У абстрактній алгебрі, глобальною розмірністю і слабкою глобальною розмірністю кільця R називаються означення розмірності, що загалом відрізняються від його розмірності Круля і визначаються з проективних, ін'єктивних чи плоских резольвент модулів над R. Розмірність Круля (відповідно глобальна, слабка) кільця R певною мірою вказує наскільки кільце відрізняється від кілець Артіна (відповідно напівпростих кілець, кілець регулярних за фон Нейманом). Ці розмірності є рівними нулю якщо і тільки якщо R є кільцем Артіна (напівпростим кільцем, кільцем регулярним за фон Нейманом). Ці три розмірності збігаються, якщо R є регулярним, зокрема якщо його гомологічна розмірність є скінченною
Резольвенти
- Нехай
— модуль над кільцем R. Точна послідовність
називається лівою резольвентою модуля
. Якщо для кожного
, модуль
є проективним (відповідно, плоским, вільним), то ця резольвента називається проективною (відповідно плоскою, вільною). Якщо
і
для всіх
, ця резольвента називається резольвентою довжини
. Якщо такого цілого числа
немає, резольвента має нескінченну довжину.
- Точна послідовність
називається правою резольвентою модуля
. Якщо для всіх
, модуль
є ін'єктивним, ця резольвента називається ін'єктивною. Довжина ін'єктивної резольвенти визначається подібно до проективної.
- Для всіх R-модулів
існують вільні, а отже, проективні і плоскі резольвенти. Також для всіх R-модулів
існують ін'єктивні резольвенти .
Розмірність модуля
Позначимо і вважатимемо, що для всіх
,
,
і
.
Нехай — лівий модуль над R. Його проективною (ін'єктивною, плоскою) розмірністю, що позначається
(відповідно
називається точна нижня грань в
довжин проективних (відповідно, ін'єктивних, плоских) резольвент для
. Приймається також
.
Можна дати еквівалентні означення (зокрема за допомогою функтора Ext):
- Лівий R-модуль
має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого
для деякого лівого R-модуля
- Лівий R-модуль
має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого
для деякого циклічного лівого R-модуля
- Лівий R-модуль
має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого
для деякого скінченнопородженого лівого R-модуля
є точним справа функтором від другого аргумента.
- Якщо
послідовність модулів і гомоморфізмів
- є точною послідовністю і всі модулі
є проективними, то і модуль
є проективним.
Для комутативних нетерових кілець проективна розмірність скінченномородженого модуля є локальною характеристикою, а саме виконується рівність:
де позначає множину максимальних ідеалів, а
— локалізацію кільця і модуля за ідеалом
За допомогою двоїстості такі ж означення можна дати і для ін'єктивної розмірності.
Розмірність кільця
Глобальна розмірність
Нехай позначає категорію лівих R-модулів. Тоді дві такі величини є рівними :
Їх спільне значення називається глобальною лівою розмірністю кільця R і позначається як . Ця величина є верхньою межею в
величин
, для яких є два ліві R-модулі
і
для яких
(див. статтю Функтор Ext)
Так само можна визначити глобальну праву розмірність кільця R, яка позначається .
Справедливими також є рівності:
де I є усіма лівими ідеалами кільця R.
де I є усіма правими ідеалами кільця R.
Коли =
(зокрема у випадку коли кільце R є комутативним), їхня спільна величина називається глобальною розмірністю кільця R і позначається
.
Поняття глобальної розмірності поширюється на випадок будь-якої абелевої категорії так, що якщо
(відповідно,
), ця розмірність
є рівною
(відповідно
), визначеними вище
Слабка розмірність
Дві такі величини є рівними :
Їх спільне значення називається слабкою глобальною розмірністю кільця R і позначається . Ця величина є верхньою межею в
чисел
, для яких існує правий R-модуль
і лівий R-модуль
, для яких
(див. статтю Функтор Tor).
