ theta i cosec 8 sec 90 8 displaystyle cosec theta sec 90 circ theta dlya praktichnih cilej dosit prosto sklasti tablici sinusiv tangensiv i sekansiv Silu cih novih koncepcij vpershe prodemonstruvav Abu l Vafa yakij zhiv u X stolitti v teoremi pro dodavannya sinusiv sin a b sin a cos b cos a sin b displaystyle sin alpha pm beta sin alpha cdot cos beta pm cos alpha cdot sin beta sformulovanij i dovedenij v suchasnij formi Cej zv yazok ye prostishim u porivnyanni z ranishe vidomim analogichnim tverdzhennyam dlya dovzhin hord Nadzvichajno vazhlivu teoremu trigonometriyi teoremu sinusiv dlya ploskih trikutnikiv vpershe vidkriv i doviv perskij uchenij Nasir ad Din at Tusi v XIII stolitti Ce vpershe dozvolilo obchisliti bud yakij trikutnik za vidomimi kutami abo storonami Sferichna trigonometriya Tri tochki A B C na sferi utvoryuyut sferichnij trikutnik zi storonami a b c i kutami a b i g Yak i v starodavnij Greciyi ta Indiyi sferichna trigonometriya v islamskij matematici bula tisno pov yazana z pitannyami astronomiyi astronomichni ob yekti mozhna rozglyadati yak tochki na nebesnij sferi Najkorotshoyu vidstannyu mizh dvoma tochkami na cij sferi ye duga velikogo kola tri tochki razom iz z yednuyuchimi yih dugami velikogo kola utvoryuyut sferichnij trikutnik Yedinij zagalnij matematichnij rozrahunok dovzhin storin sferichnih trikutnikiv i chotirikutnikiv vidomij grekam gruntuvavsya na zastosuvanni teoremi Menelaya Vona nazvana na chest Menelaya Oleksandrijskogo yakij zhiv za kilka desyatilit do Ptolemeya i naskilki vidomo buv pershim uchenim yakij vivchav sferichni trikutniki Dlya zavdan u yakih cyu teoremu bulo nemozhlivo abo vazhko zastosuvati v astronomiyi vikoristovuvalisya praktichni metodi vimiryuvannya ta nablizhennya taki yak sferichni modeli abo astrolyabiyi funkcionalnist yakih bazuyetsya na zobrazhenni nebesnoyi sferi na ploshini za dopomogoyu stereografichnoyi proekciyi Vazhlivim dosyagnennyam islamskih matematikiv yake znachno sprostilo obchislennya porivnyano z teoremoyu Menelaya bula teorema sinusiv dlya sferichnih trikutnikiv Yiyi sformulyuvav i doviv Abu l Vafa i jmovirno nezalezhno odin vid odnogo al Biruni ta odin iz jogo vchiteliv Ce buv pershij sposib pryamogo obchislennya kutiv a ne tilki storin sferichnih trikutnikiv Teorema stverdzhuye sho u sferichnomu trikutniku z kutami a displaystyle alpha b displaystyle beta g displaystyle gamma i dovzhinami a displaystyle a b displaystyle b c displaystyle c na protilezhnih storonah sin asin a sin bsin b sin csin g displaystyle frac sin a sin alpha frac sin b sin beta frac sin c sin gamma Zokrema sferichnij trikutnik mozhna obchisliti za troma zadanimi rozmirami yaksho dano odnu storonu ta protilezhnij kut Sferichnij trikutnik dlya viznachennya napryamku molitvi Sferichna trigonometriya maye velike znachennya ne tilki v astronomiyi ale i v geografiyi koli pri vimiryuvannyah i rozrahunkah vrahovuyetsya forma kuli Zemli Al Biruni doslidzhuvav vazhlive zastosuvannya dlya islamskoyi religiyi viznachennya Kibli napryamku molitvi do Mekki Al Biruni rozglyanuv cyu problemu v roboti z matematichnoyi geografiyi pid nazvoyu Viznachennya koordinat mist Vin poklav sho vidomi geografichna dovgota i shirota mista B displaystyle mathrm B a takozh Mekki A displaystyle mathrm A U sferichnomu trikutniku BAP displaystyle mathrm BAP z pivnichnim polyusom P displaystyle mathrm P ce dvi storoni PA displaystyle mathrm PA i PB displaystyle mathrm PB a takozh vidomij kut mizh nimi P displaystyle mathrm P Oskilki storona protilezhna danomu kutu nevidoma teoremu sinusiv ne mozhna zastosuvati bezposeredno Cyu problemu mozhna bulo b virishiti sogodni napriklad za dopomogoyu teoremi kosinusiv yaka odnak she ne bula vidomoyu al Biruni Natomist vin