Равлик Паскаля

Равлик Паскаля ― пласка алгебрична крива 4-го порядку; подера кола, конхоїда кола відносно точки на колі, частковий випадок декартового овалу, вона також є епітрохоїдою. Названа за ім'ям Етьєна Паскаля (батька Блеза Паскаля), який вперше розглянув її.

Три равлики Паскаля, конхоїди чорного кола: зелена ${\displaystyle a>\ell }$, червона (кардіоїда) ${\displaystyle a=\ell }$ і синя ${\displaystyle a<\ell }$

Анімація подери кола

Рівняння

Рівняння в прямокутних координатах:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-ay)^{2}=\ell ^{2}(x^{2}+y^{2})}$

в полярних координатах:

${\displaystyle \rho =\ell -a\sin \phi .}$

Тут a — діаметр вихідного кола, а l — відстань, на яку зміщається точка вздовж радіус-вектора (див. конхоїда).

Параметричні рівняння

Звичайне:

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos ^{2}\phi +\ell \cos \phi ;\\y=a\sin \phi \cos \phi +\ell \cos \phi ;\end{cases}}}$

Раціональне ${\displaystyle (u=\tan {\frac {\phi }{2}})}$:

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {1-u^{2}}{(1+u^{2})^{2}}}((\ell +a)+u^{2}(\ell -a));\\y={\frac {2u}{(1+u^{2})^{2}}}((\ell +a)+u^{2}(\ell -a));\end{cases}}}$

Властивості

• Початок координат є
  • вузловою точкою при ${\displaystyle a>\ell }$.
  • точкою повернення при ${\displaystyle a=\ell }$ (у цьому випадку равлик Паскаля називається кардіоїдою).
  • подвійною точкою, ізольованою при ${\displaystyle a<\ell }$.
• Довжина дуги виражається (еліптичним інтегралом 2-го роду).
• Площа, обмежена равликом Паскаля:
  ${\displaystyle S={\frac {\pi a^{2}}{2}}+\pi \ell ^{2}}$;
  при ${\displaystyle a>\ell }$ площа внутрішньої петлі при обчисленні за цією формулою враховується двічі.
• У разі ${\displaystyle \ell =2a}$, равлик Паскаля також називається трисектрисою. Таку назву він отримав через те, що, якщо на площині задано трисектрису, то трисекцію кута можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки.

Посилання

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Howard Anton. [1] [ 3 березня 2016 у Wayback Machine.] pp. 725 — 726.
• Weisstein, Eric W. «Limaçon.» з сайту MathWorld--A Wolfram Web Resource. [ 25 лютого 2021 у Wayback Machine.]
• «Limacon of Pascal» at The MacTutor History of Mathematics archive [ 2 листопада 2019 у Wayback Machine.]
• «Равлик» на www.2dcurves.com [ 30 листопада 2020 у Wayback Machine.]
• «Limacon of Pascal» at Visual Dictionary of Special Plane Curves [ 2 квітня 2012 у Wayback Machine.]