Функційний простір (англ. function space та англ. functional space)— у математиці, це множина функцій між двома фіксованими множинами.
Часто область визначення та/або область значень матиме додаткову структуру, яка успадковується функційним простором. Наприклад, множина функцій із будь-якої множини X у векторний простір має природну структуру векторного простору, задану поточковим додаванням і множенням на скаляр. В інших випадках функційний простір може успадкувати топологічну або метричну структуру, а отже, і назву «простір».
В лінійній алгебрі
Нехай F — поле і X будь-яка множина. Функціям X → F можна надати структуру векторного простору над F, де операції визначені поточково, тобто для будь-якого f, g : X → F, будь-якого x є X і будь-якого c є F, визначимо
Коли область X має додаткову структуру, можна розглянути підмножину (або підпростір) усіх таких функцій, що зберігають цю структуру. Наприклад, якщо V та X є векторними просторами над F, множина лінійних відображень X → V утворюють векторний простір над F з поточково визначеними операціями (часто позначаються Hom(X,V)). Одним із таких просторів є спряжений простір до X: множина лінійних функціоналів X → F із поточково визначеними додаванням і множенням на скаляр.
Приклади
- У теорії множин множина функцій з X в Y позначається {X → Y} або YX.
- Зокрема булеан множини X може бути ототожнений з множиною всіх функцій X → {0, 1}, що позначається 2X.
- Множина біекцій між X та Y позначається . Факторіальний запис X! може використовуватися для множини перестановок множини X.
- У функційному аналізі те ж саме спостерігається для неперервних лінійних перетворень, включаючи топології на векторних просторах, і багато прикладів функційних просторів з топологією; найвідоміші приклади включають гільбертові простори та банахові простори.
- У функційному аналізі множина всіх функцій від натуральних чисел до деякої множини X називається . Він складається з множини всіх можливих послідовностей елементів X.
- У топології можна створити топологію на просторі неперервних функцій з топологічного простору X до іншого Y, з властивостями цих просторів. Прикладом є компактно-відкрита топологія, напр. простір петель. Також доступна топологія добутку на просторі теоретико-множинних функцій (тобто не обов’язково неперервних функцій) YX. У цьому контексті цю топологію також називають топологією поточкової збіжності.
- В алгебричній топології, в основному вивчає дискретні інваріанти функційних просторів;
- У теорії випадкових процесів основною технічною проблемою є те, як побудувати міру ймовірності на функційному просторі «шляхів процесу» (функцій від часу);
- У теорії категорій функційний простір називається експоненціальним об'єктом (експоненціалом) або об'єктом-відображенням. З одного боку, це виглядає як канонічний біфунктор представлення; з іншого як функтор типу [X, -], він виглядає як спряжений функтор до функтора типу (-×X) на об'єктах;
- У функційному програмуванні та лямбда-численні функційні типи використовуються для вираження ідеї функцій вищого порядку.
- Основна ідея полягає в знаходженні конструкцій з часткових порядків, які можуть моделювати лямбда-числення, шляхом створення підходящої декартової замкнутої категорії.
- У , задавши два скінченновимірних представлення V і W групи G, можна сформувати представлення G над векторним простором лінійних відображень Hom(V,W), яке називається .
В функційному аналізі
Функційний аналіз складається з методів приведення функційних просторів до топологічних векторних просторів з ідеями, подібними до тих, які застосовуються до нормованих просторів скінченної розмірності. Тут ми використовуємо дійсну пряму як приклад області визначення, але нижченаведені простори існують і на відповідних відкритих підмножинах
- простір неперервних функцій (неперервні функції з супремум-нормою)
- простір (неперервні функції з компактним носієм)
- обмежені функції
- неперервні функції [en]
- функції гладкості r.
- (нескінченно) гладкі функції
- гладкі функції з компактним носієм)
- дійсні аналітичні функції
- , для — Lp-простір вимірних функцій з скінченною p-нормою
- простір Шварца of [en] гладких функцій і їх неперервних двоїстих, узагальнених функцій
- компактний носій в топології границь
- простір Соболєва функція, чия слабкі похідні до ступеня k є в
- голоморфні функції
- лінійні функції
- поточково лінійні функції
- неперервні функції з компактно-відкритою топологією
- всі функції, простір з поточковою збіжністю
- Простір Гарді
- Простір Гельдера
- Càdlàg функції (Простір Скорохода)
- простір всіх Ліпшицевих функцій на зникаючих в нулі.