vikoristovuvav dopomizhni trikutniki ta chislenni zastosuvannya teoremi sinusiv shob otrimati kut u tochci B displaystyle mathrm B tobto obchisliti Kiblu Evklidova geometriya Nachala v yakih greckij matematik Evklid blizko 300 r do n e sistematichno uzagalniv geometriyu svogo chasu naprikinci VIII stolittya buli perekladeni na arabsku i mali duzhe velikij vpliv na islamskih matematikiv Ale traktat Arhimeda Pro sferu i cilindr i robota Apolloniya Konika pro konichni peretini takozh buli stovpami na yakih bazuvalasya geometriya v islamskih krayinah Populyarnim predmetom vivchennya bula pobudova pravilnih mnogokutnikiv za dopomogoyu cirkulya ta linijki Dlya pravilnih trikutnikiv chotirikutnikiv p yatikutnikiv p yatnadcyatikutnikiv i pravilnih bagatokutnikiv otrimanih v rezultati podvoyennya storin bulo vidomo lishe pobudovu za dopomogoyu cirkulya ta linijki Z inshogo boku pravilni semikutniki ta dev yatikutniki mozhna pobuduvati lishe za dopomogoyu dodatkovih instrumentiv U svoyij praci Pro ti chastini geometriyi yaki potribni remisnikam Abu l Vafa dav sered inshogo rizni pobudovi cih dvoh vipadkiv za dopomogoyu konichnih peretiniv abo shlyahom tak zvanogo nevsisu vstavki Inshim vazhlivim matematikom yakij sistematichno zajmavsya geometrichnimi doslidzhennyami buv Abu Sahl al Kuhi priblizno 940 1000 rr Zokrema vin napisav traktat pro idealnij cirkul instrument za dopomogoyu yakogo mozhna kresliti konichni pererizi Na dodatok do teoretichnih mirkuvan pobudovi geometrichnih figur konichni pererizi takozh mali velike znachennya dlya praktichnogo zastosuvannya napriklad sonyachnih godinnikiv abo fokalnih dzerkal Ibragim ibn Sinan 908 946 onuk Sabita ibn Kurri dav rizni metodi pobudovi troh tipiv konichnih pereriziv elipsa paraboli ta giperboli u svoyij praci Pro malyuvannya troh konik Geometrichni pobudovi yaki vinikayut cherez obmezhennya klasichnih evklidovih instrumentiv takozh predstavlyali teoretichnij i praktichnij interes v islamskij matematici Napriklad Abu l Vafa napisav pracyu v yakij rozpovidalosya pro pobudovu za dopomogoyu linijki ta cirkulya z fiksovanim otvorom yakij takozh nazivayut irzhavim cirkulem Vin pokazav napriklad yak za dopomogoyu cih instrumentiv mozhna rozdiliti vidrizok na bud yaku kilkist rivnih chastin abo pobuduvati kvadrati ta pravilni p yatikutniki Sabit ibn Kurra uzagalniv teoremu Pifagora dlya dovilnih trikutnikiv vidkrivshi teoremu kosinusiv Aksioma paralelnosti Evklida yaksho suma a b vnutrishnih kutiv mensha za 180 to pryami h i k peretinayutsya v tochci S yaka lezhit po toj samij bik vid g na yakomu lezhat dva kuti Chisto teoretichnoyu problemoyu yakoyu intensivno zajmalisya kilka islamskih matematikiv bulo pitannya pro te yaku rol vidigraye aksioma paralelnosti v aksiomatichnij strukturi evklidovoyi geometriyi U svoyih Nachalah Evklid vikoristovuvav suchasnu strukturu matematichnoyi teoriyi dovodyachi teoremi zasnovani na viznachennyah i aksiomah tobto tverdzhennyah yaki vvazhayutsya istinnimi bez dovedennya Osoblivu rol vidigrala aksioma paralelnosti yaka z samogo pochatku ne vvazhalasya ochevidnoyu cherez yiyi vidnosnu skladnist Vidpovidno u starodavni chasi buli chislenni sprobi dovesti ce tverdzhennya za dopomogoyu inshih aksiom Napriklad Al Hajsam priblizno 965 1040 r takozh namagavsya rozv yazati cyu problemu pereformulyuvavshi aksiomu paralelnih pryamih Piznishe Omar Hayam vislovivsya proti cogo oskilki vvazhav vikoristannya Al Hajsamom ruhomoyi liniyi neochevidnim i vin sam sformulyuvav novu aksiomu yakoyu zaminiv aksiomu Evklida Hayam buv takozh pershim hto doslidiv chotirikutnik Sakkeri U XIII stolitti Nasir ad Din at Tusi vivchiv sprobi doveden svoyih poperednikiv i dodav do nih she bilshe Z XIX go stolittya vidomo sho aksioma paralelnosti