Простір Гельдера

Умова Гельдера — нерівність, що обмежує зміну значення функції через зміну її аргумента. Є узагальненням умови Ліпшіца. Функції, що задовольняють умови Гельдера утворюють повний нормований простір, що називається простором Гельдера. Простори Гельдера відіграють важливу роль в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Означення

Нехай (X, d_X) et (Y, d_Y) є метричними просторами, функція f : X → Y називається a-гельдеровою в точці ${\displaystyle y\in X}$ якщо для всіх ${\displaystyle x\in X,}$ виконується умова Гельдера:

${\displaystyle d_{Y}\left(f(x),f(y)\right)\leq C(y)d_{X}(x,y)^{a}.}$

Число a є дійсним невід'ємним, переважно розглядаються випадки ${\displaystyle a\in (0,1].}$ У випадку ${\displaystyle a=1}$ умова Гельдера зводиться до умови Ліпшіца.

Якщо функція задовольняє умову Гельдера з коефіцієнтом a в усіх точках деякої підмножини метричного простору то її називають a-гельдеровою на всій множині. Часто проте при визначенні гельдерових функцій на деякій множині ${\displaystyle \Omega }$ розглядають лише функції для яких ${\displaystyle C=\sup _{x\in \Omega }C(y)<\infty ,}$ тобто для яких умову Гельдера можна записати з одною константою для всіх точок:

${\displaystyle d_{Y}\left(f(x),f(y)\right)\leq Cd_{X}(x,y)^{a},\;\forall x,y\in \Omega .}$

Особливо важливим є випадок дійсних чи комплексних функцій на підмножинах евклідового простору. В цьому випадку наприклад остання рівномірна умова Гельдера записується як:

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C\parallel x-y\parallel ^{a}}$

Простори Гельдера

На множині дійсних чи комплексних функцій визначених на підмножині евклідового простору, що задовольняють (рівномірну) умову Гельдера можна ввести a-напівнорму Гельдера:

${\displaystyle |f|_{a}=\sup _{x\neq y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{a}}}.}$

Множина функцій, що мають на відкритій підмножині ${\displaystyle \Omega }$ неперервні похідні до порядку k включно і всі похідні порядку k яких є a-гельдеровими на ${\displaystyle \Omega }$ позначається ${\displaystyle C^{k,a}.}$

Ці множини називаються просторами Гельдера.

Кожна функція, що належить ${\displaystyle C^{k,a}}$ також належить ${\displaystyle C^{k}}$ — простору функцій, що мають неперервні похідні до порядку k включно. На ${\displaystyle C^{k}}$ визначається норма:

${\displaystyle |f|_{C^{k}}=\sum _{|\alpha |\leqslant k}|f^{\alpha }(x)|_{\infty }}$

де ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$ — мультиіндекс, ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$ і ${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$

Тоді на просторах Гельдера можна ввести ще одну норму:

${\displaystyle |f|_{C^{k,a}}=|f|_{C^{k}}+\sum _{|\alpha |=k}|f^{\alpha }(x)|_{a}.}$

Разом із цією нормою простори Гельдера на замиканні зв'язаної обмеженої множини ${\displaystyle \Omega }$ в евклідовому просторі є повними нормованими просторами.

Властивості

• Нехай ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$ — замикання деякої обмеженої зв'язаної області в евклідовому просторі. Якщо ${\displaystyle k+a\leqslant l+b,\;k,l\in \mathbb {Z} ,\;0<a,b\leqslant 1,}$то існує вкладення просторів Гельдера:

${\displaystyle C^{l,b}({\bar {\Omega }})\to C^{k,a}({\bar {\Omega }}),}$

і окрім того ${\displaystyle |f|_{C^{k,a}}\leqslant A|f|_{C^{l,b}},}$ де константа A не залежить від функції ${\displaystyle f\in C^{l,b}.}$

• Для ${\displaystyle 0<a<b}$ одинична куля в просторі ${\displaystyle C^{k,b}({\bar {\Omega }})}$ є компактною в просторі ${\displaystyle C^{k,a}({\bar {\Omega }})}$ і відповідно кожна обмежена множина функцій з ${\displaystyle C^{k,b}({\bar {\Omega }})}$ містить підпослідовність, що в метриці простору ${\displaystyle C^{k,a}({\bar {\Omega }})}$ збігається до функції з простору ${\displaystyle C^{k,a}({\bar {\Omega }})}$.

Приклади

• Функція f(x) = x^β (де β ≤ 1) визначена на проміжку [0, 1] належить простору C^0,α для 0 < α ≤ β, але не для α > β. Якщо f визначити аналогічно на проміжку ${\displaystyle [0,\infty )}$, вона належатиме простору C^0,α лише для α = β.
• Для α > 1, єдиними рівномірно α–гельдерівськими функціями на інтервалі [0, 1] є константи.
• Функція визначена на інтервалі [0, 1/2] як ${\displaystyle f(x)=f(n)={\begin{cases}0,&x=0\\{1 \over \log(x)},&x\in (0,1/2]\end{cases}}}$ є рівномірно неперервною але не задовольняє умову Гельдера для жодного показника.
• Функція Кантора задовольняє умову Гельдера для показників α ≤ log(2)/log(3) і не задовольняє для більших чисел. Коли вона задовольняє умову то у визначенні можна взяти рівномірно константу C = 2.
• Крива Пеано з [0, 1] на квадрат [0, 1]² може бути побудована так, що вона буде рівномірно 1/2–гельдерівською.

Див. також

• Ліпшицеве відображення

Література

• Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence. ISBN .
• N. V. Krylov (1996). Lectures on elliptic and parabolic equations in Holder spaces. American Mathematical Society, Providence. ISBN .