Властивості і приклади.
- Модуль
раціональних чисел над кільцем
цілих чисел має плоску розмірність 0 і проективну розмірність 1.
- The module
над кільцем
має слабку розмірність 1 і ін'єктивну розмірність 0.
- Модуль
над кільцем
має слабку розмірність 0 і ін'єктивну розмірність 1.
- Нехай
є точною послідовністю лівих модулів над R і
Тоді:
- Зокрема якщо
- Для того щоб модуль
був проективним (ін'єктивним, плоским) необхідно і достатньо, щоб
(відповідно
).
- Нехай
— гомоморфізм кілець. Тоді будь-який лівий S-модуль M можна розглядати як лівий R-модуль. При цьому:
- Добуток нескінченної кількості полів має слабку розмірність 0 але ненульову глобальну розмірність.
Якщо R є лівим нетеровим кільцем, то виконується рівність.
- Якщо R є нетеровим, то
.
- Кільце матриць виду
має праву глобальну розмірність рівну 1, ліву глобальну розмірність рівну 2 і слабку розмірність рівну 1. Дане кільце є нетеровим справа але не зліва.
- Нехай
є комутативним кільцем; тоді
(теорема Гілберта про сизигії)). Отже, якщо
є полем (або, у більш загальному випадку, напівпростим комутативним кільцем),
.
- Нехай R — кільце головних ідеалів, що не є полем. Тоді
- Нехай R — комутативне кільце,
— мультиплікативна множина, яка не містить дільників нуля і
— локалізація
. Тоді
і
.
- Область цілісності R є кільцем Прюфера, якщо і тільки якщо
.
Регулярні кільця
- Кільце R називається лівим регулярним , якщо для кожного лівого скінченнопородженого R-модуля існує скінченна проективна резольвента. Подібним чином можна дати означення правого регулярного кільця. Кільце називається регулярним якщо воно є регулярним справа і зліва. · Для комутативних нетерових кілець це означення є еквівалентним стандартним.
- Якщо
, то R є очевидно лівим регулярним але Нагата дав у 1962 році приклад комутативного нетерового регулярного кільця з нескінченною глобальної розмірністю (і, відповідно, нескінченною розмірністю Круля) .
- Якщо R є регулярним комутативним кільцем, то всі локалізації
R є регулярними.
- Якщо R є лівим регулярним нетеровим кільцем, то таким є і кільце
(теорема Свана).
Примітки
- McConnell та Robson, 2001, 7.1.9; Lam, 1999, (5.94), (5.95).
- Rotman, 2009, Prop. 6.2 і 6.4
- McConnell та Robson, 2001, 7.1.8.
- McConnell та Robson, 2001, 7.1.11
- Mitchell, 1965.
- McConnell та Robson, 2001, §7.1.
- Bourbaki, 2007, §8, Thm. 1.
- McConnell та Robson, 2001, §7.4
- Rotman, 2009, Example 8.20.
- McConnell та Robson, 2001, 7.7.1.
- Lam, 1999, с. 201
- Lam, 1999, (5.94) ; Nagata, 1962, Appendix.
- McConnell та Robson, 2001, 7.7.3, 7.7.5.
Див. також
Література
- Bourbaki, N. (2007), Algèbre, Chapitre 10: Algèbre homologique, Éléments de mathématique, Springer, с. 216, ISBN
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1653294
- Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 8, Cambridge University Press, ISBN .
- McConnell, J. C.; Robson, J. C.; Small, Lance W. (2001), Revised (ред.), Noncommutative Noetherian Rings, Graduate Studies in Mathematics, т. 30, American Mathematical Society, ISBN .