ne zalezhit vid inshih aksiom i tomu ne mozhe buti dovedena Usi sprobi zrobiti ce z davnih chasiv buli abo pomilkovimi abo mistili ciklichni mirkuvannya Kombinatorika i teoriya chisel Davnoindijski dosyagnennya z kombinatoriki buli sprijnyati islamskimi matematikami U cij pidsferi takozh vidbulisya okremi podalshi rozrobki Tverdzhennya pro chisla abo naturalni chisla v cilomu chasto mozhna dovesti za principom matematichnoyi indukciyi U pracyah islamskih matematikiv ye deyaki mirkuvannya yaki mistyat usi vazhlivi komponenti cogo metodu dovedennya vikoristovuvav formulu zi stepenevimi sumami i 1ni3 i 1ni 2 displaystyle sum i 1 n i 3 left sum i 1 n i right 2 Vin proviv etap indukciyi na konkretnomu prikladi n 10 displaystyle n 10 ale jogo pidhid ne zalezhav vid jogo viboru n displaystyle n V al Karadzhi ta she chitkishe v as Samav ala ye mirkuvannya vazhlivi dlya dovedennya binoma Nyutona x y n k 0n nk xn kyk displaystyle x y n sum k 0 n binom n k x n k y k Trikutnik Paskalya dlya viznachennya binomialnih koeficiyentiv sho dovoditsya metodom matematichnoyi indukciyi pri tomu sho mozhlivostej matematichnogo virazhennya togo chasu bulo nedostatno navit dlya formulyuvannya takogo zagalnogo tverdzhennya Dlya obchislennya binomialnih koeficiyentiv nk displaystyle tbinom n k al Karadzhi ta as Samav al vikoristovuvali trikutnik Paskalya zadovgo do Bleza Paskalya Znachnij vnesok u kombinatoriku zrobiv matematik pomer 1228 r yakij pohodiv z Al Andalusu U svoyij knizi Fikh al hisab Zakoni obchislennya vin mav namir porahuvati kilkist usih mozhlivih sliv v arabskij movi sho mayut 10 bukv Vin pidijshov do ciyeyi dosit skladnoyi zadachi sered inshogo pri utvorenni sliv neobhidno dotrimuvatisya pravil pro te yak prigolosni i golosni povinni sliduvati odin za odnim vikoristovuyuchi rizni chastkovi vipadki Tozh vin spochatku viznachiv kilkist riznokolorovih kitic yaki budut stvoreni koli ye n displaystyle n mozhlivih koloriv yaki mozhna vibrati k displaystyle k sposobami Vikoristovuyuchi spivvidnoshennya mizh binomialnimi koeficiyentami yaki vinikayut div takozh kombinaciya kombinatorika jomu nareshti vdalosya rekursivno viznachiti kilkist mozhlivih sliv fiksovanoyi dovzhini z kilkosti korotshih sliv Okrim magichnih kvadrativ i figurnih chisel islamska teoriya chisel takozh rozglyadala doskonali chisla ta yih uzagalnennya druzhni chisla Dva chisla nazivayutsya druzhnimi yaksho kozhne z nih dorivnyuye sumi dijsnih dilnikiv inshogo Z davnih chasiv buv vidomij lishe odin priklad para 220 i 284 ale ne bulo vidomo zhodnogo zagalnogo matematichnogo tverdzhennya pro druzhni chisla U IX stolitti Sabit ibn Kurra zmig sformulyuvati formulu dlya druzhnih chisel Z yiyi dopomogoyu znajshov u XIII stolitti inshu paru druzhnih chisel a same 17 296 i 18 416 Zanepad i naslidkiU IX i X stolitti prirodnichi nauki ta filosofiya dosyagli vershini svogo rozvitku v islamskomu kulturnomu prostori U cej chas tut buli zasnovani samostijni universiteti medrese yaki spochatku krim religijnih znan navchali svoyih studentiv glibokim znannyam prirodnichih nauk V toj zhe chas u hristiyanskij Yevropi bagato tvoriv buli vtracheni abo zabuti z chasiv piznoyi antichnosti U rannomu Serednovichchi v Yevropi matematichna ta prirodnicha osvita buli na nizkomu rivni Z X stolittya stavlennya providnih islamskih pravoznavciv zminilosya do islamskoyi filosofiyi pid vplivom neoplatonizmu yakij vinik z ellinistichnoyi filosofiyi ta etichnih norm sho viplivayut z neyi Empirichni doslidzhennya yak dzherelo znan i shlyah do poshuku etichnih i religijnih norm sprijmalisya yak taki sho vidriznyayutsya vid islamskogo prava chi religiyeznavstva i vvazhalisya lishe privatnoyu spravoyu okremih vchenih Bilshist viryan povinni keruvatisya etichnimi