Простір Шварца — простір функцій, всі похідні яких швидко спадають до нуля з ростом аргумента. Названий Александром Гротендіком в честь Лорана Шварца. Функції з цього простору часто називають функціями Шварца. Позначається найчастіше буквою або .
Формально кажучи, складається з таких гладких функцій , що при швидше, ніж при довільному додатному .
Важливою властивістю простору Шварца є те, що перетворення Фур'є є автоморфізмом цього простору. Будь-яку функцію з цього простору перетворення Фур'є переводить у деяку функцію з цього ж простору, і навпаки — кожна з функцій з простору Шварца є прообразом Фур'є деякої функції з цього простору.
Даний простір використовується, наприклад, як простір основних функцій при означенні перетворення Фур'є узагальнених функцій (узагальнені функції над часто називають узагальненими функціями повільного зростання) і відіграє досить важливу роль у функціональному аналізі та теорії рівнянь з частинними похідними.
Означення
Нехай — простір нескінченно-диференційовних функцій , а
— простір нескінченно-диференційовних функцій з компактним носієм (тут — деяка компактна множина в ).
Для довільних мультиіндексів визначимо систему норм наступним чином:
Простором Шварца або простором швидкоспадних функцій на є такий функціональний простір:
З означення простору випливає, що виконуються нерівності
де — деякі подвійна послідовність додатних дійсних чисел, причому на поведінку цієї послідовності не накладається ніяких обмежень.
Збіжність в просторі визначається наступним чином: послідовність функцій збігається до функції , якщо
а) для довільного послідовність похідних збігається рівномірно до в довільній обмеженій області;
б) для довільних виконуються оцінки
- де сталі не залежать від .
Приклади
- функція типу функції Гауса
- як узагальнення попереднього прикладу — всі функції виду
де — довільний многочлен;
- довільна гладка функція з компактним носієм, тобто функція з
Властивості
- за означенням функції з простіру є підмножиною функцій із ;
- функції з утворюють щільну множину в ;
- лінійна комбінація, поточковий добуток довільних двох функцій із та зсув по аргументу не виводять за межі простору
- простір Шварца є простором Фреше — повним метризовним локально випуклим простором
- перетворення Фур'є є автоморфізмом
- довільна функція із є рівномірно неперервною на
Простори типу S
З означення простору Шварца випливає, що виконуються нерівності
Якщо числа спеціальним чином залежать від мультиіндексів та то виділяють такі простори типу простору Шварца:
- Простір складається з таких нескінченно диференційовних функцій , для яких виконуються нерівності
де сталі залежать від функції .
- Простір складається з таких нескінченно диференційовних функцій , які задовольняють нерівності
де сталі залежать від функції .
- Простір
складається з таких нескінченно диференційовних функцій , які задовольняють нерівності
де сталі залежать від функції .
Простори можна вважати граничними випадками простору , а саме
Примітки
- TerzioĞglu, T. (1969). On Schwartz spaces. Mathematische Annalen, 182(3), 236–242.
Література
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
- Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. — М. : Физматлит, 1959. — 472 с.
- Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. — М. : Физматлит, 1958. — 308 с.
Посилання
- Weisstein, Eric W. Schwartz(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Prostir Shvarca prostir funkcij vsi pohidni yakih shvidko spadayut do nulya z rostom argumenta Nazvanij Aleksandrom Grotendikom v chest Lorana Shvarca Funkciyi z cogo prostoru chasto nazivayut funkciyami Shvarca Poznachayetsya najchastishe bukvoyu S displaystyle S abo S displaystyle mathcal S Formalno kazhuchi skladayetsya z takih gladkih funkcij f x displaystyle f x sho xm kf x 0 displaystyle x m partial k f x rightarrow 0 pri x displaystyle x rightarrow infty shvidshe nizh 1 x a displaystyle frac 1 x alpha pri dovilnomu dodatnomu a displaystyle alpha Vazhlivoyu vlastivistyu prostoru Shvarca ye te sho peretvorennya Fur ye ye avtomorfizmom cogo prostoru Bud yaku funkciyu z cogo prostoru peretvorennya Fur ye perevodit u deyaku funkciyu z cogo zh prostoru i navpaki kozhna z funkcij z prostoru Shvarca ye proobrazom Fur ye deyakoyi funkciyi z cogo prostoru Danij prostir vikoristovuyetsya napriklad yak prostir osnovnih funkcij pri oznachenni peretvorennya Fur ye uzagalnenih funkcij uzagalneni funkciyi nad S displaystyle S chasto nazivayut uzagalnenimi funkciyami povilnogo zrostannya i vidigraye dosit vazhlivu rol u funkcionalnomu analizi ta teoriyi rivnyan z chastinnimi pohidnimi OznachennyaNehaj C Rn displaystyle C infty mathbb R n prostir neskinchenno diferencijovnih funkcij f x Rn C displaystyle f x mathbb R n rightarrow mathbb C a CD Rn D Rn displaystyle C D infty mathbb R n D subset mathbb R n prostir neskinchenno diferencijovnih funkcij z kompaktnim nosiyem tut D displaystyle D deyaka kompaktna mnozhina v Rn displaystyle mathbb R n Dlya dovilnih