- Mitchell, Barry (1965), Theory of Categories, Boston, MA: Academic Press
- Nagata, Masayoshi (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, т. 13, New York-London: Interscience Publishers a division of John Wiley & Sons, ISBN , MR 0155856
- Năstăsescu, Constantin; Van Oystaeyen, Freddy (1987), Dimensions of ring theory, Mathematics and its Applications, т. 36, D. Reidel Publishing Co., doi:10.1007/978-94-009-3835-9, ISBN , MR 0894033
- Rotman, Joseph J. (1979), An introduction to homological algebra, Pure and Applied Mathematics, т. 85, Boston, MA: Academic Press, ISBN , MR 0538169
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U abstraktnij algebri globalnoyu rozmirnistyu i slabkoyu globalnoyu rozmirnistyu kilcya R nazivayutsya oznachennya rozmirnosti sho zagalom vidriznyayutsya vid jogo rozmirnosti Krulya i viznachayutsya z proektivnih in yektivnih chi ploskih rezolvent moduliv nad R Rozmirnist Krulya vidpovidno globalna slabka kilcya R pevnoyu miroyu vkazuye naskilki kilce vidriznyayetsya vid kilec Artina vidpovidno napivprostih kilec kilec regulyarnih za fon Nejmanom Ci rozmirnosti ye rivnimi nulyu yaksho i tilki yaksho R ye kilcem Artina napivprostim kilcem kilcem regulyarnim za fon Nejmanom Ci tri rozmirnosti zbigayutsya yaksho R ye regulyarnim zokrema yaksho jogo gomologichna rozmirnist ye skinchennoyuRezolventiNehaj M displaystyle M modul nad kilcem R Tochna poslidovnist E n E 0 M 0 displaystyle longrightarrow longrightarrow E n longrightarrow longrightarrow E 0 longrightarrow M longrightarrow 0 nazivayetsya livoyu rezolventoyu modulya M displaystyle M Yaksho dlya kozhnogo i displaystyle i modul E i displaystyle E i ye proektivnim vidpovidno ploskim vilnim to cya rezolventa nazivayetsya proektivnoyu vidpovidno ploskoyu vilnoyu Yaksho E n 0 displaystyle E n neq 0 i E i 0 displaystyle E i 0 dlya vsih i gt n displaystyle i gt n cya rezolventa nazivayetsya rezolventoyu dovzhini n displaystyle n Yaksho takogo cilogo chisla n displaystyle n nemaye rezolventa maye neskinchennu dovzhinu Tochna poslidovnist E n E 0 M 0 displaystyle longleftarrow longleftarrow E n longleftarrow longleftarrow E 0 longleftarrow M longleftarrow 0 nazivayetsya pravoyu rezolventoyu modulya M displaystyle M Yaksho dlya vsih i displaystyle i modul E i displaystyle E i ye in yektivnim cya rezolventa nazivayetsya in yektivnoyu Dovzhina in yektivnoyi rezolventi viznachayetsya podibno do proektivnoyi Dlya vsih R moduliv M displaystyle M isnuyut vilni a otzhe proektivni i ploski rezolventi Takozh dlya vsih R moduliv M displaystyle M isnuyut in yektivni rezolventi Rozmirnist modulyaPoznachimo Z Z displaystyle overline mathbb Z mathbb Z cup left infty infty right i vvazhatimemo sho dlya vsih n Z displaystyle n in mathbb Z lt n lt displaystyle infty lt n lt infty n displaystyle infty n infty i n displaystyle infty n infty Nehaj M displaystyle M livij modul nad R Jogo proektivnoyu in yektivnoyu ploskoyu rozmirnistyu sho poznachayetsya p d R M displaystyle pd R left M right vidpovidno i d R M f d R M displaystyle id R left M right fd R left M right nazivayetsya tochna nizhnya gran v Z displaystyle overline mathbb Z dovzhin proektivnih vidpovidno in yektivnih ploskih rezolvent dlya M displaystyle M Prijmayetsya takozh p d R 0 i d R 0 d f R 0 displaystyle pd R left 0 right id R left 0 right df R left 0 right infty Mozhna dati ekvivalentni oznachennya zokrema za dopomogoyu funktora Ext Livij R modul M displaystyle M maye proektivnu rozmirnist n todi i tilki todi koli n ye maksimalnim chislom dlya yakogo E x t R n M N 0 displaystyle Ext R n left M N right neq 0 dlya deyakogo livogo R modulya N displaystyle N Livij R modul M displaystyle M maye proektivnu rozmirnist n todi i tilki todi koli n ye maksimalnim chislom dlya yakogo E x t R n M N 0 displaystyle Ext R n left M N right neq 0 dlya deyakogo ciklichnogo livogo R modulya N displaystyle N Livij R modul M displaystyle M maye proektivnu rozmirnist n todi i tilki todi koli n ye maksimalnim chislom dlya yakogo E x t R n M N 0 displaystyle Ext R n left M N right neq 0 dlya deyakogo skinchennoporodzhenogo livogo R modulya N displaystyle N E x t R n M N displaystyle Ext R n left M N right ye tochnim sprava funktorom vid drugogo argumenta Yaksho m n displaystyle m geqslant n poslidovnist moduliv i gomomorfizmiv 0 X m X m 1 X 0 M 0 displaystyle 0 rightarrow X m rightarrow X m 1 rightarrow ldots rightarrow X 0 rightarrow M rightarrow 0 dd ye tochnoyu poslidovnistyu i vsi moduli X i 0 i lt m displaystyle X i 0 leq i lt m ye proektivnimi to i modul X n displaystyle X n ye proektivnim Dlya komutativnih neterovih kilec proektivna rozmirnist skinchennomorodzhenogo modulya ye lokalnoyu harakteristikoyu a same vikonuyetsya rivnist p d R M sup m mspec R p d R m M m displaystyle pd R left M right sup mathfrak m in operatorname mspec R pd R mathfrak m left M mathfrak m right dd de mspec R displaystyle operatorname mspec R poznachaye mnozhinu maksimalnih idealiv a R m M m displaystyle R mathfrak m M mathfrak m lokalizaciyu kilcya i modulya za idealom Za dopomogoyu dvoyistosti taki zh oznachennya mozhna dati i dlya in yektivnoyi rozmirnosti Rozmirnist kilcyaGlobalna rozmirnist Nehaj R M o d displaystyle R Mod poznachaye kategoriyu livih R moduliv Todi dvi taki velichini ye rivnimi sup p d R M M R M o d displaystyle sup left pd R left M right M in R Mod right sup i d R M M R M o d displaystyle sup left id R left M right M in R Mod right Yih spilne znachennya nazivayetsya globalnoyu livoyu rozmirnistyu kilcya R i poznachayetsya yak l g d R displaystyle lgd R Cya velichina ye verhnoyu mezheyu v Z displaystyle overline mathbb Z velichin n displaystyle n dlya yakih ye dva livi R moduli M displaystyle M i N displaystyle N dlya yakih E x t R n M N 0 displaystyle Ext R n left M N right neq 0 div stattyu Funktor Ext Tak samo mozhna viznachiti globalnu pravu rozmirnist kilcya R yaka poznachayetsya r g d R displaystyle rgd R Spravedlivimi takozh ye rivnosti l g d R sup I p d R R I displaystyle lgd R sup I pd R R I de I ye usima livimi idealami kilcya R r g d R sup I p d R R I displaystyle rgd R sup I pd R R I de I ye usima pravimi idealami kilcya R Koli l g d R displaystyle lgd R r g d R displaystyle rgd R zokrema u vipadku koli kilce R ye komutativnim yihnya spilna velichina nazivayetsya globalnoyu rozmirnistyu kilcya R i poznachayetsya g d R displaystyle gd R Ponyattya