principami shariatu Pidsumkom cogo ye pracya vazhlivogo vchenogo yurista ta mistika al Gazali 1058 1111 yakij vidkidav filosofiyu Aviceni ta inshih musulmanskih vchenih pid vplivom ellinizmu yak teyistichnu ta nesumisnu z islamskoyu teologiyeyu Vidpovidno medrese postupovo peremistili svoyu uvagu na yuridichnu ta bogoslovsku osvitu a naukovi doslidzhennya i yak naslidok matematichna nauka sho vihodila za mezhi elementarnoyi prikladnoyi matematiki vtrachali svij poperednij status Krim togo taki politichni podiyi yak Rekonkista na islamskomu Zahodi immigraciya seldzhukiv na Shid i mongolski zavoyuvannya yakim takozh piddavsya Bagdad u 1258 roci spriyali zavershennyu rozkvitu arabomovnoyi nauki v islamskomu sviti i otzhe oposeredkovano do zanepadu nauki v tomu chisli matematiki Za vinyatkom dvoh vazhlivih perskih eruditiv Nasir ad Dina at Tusi 1201 1274 i Dzhamshida Masuda al Kashi 1380 1429 islamska kultura majzhe ne dala vplivovih matematikiv u nastupni chasi U period zanepadu tochnih nauk u krayinah islamu matematichni doslidzhennya v Yevropi visokogo ta piznogo serednovichchya vzhe nabuli novogo rozmahu U hodi vidvoyuvannya Ispaniyi ta Siciliyi biblioteki ranishe islamskih mist stali vilno dostupnimi dlya zahidnoyevropejskih uchenih starodavni teksti sho zbereglisya tam v arabskomu perekladi buli perekladeni na latin yak i praci arabomovnih vchenih Osoblivo v Toledo yake bulo zavojovane v 1085 roci bula velika kilkist perekladiv arabskih pisan Takim chinom cherez arabsku movu Zahidna Yevropa vpershe vidnovila dostup do klasichnih prac antichnoyi matematiki osoblivo do Nachal Evklida yaki dovgij chas zalishalisya najvazhlivishoyu praceyu z matematiki Ale j praci z desyatkovoyi sistemi chislennya ta algebri yaki z samogo pochatku vvazhalisya dosyagnennyami islamskoyi matematiki takozh neodnorazovo perekladalisya ta komentuvalisya Arifmetika j algebra al Horezmi a takozh roboti Abu Kamila buli pidhopleni Leonardo Pizanskim i prodovzheni v jogo golovnij praci Liber abbaci Prote visunuti mirkuvannya As Samav ala shodo algebri chi matematichni doslidzhennya Omara Hayama buli nevidomi v epohu Vidrodzhennya i potrebuvali perevidkrittya Dosyagnennya v kombinatorici taki yak trikutnik Paskalya z binomialnimi koeficiyentami mozhlivo buli zapozicheni z islamskoyi matematiki chi voni buli rozrobleni nezalezhno neyasno V galuzi geometriyi odnak ye latinskij pereklad islamskoyi praci XII stolittya pro sferichnu trigonometriyu yaka mistit zokrema zakon sinusiv Istoriya doslidzhennyaHocha praci islamskih matematikiv visoko cinuvalisya v yevropejskomu visokomu ta piznomu Serednovichchi stavlennya do nih zminilosya v epohu Vidrodzhennya Matematichni doslidzhennya v cej chas zoseredzhuvalisya golovnim chinom na perekladah i komentaryah davnogreckih pisan yaki postupovo znovu stali dostupnimi latinoyu abo movoyu originalu Z inshogo boku dosyagnennya islamskoyi matematiki buli znehtuvani ta chastkovo zabuti U nastupni stolittya ce prizvelo do yevropocentrichnogo poglyadu sered bilshosti matematikiv ta istorikiv matematiki yaki pobuduvali pryamu liniyu rozvitku vid greckoyi matematiki do suchasnoyi zahidnoyi matematiki Dosyagnennya islamskih matematikiv buli viznani lishe v XIX stolitti zanovo vidkriti zahidnimi istorikami matematiki u toj chas yak Zhan Etyen Montyukla pisav u svoyij vsebichnij Histoire des mathematiques 1758 sho arabomovni matematiki mali spravu lishe z rivnyannyami drugogo stupenya Franc Vopke vkazav u svoyij disertaciyi pro algebru v 1851 roci sho Omara Hayam sistematichno mav spravu z rivnyannyami tretogo stupenya Vin opublikuvav perekladi nevidomih ranishe matematichnih rukopisiv takih yak Algebra al Karadzhi Razom iz Zhanom Zhakom i Luyi P yer Ezhenom Sedilo a takozh Zhozefom