multiindeksiv m k displaystyle m k viznachimo sistemu norm m k displaystyle cdot m k nastupnim chinom f m k supx Rn xm kf x f x C Rn displaystyle f m k sup x in mathbb R n left x m partial k f x right quad f x in C infty mathbb R n Prostorom Shvarca abo prostorom shvidkospadnih funkcij na Rn displaystyle mathbb R n ye takij funkcionalnij prostir S Rn f C Rn f m k lt m k displaystyle S left mathbb R n right left f in C infty mathbf R n mid f m k lt infty quad forall m k right Z oznachennya prostoru viplivaye sho vikonuyutsya nerivnosti supx Rn xm kf x Cmk displaystyle sup x in mathbb R n left x m partial k f x right leqslant C mk de Cmk displaystyle C mk deyaki podvijna poslidovnist dodatnih dijsnih chisel prichomu na povedinku ciyeyi poslidovnosti ne nakladayetsya niyakih obmezhen Zbizhnist v prostori S displaystyle S viznachayetsya nastupnim chinom poslidovnist funkcij fs x s 1 displaystyle varphi s x s 1 infty zbigayetsya do funkciyi f x displaystyle varphi x yaksho a dlya dovilnogo q 0 1 2 displaystyle q 0 1 2 ldots poslidovnist pohidnih fs q x displaystyle varphi s q x zbigayetsya rivnomirno do f q x displaystyle varphi q x v dovilnij obmezhenij oblasti b dlya dovilnih m k displaystyle m k vikonuyutsya ocinki supx Rn xm kfs x Cmk displaystyle sup x in mathbb R n left x m partial k varphi s x right leqslant C mk de stali Cmk displaystyle C mk ne zalezhat vid s displaystyle s PrikladiDvovimirna funkciya Gausa ye prikladom shvidkospadnoyi funkciyifunkciya tipu funkciyi Gausaf x xae bx 2 a b R displaystyle f x x a displaystyle e bx 2 quad a b in mathbb R yak uzagalnennya poperednogo prikladu vsi funkciyi viduf x P x e bxa b a gt 0 displaystyle f x P x displaystyle e bx alpha quad b alpha gt 0 de P x displaystyle P x dovilnij mnogochlen dovilna gladka funkciya z kompaktnim nosiyem tobto funkciya z CD Rn displaystyle C D infty mathbb R n Vlastivostiza oznachennyam funkciyi z prostiru S Rn displaystyle S left mathbb R n right ye pidmnozhinoyu funkcij iz C Rn S Rn C Rn displaystyle C infty mathbb R n S left mathbb R n right subset C infty mathbb R n funkciyi z CD Rn displaystyle C D infty mathbb R n utvoryuyut shilnu mnozhinu v S Rn displaystyle S left mathbb R n right linijna kombinaciya potochkovij dobutok dovilnih dvoh funkcij iz S Rn displaystyle S mathbb R n ta zsuv po argumentu ne vivodyat za mezhi prostoru S Rn displaystyle S mathbb R n f g S Rn a b R h Rn af x bg x f x g x f x h S Rn displaystyle f g in S mathbb R n forall alpha beta in mathbb R forall h in mathbb R n quad alpha f x beta g x f x cdot g x f x h in S mathbb R n prostir Shvarca ye prostorom Freshe povnim metrizovnim lokalno vipuklim prostoromS Rn displaystyle S mathbb R n subset Lp Rn displaystyle L p mathbb R n dlya dovilnogo p 1 p displaystyle p 1 leqslant p leqslant infty peretvorennya Fur ye ye avtomorfizmom S Rn S Rn displaystyle S mathbb R n rightarrow S mathbb R n dovilna funkciya iz S R displaystyle S mathbb R ye rivnomirno neperervnoyu na R displaystyle mathbb R Prostori tipu SZ oznachennya prostoru Shvarca viplivaye sho vikonuyutsya nerivnosti supx Rn xm kf x Cmk displaystyle sup x in mathbb R n left x m partial k f x right leqslant C mk Yaksho chisla Cmk displaystyle C mk specialnim chinom zalezhat vid multiindeksiv m displaystyle m ta k displaystyle k to vidilyayut taki prostori tipu prostoru Shvarca Prostir Sa a 0 displaystyle S alpha alpha geqslant 0 skladayetsya z takih neskinchenno diferencijovnih funkcij f x displaystyle f x dlya yakih vikonuyutsya nerivnosti f m k supx Rn xm kf x CkBmmmb f C Rn displaystyle f m k sup x in mathbb R n left x m partial k f x right leqslant C k B m m m beta quad f in C infty mathbb R n de stali Ck A displaystyle C k A zalezhat vid funkciyi f displaystyle f Prostir Sb b 0 displaystyle S beta beta geqslant 0 skladayetsya z takih neskinchenno diferencijovnih funkcij f x displaystyle f x yaki zadovolnyayut nerivnosti f m k CmAkkka displaystyle f m k leqslant C m A k k k alpha de stali Cm B displaystyle C m B zalezhat vid funkciyi f displaystyle f Prostir Sab a b 0 displaystyle S alpha beta alpha beta geqslant 0 skladayetsya z takih neskinchenno diferencijovnih funkcij f x displaystyle f x yaki zadovolnyayut nerivnosti f m k CAkBmkkammb displaystyle f m k leqslant CA k B m k k alpha m m beta de stali C A B displaystyle C A B zalezhat vid funkciyi f displaystyle f Prostori Sa Sb S displaystyle S alpha S beta S mozhna vvazhati granichnimi vipadkami prostoru Sab displaystyle S alpha beta a same Sa Sa Sb S b S S displaystyle S alpha S alpha infty quad S beta S infty beta quad S S infty infty PrimitkiTerzioGglu T 1969 On Schwartz spaces Mathematische Annalen 182 3 236 242 LiteraturaKolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros Gelfand I M Shilov G E Obobshennye funkcii i dejstviya nad nimi M Fizmatlit 1959 472 s Gelfand I M Shilov G E Prostranstva osnovnyh i obobshennyh funkcij M Fizmatlit 1958 308 s PosilannyaWeisstein Eric W Schwartz angl na sajti Wolfram MathWorld