globalnoyi rozmirnosti poshiryuyetsya na vipadok bud yakoyi abelevoyi kategoriyi C displaystyle mathfrak C tak sho yaksho C R M o d displaystyle mathfrak C R Mod vidpovidno C M o d R displaystyle mathfrak C Mod R cya rozmirnist g d C displaystyle gd left mathfrak C right ye rivnoyu l g d R displaystyle lgd R vidpovidno r g d R displaystyle rgd R viznachenimi vishe Slabka rozmirnist Dvi taki velichini ye rivnimi sup f d R M M R M o d displaystyle sup left fd R left M right M in R Mod right sup f d R M M M o d R displaystyle sup left fd R left M right M in Mod R right Yih spilne znachennya nazivayetsya slabkoyu globalnoyu rozmirnistyu kilcya R i poznachayetsya w g l d R displaystyle wgld R Cya velichina ye verhnoyu mezheyu v Z displaystyle overline mathbb Z chisel n displaystyle n dlya yakih isnuye pravij R modul M displaystyle M i livij R modul N displaystyle N dlya yakih T o r n R M N 0 displaystyle Tor n R left M N right neq 0 div stattyu Funktor Tor Vlastivosti i prikladi Modul Q displaystyle mathbb Q racionalnih chisel nad kilcem Z displaystyle mathbb Z cilih chisel maye plosku rozmirnist 0 i proektivnu rozmirnist 1 The module Q Z displaystyle mathbb Q mathbb Z nad kilcem Z displaystyle mathbb Z maye slabku rozmirnist 1 i in yektivnu rozmirnist 0 Modul Z displaystyle mathbb Z nad kilcem Z displaystyle mathbb Z maye slabku rozmirnist 0 i in yektivnu rozmirnist 1 Nehaj 0 M M M 0 displaystyle 0 rightarrow M rightarrow M rightarrow M rightarrow 0 ye tochnoyu poslidovnistyu livih moduliv nad R i d p d R M d p d R M d p d R M displaystyle d pd R left M right d pd R left M right d pd R left M right Todi d max d d 1 d max d d 1 d max d d displaystyle d leq max d d 1 d leq max d d 1 d leq max d d dd Zokrema yaksho d lt max d d displaystyle d lt max d d d d 1 displaystyle d d 1 Dlya togo shob modul M displaystyle M buv proektivnim in yektivnim ploskim neobhidno i dostatno shob p d R M 0 displaystyle pd R left M right leq 0 vidpovidno i d R M 0 f d R M 0 displaystyle id R left M right leq 0 fd R left M right leq 0 Nehaj R S displaystyle R to S gomomorfizm kilec Todi bud yakij livij S modul M mozhna rozglyadati yak livij R modul Pri comu p d R M p d S M p d R S displaystyle pd R left M right leq pd S left M right pd R left S right f d R M f d S M f d R R S displaystyle fd R left M right leq fd S left M right fd R left R S right i d R M i d S M i d R S R displaystyle id R left M right leq id S left M right id R left S R right dd Dobutok neskinchennoyi kilkosti poliv maye slabku rozmirnist 0 ale nenulovu globalnu rozmirnist w g l d R l g d R displaystyle wgld left R right leq lgd left R right Yaksho R ye livim neterovim kilcem to vikonuyetsya rivnist Yaksho R ye neterovim to w g l d R l g d R r g d R g d R displaystyle wgld R lgd R rgd R gd R Kilce matric vidu Z Q 0 Q displaystyle begin bmatrix mathbb Z amp mathbb Q 0 amp mathbb Q end bmatrix maye pravu globalnu rozmirnist rivnu 1 livu globalnu rozmirnist rivnu 2 i slabku rozmirnist rivnu 1 Dane kilce ye neterovim sprava ale ne zliva Nehaj A displaystyle A ye komutativnim kilcem todi g d A X g d A 1 displaystyle gd A left X right gd A 1 teorema Gilberta pro sizigiyi Otzhe yaksho K displaystyle K ye