Tussenom Rejno vin vvazhayetsya osnovopolozhnikom naukovo istorichnih doslidzhen islamskoyi matematiki U chislennih robotah Ejlhard Videmann rozglyadav istoriyu arabskih nauk osoblivo astronomiyi ta matematiki na yakih vona bazuyetsya U svoyemu Vstupi do istoriyi nauki 1927 r Dzhordzh Sarton ostatochno podolav yevropocentristskij poglyad i sformuvav suchasne rozuminnya vazhlivoyi roli arabomovnoyi nauki u zberezhenni ta nezalezhnomu podalshomu rozvitku starodavnih znan a takozh u peredachi znannya do Yevropi Suchasni istoriki matematiki taki yak Roshdi Rashed Dzhon Lennart Berggren i Yan Hogendajk poglibleno zajmayutsya matematikoyu periodu rozkvitu islamu tomu sogodni ye chitkisha kartina naukovogo progresu ciyeyi epohi LiteraturaJ Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 J Lennart Berggren Episodes in the Mathematics of Medieval Islam 2 Auflage Springer New York 2016 ISBN 978 1 4939 3778 3 Franka Miriam Bruckler Geschichte der Mathematik kompakt Das Wichtigste aus Arithmetik Geometrie Algebra Zahlentheorie und Logik Springer 2017 ISBN 978 3 662 55351 0 Helmuth Gericke Mathematik in Antike und Orient Springer Berlin Heidelberg New York Tokyo 1984 ISBN 3 540 11647 8 Abschnitt 3 3 Mathematik in den Landern des Islam Dietmar Herrmann Mathematik im Mittelalter Die Geschichte der Mathematik des Abendlands mit ihren Quellen in China Indien und im Islam Springer Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50289 1 Kap 4 Mathematik des Islam bis 1400 Luke Hodgkin A History of Mathematics From Mesopotamia to Modernity Oxford University Press New York 2005 ISBN 0 19 852937 6 5 Islam neglect and discovery Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 Chapter 9 The Mathematics of Islam Fuat Sezgin Geschichte des arabischen Schrifttums Band V Mathematik Bis ca 430 H Brill Leiden 1974 ISBN 90 04 04153 2 Fuat Sezgin Wissenschaft und Technik im Islam I Institut fur Geschichte der Arabisch Islamischen Wissenschaften Frankfurt am Main 2003 ISBN 3 8298 0067 3 ibttm org PDF abgerufen am 27 Mai 2018 Hans Wussing 6000 Jahre Mathematik Eine kulturgeschichtliche Zeitreise 1 Von den Anfangen bis Leibniz und Newton Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 77189 0 Kap 5 Mathematik in den Landern des Islam PrimitkiHans Wussing 6000 Jahre Mathematik Eine kulturgeschichtliche Zeitreise 1 Von den Anfangen bis Leibniz und Newton Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 77189 0 S 222 Dietmar Herrmann Mathematik im Mittelalter Die Geschichte der Mathematik des Abendlands mit ihren Quellen in China Indien und im Islam Springer Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50289 1 S 139 Heinz Wilhelm Alten et al 4000 Jahre Algebra Geschichte Kulturen Menschen 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 38238 3 S 156 Hans Wussing 6000 Jahre Mathematik Eine kulturgeschichtliche Zeitreise 1 Von den Anfangen bis Leibniz und Newton Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 77189 0 S 223 Heinz Wilhelm Alten et al 4000 Jahre Algebra Geschichte Kulturen Menschen 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 38238 3 S 157 f Dietmar Herrmann Mathematik im Mittelalter Die Geschichte der Mathematik des Abendlands mit ihren Quellen in China Indien und im Islam Springer Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50289 1 S 143 Heinz Wilhelm Alten et al 4000 Jahre Algebra Geschichte Kulturen Menschen 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 38238 3 S 158 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 2 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 5 Dietmar Herrmann Die antike Mathematik Eine Geschichte der griechischen Mathematik ihrer Probleme und Losungen Springer Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 37611 5 S 406 f Fuat Sezgin Wissenschaft und Technik im Islam I Institut fur Geschichte der Arabisch Islamischen Wissenschaften Frankfurt am Main 2003 ISBN 3 8298 0067 3 S 9 Hans Wussing 6000 Jahre Mathematik Eine kulturgeschichtliche Zeitreise 1 Von den Anfangen bis Leibniz und Newton Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 77189 0 S 97 100 Franka Miriam Bruckler Geschichte der Mathematik kompakt Das Wichtigste aus Arithmetik Geometrie Algebra Zahlentheorie und Logik Springer 2017 ISBN 978 3 540 76687 2 S 16 Hans Wussing 6000 Jahre Mathematik Eine kulturgeschichtliche Zeitreise 1 Von den Anfangen bis Leibniz und Newton Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 77189 0 S 241 Fuat Sezgin Wissenschaft und Technik im Islam I Institut fur Geschichte der Arabisch Islamischen Wissenschaften Frankfurt am Main 2003 ISBN 3 8298 0067 3 S 13 Hans Wussing 6000 Jahre Mathematik Eine kulturgeschichtliche Zeitreise 1 Von den Anfangen bis Leibniz und Newton Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 77189 0 S 237 Menso Folkerts Die alteste lateinische Schrift uber das indische Rechnen nach al Ḫwarizmi Bayerische Akademie der Wissenschaften Munchen 1997 ISBN 978 3 7696 0108 4 Kurt Vogel Mohammed ibn Musa Alchwarizmi s Algorismus das fruheste Lehrbuch zum Rechnen mit indischen Ziffern Nach der einzigen lateinischen Handschrift Cambridge Un Lib Ms Ii 6 5 in Faksimile mit Transkription und Kommentar herausgegeben von Kurt Vogel O Zeller Aalen 1968 hathitrust org abgerufen am 30 Oktober 2019 John N Crossley Alan S Henry Thus Spake al Khwarizmi A Translation of the Text of Cambridge University Library Ms Ii vi 5 In Historia Mathematica Band 17 Nr 2 1990 S 103 131 doi 10 1016 0315 0860 90 90048 I Franka Miriam Bruckler Geschichte der Mathematik kompakt Das Wichtigste aus Arithmetik Geometrie Algebra Zahlentheorie und Logik Springer 2017 ISBN 978 3 540 76687 2 S 17 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 33 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 35 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 34 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 39 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 42 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 40 f Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 270 Bruckler Franka Miriam Geschichte der Mathematik kompakt Das Wichtigste aus Analysis Wahrscheinlichkeitstheorie angewandter Mathematik Topologie und Mengenlehre Springer Verlag 2017 ISBN 978 3 662 55573 6 S 94 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 112 f Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 271 Helmuth Gericke Mathematik in Antike und Orient Springer Berlin Heidelberg New York Tokyo 1984 ISBN 3 540 11647 8 S 214 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 111 f Fuat Sezgin Wissenschaft und Technik im Islam I Institut fur Geschichte der Arabisch Islamischen Wissenschaften Frankfurt am Main 2003 ISBN 3 8298 0067 3 S 13 14 Heinz Wilhelm Alten et al 4000 Jahre Algebra Geschichte Kulturen Menschen 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 38238 3 S 175 Heinz Wilhelm Alten et al 4000 Jahre Algebra Geschichte Kulturen Menschen 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 38238 3 S 150 176 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 137 f Dietmar Herrmann Mathematik im Mittelalter Die Geschichte der Mathematik des Abendlands mit ihren Quellen in China Indien und im Islam Springer Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50289 1 S 157 159 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 8 Louis Charles Kapinski Robert of Chester s Latin translation of the Algebra of al Khowarizmi Macmillan New York 1915 S 16 wilbourhall