Джерела
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Funkcijnij prostir angl function space ta angl functional space u matematici ce mnozhina funkcij mizh dvoma fiksovanimi mnozhinami Chasto oblast viznachennya ta abo oblast znachen matime dodatkovu strukturu yaka uspadkovuyetsya funkcijnim prostorom Napriklad mnozhina funkcij iz bud yakoyi mnozhini X u vektornij prostir maye prirodnu strukturu vektornogo prostoru zadanu potochkovim dodavannyam i mnozhennyam na skalyar V inshih vipadkah funkcijnij prostir mozhe uspadkuvati topologichnu abo metrichnu strukturu a otzhe i nazvu prostir V linijnij algebriNehaj F pole i X bud yaka mnozhina Funkciyam X F mozhna nadati strukturu vektornogo prostoru nad F de operaciyi viznacheni potochkovo tobto dlya bud yakogo f g X F bud yakogo x ye X i bud yakogo c ye F viznachimo f g x f x g x c f x c f x displaystyle begin aligned f g x amp f x g x c cdot f x amp c cdot f x end aligned Koli oblast X maye dodatkovu strukturu mozhna rozglyanuti pidmnozhinu abo pidprostir usih takih funkcij sho zberigayut cyu strukturu Napriklad yaksho V ta X ye vektornimi prostorami nad F mnozhina linijnih vidobrazhen X V utvoryuyut vektornij prostir nad F z potochkovo viznachenimi operaciyami chasto poznachayutsya Hom X V Odnim iz takih prostoriv ye spryazhenij prostir do X mnozhina linijnih funkcionaliv X F iz potochkovo viznachenimi dodavannyam i mnozhennyam na skalyar PrikladiU teoriyi mnozhin mnozhina funkcij z X v Y poznachayetsya X Y abo YX Zokrema bulean mnozhini X mozhe buti ototozhnenij z mnozhinoyu vsih funkcij X 0 1 sho poznachayetsya 2X Mnozhina biekcij mizh X ta Y poznachayetsya X Y displaystyle X leftrightarrow Y Faktorialnij zapis X mozhe vikoristovuvatisya dlya mnozhini perestanovok mnozhini X U funkcijnomu analizi te zh same sposterigayetsya dlya neperervnih linijnih peretvoren vklyuchayuchi topologiyi na vektornih prostorah i bagato prikladiv funkcijnih prostoriv z topologiyeyu najvidomishi prikladi vklyuchayut gilbertovi prostori ta banahovi prostori U funkcijnomu analizi mnozhina vsih funkcij vid naturalnih chisel do deyakoyi mnozhini X nazivayetsya Vin skladayetsya z mnozhini vsih mozhlivih poslidovnostej elementiv X U topologiyi mozhna stvoriti topologiyu na prostori neperervnih funkcij z topologichnogo prostoru X do inshogo Y z vlastivostyami cih prostoriv Prikladom ye kompaktno vidkrita topologiya napr prostir petel Takozh dostupna topologiya dobutku na prostori teoretiko mnozhinnih funkcij tobto ne obov yazkovo neperervnih funkcij YX U comu konteksti cyu topologiyu takozh nazivayut topologiyeyu potochkovoyi zbizhnosti V algebrichnij topologiyi v osnovnomu vivchaye diskretni invarianti funkcijnih prostoriv U teoriyi vipadkovih procesiv osnovnoyu tehnichnoyu problemoyu ye te yak pobuduvati miru jmovirnosti na funkcijnomu prostori shlyahiv procesu funkcij vid chasu U teoriyi kategorij funkcijnij prostir nazivayetsya eksponencialnim ob yektom eksponencialom abo ob yektom vidobrazhennyam Z odnogo boku ce viglyadaye yak kanonichnij bifunktor predstavlennya z inshogo yak funktor tipu X vin viglyadaye yak spryazhenij funktor do funktora tipu X na ob yektah U funkcijnomu programuvanni ta lyambda chislenni funkcijni tipi vikoristovuyutsya dlya virazhennya ideyi funkcij vishogo poryadku Osnovna ideya polyagaye v znahodzhenni konstrukcij z chastkovih poryadkiv yaki mozhut modelyuvati lyambda chislennya shlyahom stvorennya pidhodyashoyi dekartovoyi zamknutoyi kategoriyi U zadavshi dva skinchennovimirnih predstavlennya V i W grupi G mozhna sformuvati predstavlennya G nad vektornim prostorom linijnih vidobrazhen Hom V W yake nazivayetsya V funkcijnomu analiziFunkcijnij analiz skladayetsya z metodiv privedennya funkcijnih prostoriv do topologichnih vektornih prostoriv z ideyami podibnimi do tih yaki zastosovuyutsya do normovanih prostoriv skinchennoyi rozmirnosti Tut mi vikoristovuyemo dijsnu pryamu yak priklad oblasti viznachennya ale nizhchenavedeni prostori isnuyut i na vidpovidnih vidkritih pidmnozhinah W R n displaystyle Omega subseteq mathbb R n C R displaystyle C mathbb R prostir neperervnih funkcij neperervni funkciyi z supremum normoyu C c R displaystyle C c mathbb R prostir neperervni funkciyi z kompaktnim nosiyem B R displaystyle B mathbb R obmezheni funkciyi C 0 R displaystyle C 0 mathbb R neperervni funkciyi en C r R displaystyle C r mathbb R funkciyi gladkosti r C R displaystyle C infty mathbb R neskinchenno gladki funkciyi C c R displaystyle C c infty mathbb R gladki funkciyi z kompaktnim nosiyem C w R displaystyle C omega mathbb R dijsni analitichni funkciyi L p R displaystyle L p mathbb R dlya 1 p displaystyle 1 leq p leq infty Lp prostir vimirnih funkcij z skinchennoyu p normoyu f p R f p 1 p textstyle f p left int mathbb R f p right 1 p S R displaystyle mathcal S mathbb R prostir Shvarca of en gladkih funkcij i yih neperervnih dvoyistih S R displaystyle mathcal S mathbb R uzagalnenih funkcij D R displaystyle D mathbb R kompaktnij nosij v topologiyi granic W k p displaystyle W k p prostir Sobolyeva funkciya chiya slabki pohidni do stupenya k ye v L p displaystyle L p O U displaystyle mathcal O U golomorfni funkciyi linijni funkciyi potochkovo linijni funkciyi neperervni funkciyi z kompaktno vidkritoyu topologiyeyu vsi funkciyi prostir z potochkovoyu zbizhnistyu Prostir Gardi Prostir Geldera Cadlag funkciyi Prostir Skorohoda Lip 0 R displaystyle text Lip 0 mathbb R prostir vsih Lipshicevih funkcij na R displaystyle mathbb R znikayuchih v nuli DzherelaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2300 s ukr Kolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros