Ін'єктивна розмірність

У абстрактній алгебрі, глобальною розмірністю і слабкою глобальною розмірністю кільця R називаються означення розмірності, що загалом відрізняються від його розмірності Круля і визначаються з проективних, ін'єктивних чи плоских резольвент модулів над R. Розмірність Круля (відповідно глобальна, слабка) кільця R певною мірою вказує наскільки кільце відрізняється від кілець Артіна (відповідно напівпростих кілець, кілець регулярних за фон Нейманом). Ці розмірності є рівними нулю якщо і тільки якщо R є кільцем Артіна (напівпростим кільцем, кільцем регулярним за фон Нейманом). Ці три розмірності збігаються, якщо R є регулярним, зокрема якщо його гомологічна розмірність є скінченною

Резольвенти

• Нехай ${\displaystyle M}$— модуль над кільцем R. Точна послідовність ${\displaystyle \longrightarrow ...\longrightarrow E_{n}\longrightarrow ...\longrightarrow E_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}$ називається лівою резольвентою модуля ${\displaystyle M}$. Якщо для кожного ${\displaystyle i}$, модуль ${\displaystyle E_{i}}$ є проективним (відповідно, плоским, вільним), то ця резольвента називається проективною (відповідно плоскою, вільною). Якщо ${\displaystyle E_{n}\neq 0}$ і ${\displaystyle E_{i}=0}$ для всіх ${\displaystyle i>n}$, ця резольвента називається резольвентою довжини ${\displaystyle n}$. Якщо такого цілого числа ${\displaystyle n}$ немає, резольвента має нескінченну довжину.
• Точна послідовність ${\displaystyle \longleftarrow ...\longleftarrow E^{n}\longleftarrow ...\longleftarrow E^{0}\longleftarrow M\longleftarrow 0}$ називається правою резольвентою модуля ${\displaystyle M}$. Якщо для всіх ${\displaystyle i}$, модуль ${\displaystyle E^{i}}$ є ін'єктивним, ця резольвента називається ін'єктивною. Довжина ін'єктивної резольвенти визначається подібно до проективної.
• Для всіх R-модулів ${\displaystyle M}$ існують вільні, а отже, проективні і плоскі резольвенти. Також для всіх R-модулів ${\displaystyle M}$ існують ін'єктивні резольвенти .

Розмірність модуля

Позначимо ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} }}=\mathbb {Z} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$ і вважатимемо, що для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle -\infty <n<+\infty }$, ${\displaystyle -\infty +n=-\infty }$ і ${\displaystyle +\infty +n=+\infty }$.

Нехай ${\displaystyle M}$ — лівий модуль над R. Його проективною (ін'єктивною, плоскою) розмірністю, що позначається ${\displaystyle pd_{R}\left(M\right)}$ (відповідно ${\displaystyle id_{R}\left(M\right),fd_{R}\left(M\right)}$ називається точна нижня грань в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} }}}$ довжин проективних (відповідно, ін'єктивних, плоских) резольвент для ${\displaystyle M}$. Приймається також ${\displaystyle pd_{R}\left(0\right)=id_{R}\left(0\right)=df_{R}\left(0\right)=-\infty }$.

Можна дати еквівалентні означення (зокрема за допомогою функтора Ext):

• Лівий R-модуль ${\displaystyle M}$має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого ${\displaystyle Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)\neq 0}$ для деякого лівого R-модуля ${\displaystyle N;}$

• Лівий R-модуль ${\displaystyle M}$має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого ${\displaystyle Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)\neq 0}$ для деякого циклічного лівого R-модуля ${\displaystyle N;}$

• Лівий R-модуль ${\displaystyle M}$має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого ${\displaystyle Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)\neq 0}$ для деякого скінченнопородженого лівого R-модуля ${\displaystyle N;}$

• ${\displaystyle Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)}$ є точним справа функтором від другого аргумента.

• Якщо ${\displaystyle m\geqslant n,}$послідовність модулів і гомоморфізмів

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;X_{m}\;\rightarrow \;X_{m-1}\;\rightarrow \;\ldots \;\rightarrow \;X_{0}\;\rightarrow M\;\rightarrow \;0}$

є точною послідовністю і всі модулі ${\displaystyle X_{i},\;0\leq i<m}$ є проективними, то і модуль ${\displaystyle X_{n}}$ є проективним.

Для комутативних нетерових кілець проективна розмірність скінченномородженого модуля є локальною характеристикою, а саме виконується рівність:

${\displaystyle pd_{R}\left(M\right)=\sup _{{\mathfrak {m}}\ \in \ \operatorname {mspec} (R)}pd_{R_{\mathfrak {m}}}\left(M_{\mathfrak {m}}\right),}$

де ${\displaystyle \operatorname {mspec} (R)}$позначає множину максимальних ідеалів, а ${\displaystyle R_{\mathfrak {m}},M_{\mathfrak {m}}}$— локалізацію кільця і модуля за ідеалом

За допомогою двоїстості такі ж означення можна дати і для ін'єктивної розмірності.