org PDF abgerufen am 30 Oktober 2019 Hans Wussing 6000 Jahre Mathematik Eine kulturgeschichtliche Zeitreise 1 Von den Anfangen bis Leibniz und Newton Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 77189 0 S 239 Dietmar Herrmann Mathematik im Mittelalter Die Geschichte der Mathematik des Abendlands mit ihren Quellen in China Indien und im Islam Springer Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50289 1 S 156 161 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 113 Heinz Wilhelm Alten et al 4000 Jahre Algebra Geschichte Kulturen Menschen 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 38238 3 S 176 Franka Miriam Bruckler Geschichte der Mathematik kompakt Das Wichtigste aus Arithmetik Geometrie Algebra Zahlentheorie und Logik Springer 2017 ISBN 978 3 540 76687 2 S 105 107 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 115 Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 273 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 114 Heinz Wilhelm Alten et al 4000 Jahre Algebra Geschichte Kulturen Menschen 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 38238 3 S 178 Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 273 f J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 115 119 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 119 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 120 f J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 121 123 Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 279 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 123 125 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 125 127 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 127 129 f Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 287 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 131 136 Hans Wussing 6000 Jahre Mathematik Eine kulturgeschichtliche Zeitreise 1 Von den Anfangen bis Leibniz und Newton Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 77189 0 S 248 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 136 137 Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 306 Hans Wussing 6000 Jahre Mathematik Eine kulturgeschichtliche Zeitreise 1 Von den Anfangen bis Leibniz und Newton Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 77189 0 S 95 Hans Wussing 6000 Jahre Mathematik Eine kulturgeschichtliche Zeitreise 1 Von den Anfangen bis Leibniz und Newton Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 77189 0 S 95 96 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 149 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 146 Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 307 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 147 149 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 149 153 Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 315 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 153 156 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 175 177 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 177 179 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 184 190 Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 311 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 195 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 195 f J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 203 207 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 78 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 78 f Christoph J Scriba Peter Schneider 5000 Jahre Geometrie Geschichte Kulturen Menschen 3 Auflage Springer Heidelberg u a 2010 ISBN 978 3 642 02361 3 S 164 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 85 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 93 97 J Lennart Berggren Mathematik im mittelalterlichen