polem abo u bilsh zagalnomu vipadku napivprostim komutativnim kilcem g d K X 1 X n n displaystyle gd K left X 1 X n right n Nehaj R kilce golovnih idealiv sho ne ye polem Todi g d R 1 displaystyle gd left R right 1 Nehaj R komutativne kilce S R displaystyle S subset R multiplikativna mnozhina yaka ne mistit dilnikiv nulya i T displaystyle T lokalizaciya S 1 R displaystyle S 1 R Todi g d T g d R displaystyle gd T leq gd R i w g l d T w g l d R displaystyle wgld T leq wgld R Oblast cilisnosti R ye kilcem Pryufera yaksho i tilki yaksho w g l d R 1 displaystyle wgld R leq 1 Regulyarni kilcyaKilce R nazivayetsya livim regulyarnim yaksho dlya kozhnogo livogo skinchennoporodzhenogo R modulya isnuye skinchenna proektivna rezolventa Podibnim chinom mozhna dati oznachennya pravogo regulyarnogo kilcya Kilce nazivayetsya regulyarnim yaksho vono ye regulyarnim sprava i zliva Dlya komutativnih neterovih kilec ce oznachennya ye ekvivalentnim standartnim Yaksho l g d R lt displaystyle lgd R lt infty to R ye ochevidno livim regulyarnim ale Nagata dav u 1962 roci priklad komutativnogo neterovogo regulyarnogo kilcya z neskinchennoyu globalnoyi rozmirnistyu i vidpovidno neskinchennoyu rozmirnistyu Krulya Yaksho R ye regulyarnim komutativnim kilcem to vsi lokalizaciyi T S 1 R displaystyle T S 1 R R ye regulyarnimi Yaksho R ye livim regulyarnim neterovim kilcem to takim ye i kilce R X 1 X n displaystyle R left X 1 X n right teorema Svana PrimitkiMcConnell ta Robson 2001 7 1 9 Lam 1999 5 94 5 95 Rotman 2009 Prop 6 2 i 6 4 McConnell ta Robson 2001 7 1 8 McConnell ta Robson 2001 7 1 11 Mitchell 1965 McConnell ta Robson 2001 7 1 Bourbaki 2007 8 Thm 1 McConnell ta Robson 2001 7 4 Rotman 2009 Example 8 20 McConnell ta Robson 2001 7 7 1 Lam 1999 s 201 Lam 1999 5 94 Nagata 1962 Appendix McConnell ta Robson 2001 7 7 3 7 7 5 Div takozhIn yektivnij modul Ploskij modul Proektivnij modul Regulyarne lokalne kilce Rezolventa gomologichna algebra Rozmirnist Krulya Funktor TorLiteraturaBourbaki N 2007 Algebre Chapitre 10 Algebre homologique Elements de mathematique Springer s 216 ISBN 3540344926 Lam Tsit Yuen 1999 Lectures on modules and rings Graduate Texts in Mathematics No 189 Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 387 98428 5 MR 1653294 Matsumura Hideyuki 1989 Commutative Ring Theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics t 8 Cambridge University Press ISBN 0 521 36764 6 McConnell J C Robson J C Small Lance W 2001 Revised red Noncommutative Noetherian Rings Graduate Studies in Mathematics t 30 American Mathematical Society ISBN 0 8218 2169 5 Mitchell Barry 1965 Theory of Categories Boston MA Academic Press Nagata Masayoshi 1962 Local rings Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics t 13 New York London Interscience Publishers a division of John Wiley amp Sons ISBN 0 88275 228 6 MR 0155856 Năstăsescu Constantin Van Oystaeyen Freddy 1987 Dimensions of ring theory Mathematics and its Applications t 36 D Reidel Publishing Co doi 10 1007 978 94 009 3835 9 ISBN 9789027724618 MR 0894033 Rotman Joseph J 1979 An introduction to homological algebra Pure and Applied Mathematics t 85 Boston MA Academic Press ISBN 978 0 12 599250 3 MR 0538169