Розмірність кільця

Глобальна розмірність

Нехай ${\displaystyle _{R}Mod}$ позначає категорію лівих R-модулів. Тоді дві такі величини є рівними :

1. ${\displaystyle \sup \left\{pd_{R}\left(M\right):M\in {}_{R}Mod\right\}}$
2. ${\displaystyle \sup \left\{id_{R}\left(M\right):M\in {}_{R}Mod\right\}}$

Їх спільне значення називається глобальною лівою розмірністю кільця R і позначається як ${\displaystyle lgd(R)}$. Ця величина є верхньою межею в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} }}}$ величин ${\displaystyle n}$, для яких є два ліві R-модулі ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle N}$ для яких ${\displaystyle Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)\neq 0}$ (див. статтю Функтор Ext)

Так само можна визначити глобальну праву розмірність кільця R, яка позначається ${\displaystyle rgd(R)}$.

Справедливими також є рівності:

• ${\displaystyle lgd(R)=\sup _{I}\ pd_{R}R/I,}$де I є усіма лівими ідеалами кільця R.

• ${\displaystyle rgd(R)=\sup _{I}\ pd_{R}R/I,}$де I є усіма правими ідеалами кільця R.

Коли ${\displaystyle lgd(R)}$ = ${\displaystyle rgd(R)}$ (зокрема у випадку коли кільце R є комутативним), їхня спільна величина називається глобальною розмірністю кільця R і позначається ${\displaystyle gd(R)}$ .

Поняття глобальної розмірності поширюється на випадок будь-якої абелевої категорії ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ так, що якщо ${\displaystyle {\mathfrak {C=}}_{R}Mod}$ (відповідно, ${\displaystyle {\mathfrak {C=}}Mod_{R}}$), ця розмірність ${\displaystyle gd\left({\mathfrak {C}}\right)}$ є рівною ${\displaystyle lgd(R)}$ (відповідно ${\displaystyle rgd(R)}$), визначеними вище

Слабка розмірність

Дві такі величини є рівними  :

1. ${\displaystyle \sup \left\{fd_{R}\left(M\right):M\in {}_{R}Mod\right\},}$
2. ${\displaystyle \sup \left\{fd_{R}\left(M\right):M\in Mod_{R}\right\}.}$

Їх спільне значення називається слабкою глобальною розмірністю кільця R і позначається ${\displaystyle wgld(R)}$. Ця величина є верхньою межею в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} }}}$ чисел ${\displaystyle n}$, для яких існує правий R-модуль ${\displaystyle M}$ і лівий R-модуль ${\displaystyle N}$, для яких ${\displaystyle Tor_{n}^{R}\left(M,N\right)\neq 0}$ (див. статтю Функтор Tor).

Властивості і приклади.

• Модуль ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ раціональних чисел над кільцем ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ цілих чисел має плоску розмірність 0 і проективну розмірність 1.

• The module ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ над кільцем ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ має слабку розмірність 1 і ін'єктивну розмірність 0.

• Модуль ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ над кільцем ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ має слабку розмірність 0 і ін'єктивну розмірність 1.

• Нехай ${\displaystyle 0\;\rightarrow \;M'\;\rightarrow \;M\;\rightarrow \;M''\;\rightarrow \;0}$ є точною послідовністю лівих модулів над R і ${\displaystyle d=pd_{R}\left(M\right),\;d'=pd_{R}\left(M'\right),\;d''=pd_{R}\left(M''\right).}$ Тоді:

${\displaystyle d'\leq \max(d,d''-1),\;d''\leq \max(d,d'+1),\;d\leq \max(d',d'').}$

Зокрема якщо ${\displaystyle d<\max(d',d''),}$ ${\displaystyle d''=d'+1.}$

• Для того щоб модуль ${\displaystyle M}$ був проективним (ін'єктивним, плоским) необхідно і достатньо, щоб ${\displaystyle pd_{R}\left(M\right)\leq 0}$ (відповідно ${\displaystyle id_{R}\left(M\right)\leq 0,fd_{R}\left(M\right)\leq 0}$).

• Нехай ${\displaystyle R\to S}$ — гомоморфізм кілець. Тоді будь-який лівий S-модуль M можна розглядати як лівий R-модуль. При цьому:

${\displaystyle pd_{R}\left(M\right)\leq pd_{S}\left(M\right)+pd_{R}\left(S\right);}$

${\displaystyle fd_{R}\left(M\right)\leq fd_{S}\left(M\right)+fd_{R}\left({}_{R}S\right);}$

${\displaystyle id_{R}\left(M\right)\leq id_{S}\left(M\right)+id_{R}\left(S_{R}\right).}$

• Добуток нескінченної кількості полів має слабку розмірність 0 але ненульову глобальну розмірність.

• ${\displaystyle wgld\left(R\right)\leq lgd\left(R\right).}$ Якщо R є лівим нетеровим кільцем, то виконується рівність.
• Якщо R є нетеровим, то ${\displaystyle wgld(R)=lgd(R)=rgd(R)=gd(R)}$.
• Кільце матриць виду ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}}$має праву глобальну розмірність рівну 1, ліву глобальну розмірність рівну 2 і слабку розмірність рівну 1. Дане кільце є нетеровим справа але не зліва.
• Нехай ${\displaystyle A}$ є комутативним кільцем; тоді ${\displaystyle gd(A\left[X\right])=gd(A)+1}$ (теорема Гілберта про сизигії)). Отже, якщо ${\displaystyle K}$ є полем (або, у більш загальному випадку, напівпростим комутативним кільцем), ${\displaystyle gd(K\left[X_{1},...,X_{n}\right])=n}$.
• Нехай R — кільце головних ідеалів, що не є полем. Тоді ${\displaystyle gd\left(R\right)=1.}$
• Нехай R — комутативне кільце, ${\displaystyle S\subset R}$— мультиплікативна множина, яка не містить дільників нуля і ${\displaystyle T}$ — локалізація ${\displaystyle S^{-1}R}$. Тоді ${\displaystyle gd(T)\leq gd(R)}$ і ${\displaystyle wgld(T)\leq wgld(R)}$.
• Область цілісності R є кільцем Прюфера, якщо і тільки якщо ${\displaystyle wgld(R)\leq 1}$.

Регулярні кільця

• Кільце R називається лівим регулярним , якщо для кожного лівого скінченнопородженого R-модуля існує скінченна проективна резольвента. Подібним чином можна дати означення правого регулярного кільця. Кільце називається регулярним якщо воно є регулярним справа і зліва.  · Для комутативних нетерових кілець це означення є еквівалентним стандартним.
• Якщо ${\displaystyle lgd(R)<+\infty }$, то R є очевидно лівим регулярним але Нагата дав у 1962 році приклад комутативного нетерового регулярного кільця з нескінченною глобальної розмірністю (і, відповідно, нескінченною розмірністю Круля) .
• Якщо R є регулярним комутативним кільцем, то всі локалізації ${\displaystyle T=S^{-1}R}$ R є регулярними.
• Якщо R є лівим регулярним нетеровим кільцем, то таким є і кільце ${\displaystyle R\left[X_{1},...,X_{n}\right]}$ (теорема Свана).

Примітки

1. McConnell та Robson, 2001, 7.1.9; Lam, 1999, (5.94), (5.95).
2. Rotman, 2009, Prop. 6.2 і 6.4
3. McConnell та Robson, 2001, 7.1.8.
4. McConnell та Robson, 2001, 7.1.11
5. Mitchell, 1965.
6. McConnell та Robson, 2001, §7.1.
7. Bourbaki, 2007, §8, Thm. 1.
8. McConnell та Robson, 2001, §7.4
9. Rotman, 2009, Example 8.20.
10. McConnell та Robson, 2001, 7.7.1.
11. Lam, 1999, с. 201
12. Lam, 1999, (5.94) ; Nagata, 1962, Appendix.
13. McConnell та Robson, 2001, 7.7.3, 7.7.5.

Див. також

• Ін'єктивний модуль
• Плоский модуль
• Проективний модуль
• Регулярне локальне кільце
• Резольвента (гомологічна алгебра)
• Розмірність Круля
• Функтор Tor

Література

• Bourbaki, N. (2007), Algèbre, Chapitre 10: Algèbre homologique, Éléments de mathématique, Springer, с. 216, ISBN 
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1653294
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 8, Cambridge University Press, ISBN .
• McConnell, J. C.; Robson, J. C.; Small, Lance W. (2001), Revised (ред.), Noncommutative Noetherian Rings, Graduate Studies in Mathematics, т. 30, American Mathematical Society, ISBN .
• Mitchell, Barry (1965), Theory of Categories, Boston, MA: Academic Press
• Nagata, Masayoshi (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, т. 13, New York-London: Interscience Publishers a division of John Wiley & Sons, ISBN , MR 0155856
• Năstăsescu, Constantin; Van Oystaeyen, Freddy (1987), Dimensions of ring theory, Mathematics and its Applications, т. 36, D. Reidel Publishing Co., doi:10.1007/978-94-009-3835-9, ISBN , MR 0894033
• Rotman, Joseph J. (1979), An introduction to homological algebra, Pure and Applied Mathematics, т. 85, Boston, MA: Academic Press, ISBN , MR 0538169