Islam Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 540 76687 2 S 97 104 Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 301 Christoph J Scriba Peter Schneider 5000 Jahre Geometrie Geschichte Kulturen Menschen 3 Auflage Springer Heidelberg u a 2010 ISBN 978 3 642 02361 3 S 173 f Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 301 303 Franka Miriam Bruckler Geschichte der Mathematik kompakt Das Wichtigste aus Arithmetik Geometrie Algebra Zahlentheorie und Logik Springer 2017 ISBN 978 3 540 76687 2 S 92 97 Bruckler Franka Miriam Geschichte der Mathematik kompakt Das Wichtigste aus Analysis Wahrscheinlichkeitstheorie angewandter Mathematik Topologie und Mengenlehre Springer Verlag 2017 ISBN 978 3 662 55573 6 S 68 Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 282 f Heinz Wilhelm Alten et al 4000 Jahre Algebra Geschichte Kulturen Menschen 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 38238 3 S 183 Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 285 287 J L Berggren Episodes in the Mathematics of Medieval Islam 2 Auflage Springer New York 2016 ISBN 978 1 4939 3778 3 S 140 143 Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 292 294 J L Berggren Episodes in the Mathematics of Medieval Islam 2 Auflage Springer New York 2016 ISBN 978 1 4939 3778 3 S 236 242 J L Berggren Episodes in the Mathematics of Medieval Islam 2 Auflage Springer New York 2016 ISBN 978 1 4939 3778 3 S 228 243 J L Berggren Episodes in the Mathematics of Medieval Islam 2 Auflage Springer New York 2016 ISBN 978 1 4939 3778 3 S 226 228 Franka Miriam Bruckler Geschichte der Mathematik kompakt Das Wichtigste aus Arithmetik Geometrie Algebra Zahlentheorie und Logik Springer 2017 ISBN 978 3 540 76687 2 S 144 Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 295 Muhammad Qasim Zaman Transmitters of authority and ideas across cultural boundaries eleventh to eighteenth century In Michael Cook Hrsg The new Cambridge history of Islam 3 Auflage Cambridge University Press Cambridge UK 2010 ISBN 978 0 521 51536 8 S 600 603 Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 325 Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 267 Hunt Janin The pursuit of learning in the Islamic world 610 2003 McFarland Jefferson NC u a 2007 ISBN 978 0 7864 2904 2 S 83 W Montgomery Watt The Faith and Practice of Al Ghazali George Allen and Unwin Ltd London http www ghazali org works watt3 htm ʻAbd Elṣamad ʻAbd Elḥamid Einfuhrung In Abu Ḥamid Muḥammad al Ghazali Elschazli Das Kriterium des Handelns Aus dem Arab ubers mit einer Einl mit Anm und Indices hrsg von ʻAbd Elṣamad ʻAbd Elḥamid Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 2006 ISBN 3 534 19039 4 S 59 Wolfgang Hein Die Mathematik im Mittelalter Von Abakus bis Zahlenspiel WBG Darmstadt 2010 ISBN 978 3 534 23121 8 S 136 f Victor J Katz A History of Mathematics An Introduction 3 Auflage Addison Wesley Pearson Boston u a 2009 ISBN 978 0 321 38700 4 S 317 Wolfgang Hein Die Mathematik im Mittelalter Von Abakus bis Zahlenspiel WBG Darmstadt 2010 ISBN 978 3 534 23121 8 S 137 Hans Wussing 6000 Jahre Mathematik Eine kulturgeschichtliche Zeitreise 1 Von den Anfangen bis Leibniz und Newton Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 77189 0 S 277 Wolfgang Hein Die Mathematik im Mittelalter Von Abakus bis Zahlenspiel WBG Darmstadt 2010 ISBN 978 3 534 23121 8 S 143 Luke Hodgkin A History of Mathematics From Mesopotamia to Modernity Oxford University Press New York ISBN 978 0 19 852937 8 S 102 Jean Etienne Montucla Histoire des mathematiques 1 Paris S 359 f http gallica bnf fr ark 12148 bpt6k1076512 Fuat Sezgin Wissenschaft und Technik im Islam I Institut fur Geschichte der Arabisch Islamischen Wissenschaften Frankfurt am Main ISBN 3 8298 0067 3 S 2